Baixe Introdução à noção das derivadas e do cálculo e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! CÁLCULO 1 Mauro Patrão Universidade de Brasília C A P Í T U L O 0 PREFÁCIO Este livro de Cálculo foi concebido com a intenção de se desenvolver livros de Matemática apoiados em dois eixos que o autor considera estratégicos. Um deles é a adequação desses materiais à realidade educacional brasi- leira, uma vez que grande parte das opções disponíveis atualmente foi conce- bida para lidar com a realidade educacional de países muito diversos do Brasil. Neste sentido, este livro se preocupa em estabelecer uma conexão próxima entre o Cálculo e alguns exemplos paradigmáticos da Mecânica, en- sinados nos cursos de Física do ensino médio brasileiro. A partir do exemplo básico do lançamento vertical de um objeto na Lua, onde inexiste o atrito com a atmosfera, apresentamos o conceito cinemático de velocidade e seu corre- lato matemático, a derivada da função quadrática. Posteriormente trazemos este mesmo experimento para a Terra, onde introduzimos os efeitos da re- sistência do ar, o que nos permite motivar o estudo da derivada da função exponencial. Por sua vez, o problema da descrição do movimento de uma massa presa a uma mola motiva o estudo das derivadas das funções trigo- nométricas. Esses exemplos paradigmáticos, presentes na origem mesma da formulação do Cálculo, acompanham cada novo tópico que vai sendo intro- duzido e desenvolvido ao longo do texto. Isto fornece a possibilidade dos lei- tores experimentarem algumas das mesmas intuições vividas pelos primeiros formuladores do Cálculo. 3 4 Capítulo 0. Prefácio Aliás este é o segundo dos eixos considerado estruturantes: oferecer abor- dagens múltiplas de um mesmo tópico, ora geométricas, ora algébricas, ora dinâmicas. Isto dá oportunidade ao estudante de se apoiar, em alguns mo- mentos, nas intuições em que ele se sente mais confortável, mas também o ajuda a explorar suas habilidades ainda pouco desenvolvidas. A abordagem dinâmica está presente na definição do conceito de limite, feito através de sequências e cujo emprego já se fazia presente no método grego da obten- ção de áreas por exaustão, como também no estudo da cinemática realizado pela mecânica moderna. Por sua vez, a abordagem algébrica é empregada na famosa fórmula do binômio de Newton, que é utilizada na definição da fun- ção exponencial. Já a abordagem geométrica aparece logo na definição dos números e das funções reais, bem como na definição da medida de ângulo através de áreas e dos conceitos de derivada e de integral. ESTRUTURA DO LIVRO O conteúdo do livro é dividido em cinco capítulos e complementado por apêndices. No final de cada capítulo, existe uma lista de exercícios dividida entre exercícios de demonstração, destinados a exercitar a capacidade dedu- tiva dos estudantes, e exercícios de aplicação, destinados a apresentar mais exemplos significativos da teoria desenvolvida no capítulo. No final da maio- ria das seções, existe uma lista de exercícios de fixação, cujo gabarito se en- contra no Capítulo 6. No Capítulo 1, apresentamos as preliminares indispensáveis a qualquer livro de Cálculo. Os números reais e suas operações, bem como a funções reais e suas inversas, são apresentados de um ponto de vista geométrico que enfatiza a importância do plano Cartesiano nas principais definições da ma- temática moderna. No Capítulo 2, introduzimos o conceito de limite de funções através do conceito de limite de sequências. Essa abordagem é a mais adequada aos modernos métodos numéricos de aproximações sucessivas, implementados atualmente em qualquer calculadora ou computador. Além disso, essa abor- dagem de limite ajuda a explorar as intuições dinâmicas por trás do conceito de limite, já presentes nos gregos desde os tempos de Zeno. Também permite oferecer demonstrações mais simples de resultados sofisticados como o Teo- rema do Valor Intermediário, que é provado através do Método da Bissecção. Com essa abordagem, definimos a função exponencial de modo bastante ri- 5 goroso e demonstramos suas propriedades fundamentais já no início do livro. As funções trigonométricas também são apresentadas de modo bastante rigo- roso e se estabelece ao longo do livro um paralelo entre suas propriedades e as da função exponencial. No Capítulo 3, o conceito de derivada é introduzido a partir do problema geométrico de definir a reta tangente e aplicamos este conceito no estudo das antenas parabólicas. A derivada também é apresentada em conexão com o conceito de velocidade. Os conceitos de função derivada e de função derivada segunda são introduzidos de modo a se compreender os conceitos de função velocidade e de função aceleração. A derivada da função exponencial é moti- vada pelo estudo da velocidade de um trem-bala sendo freado pela resistência do ar. Já a derivada das funções trigonométricas é introduzida através da aná- lise do movimento no sistema massa-mola. O estudo do movimento do pistão e do virabrequim de um motor à explosão motiva a obtenção da denominada regra da cadeia. No Capitulo 4, é introduzida a análise do formato do gráfico de fun- ções reais. Iniciamos esse estudo com o problema de se determinar a altura máxima de uma bola arremessada verticalmente. Através da teoria de otimi- zação demonstramos o Teorema do Valor Médio e o utilizamos para obter a famosa Regra de L’Hospital. Esta última é utilizada para se determinar o que ocorre no arremesso vertical com atrito à medida que o ar vai ficando cada vez mais rarefeito. Posteriormente obtemos a relação entre o crescimento e o sinal da derivada primeira e a relação entre a concavidade e o sinal da de- rivada segunda de uma função. Analisamos as denominadas retas assíntotas de uma função através dos conceitos de limite no infinito e de limite infinito, que são introduzidos através do conceito de limite infinito de sequências. No final deste capítulo, apresentamos um método passo a passo para se obter o esboço do gráfico de funções deriváveis por partes. No Capítulo 5, introduzimos o conceito de integral a partir do conceito de área líquida. No caso do arremesso vertical sem atrito, fazemos conexão da integral com o conceito de variação do espaço e variação da velocidade. Essa conexão para movimentos gerais é estabelecida através do famoso Teorema Fundamental do Cálculo. A partir desse teorema e de suas consequências in- troduzimos o conceito de integral indefinida e as denominadas técnicas de de integração. Através do método de substituição, obtemos a lei da conserva- ção da energia no sistema massa-mola. A partir da conservação da energia, utilizamos o método de substituição trigonométrica para determinarmos o movimento do sistema massa-mola. Depois de apresentarmos o método de 8 Capítulo 1. Preliminares (1) a > b se e só se b < a. (2) a ≤ b se e só se a < b ou a = b. (3) a ≥ b se e só se b ≤ a. Existe também uma relação entre pares de segmentos, denotada por ≡ e denominada congruência de segmentos. De maneira intuitiva, temos que dois segmentos são congruentes se cada uma das duas pontas de um compasso com sua abertura fixada podem ser colocadas sobre cada um dos dois extre- mos de cada segmento. Figura 1.2: Adição de a mais b. Podemos então, como ilustrado na Figura 1.2 e a partir dos conceitos de ordem e congruência e de suas propriedades, definir a operação de adição de números reais, para todos a,b ∈R, a+b = { c : c ≥ b e bc ≡ 0a, se a ≥ 0 c : c ≤ b e bc ≡ 0a, se a ≤ 0 Figura 1.3: O inverso aditivo de a. Podemos também definir, como ilustrado na Figura 1.3 o oposto ou in- verso aditivo, para todo a ∈R, −a = { c : c ≤ 0 e 0c ≡ 0a, se a ≥ 0 c : c ≥ 0 e 0c ≡ 0a, se a ≤ 0 1.1. Números reais 9 A partir das definições e das propriedades da ordem e da congruência, pode-se mostrar que a adição satisfaz, para todos a,b,c ∈R, (A1) Associatividade: (a+b)+c = a+ (b +c); (A2) Neutro: a+0 = a; (A3) Inverso: −a+a = 0; (A4) Comutatividade: a+b = b +a. As propriedades da adição fazem com que a estrutura aditiva dos reais seja denominada de grupo comutativo. Vamos agora construir um dos objeto mais importantes da matemática moderna, o plano Cartesiano. Como ilustrado pela Figura 1.4, denote por 0y a única reta perpendicular a reta R, passando pelo ponto 0, chamada de eixo vertical. Figura 1.4: Plano Cartesiano. Neste contexto, a reta R também é denotada por 0x, denominado eixo ho- rizontal, e um ponto a ∈ 0x é também denotado por (a,0). O ponto 0 = (0,0) é denominado origem do plano Cartesiano. Escolhemos em 0y um ponto, de- notado por (0,1), tal que sua distância à origem 0 seja igual a 1. Para cada ponto a ∈ 0x =R associamos o ponto (0, a) em 0y , tal que as distâncias destes dois pontos à origem 0 sejam iguais e de modo que ambos sejam maiores que 10 Capítulo 1. Preliminares 0 ou ambos menores que 0. A reta 0y é então uma cópia da reta R e tam- bém é denotada por R. Frequentemente denotaremos (x,0) ∈ 0x e também (0, y) ∈ 0y serão denotados apenas por x ∈R e y ∈R, respectivamente. Uma reta paralela ao eixo horizontal é denominada reta horizontal e uma reta paralela ao eixo vertical é denominada reta vertical. Uma reta horizontal e uma reta vertical possuem um único ponto em comum, pois os eixos são retas concorrentes. Dado qualquer ponto A no plano denote por hA a única reta horizontal passando por A e denote por v A a única vertical que passa por A, como ilustrado pela Figura 1.4. A abscissa ou coordenada horizontal do ponto A é o único ponto xA que está simultaneamente sobre v A e sobre 0x. A ordenada ou coordenada vertical de A é o único ponto y A que está si- multaneamente sobre hA e sobre 0y . Vice-versa, dado um ponto a sobre 0x e um ponto b sobre 0y , associamos o único ponto, denotado pelo par orde- nado (a,b), que esta sobre va e sobre hb . Não é difícil notar que A = (xA , y A). Portanto para cada ponto A do plano associamos o par ordenado (xA , y A), das suas coordenadas. Figura 1.5: Multiplicação de a vezes b. Vamos então definir a operação de multiplicação de números reais, como ilustrado pela Figura 1.5. Para cada a ∈R, considere a reta ra determinada pela origem (0,0) e pelo ponto (1, a). Como a reta ra e o eixo 0y são concorrentes, cada reta vertical possui um único ponto em comum com ra . Dado b ∈R, seja A o único ponto que está sobre ra e vb . A multiplicação de a por b é definido como a coordenada vertical de A e é denotado por ab. 1.1. Números reais 13 O conjunto dos números naturais é o menor no sentido que ele está contido em qualquer conjunto satisfazendo essas duas propriedades, como por exem- plo a reta R e a semi-reta real positiva. Podemos agora enunciar o denomi- nado Princípio de Indução. Proposição 1.2: (Indução) Para mostrarmos que uma determinada fórmula F (n) é válida para todo n ∈N, basta verificarmos que (I1) vale F (1) e (I2) se vale F (m) para um determinado m ∈N, então vale também F (m+1). Prova: Primeiro observamos que mostrar que F (n) é válida para todo n ∈N é o mesmo que mostrar que o conjunto S = {n ∈N : vale F (n)} é igual ao conjunto dos naturais. Por um lado, se verificamos I1, obtemos que 1 ∈ S, o que mostra que S satisfaz a propriedade N1. Por outro lado, suponha que verificamos I2. Neste caso, se m ∈ S, então vale F (m), pela definição de S. Por I2 segue que vale F (m +1). Pela definição de S, segue que m +1 ∈ S. Logo S satisfaz também a propriedade N2. Como S satisfaz ambas as propriedades N1 e N2, pela discussão acima, segue que N está contido em S. Por outro lado, por definição, S está contido em N, o que mostra que S = N e que portanto F (n) é válida para todo n ∈N. Utilizando o Princípio de Indução, vamos mostrar que a fórmula n < 2n é válida para todo n ∈N. Para verificar I1, note que a fórmula vale para n = 1, uma vez que 1 < 21. Para verificar I2, considere m ∈ N tal que vale m < 2m . Segue então que m +1 ≤ m +m = 2m < 2 2m = 2m+1, mostrando que m +1< 2m+1 e que portanto que a fórmula também vale para n = m +1. Como verificamos ambas I1 e I2, pelo Princípio de Indução, segue que a fórmula acima é válida para todo n ∈N. 14 Capítulo 1. Preliminares O conjunto dos números inteiros Z é obtido a partir dos naturais adicionando-se os inversos aditivos e o elemento neutro. Z= {k ∈R : k ∈N ou k = 0 ou −k ∈N}. O conjunto dos números racionais Q é a coleção de todas as frações de núme- ros inteiros Q= { r ∈R : r = m n , m,n ∈Z e n 6= 0 } . Temos claramente que N⊂Z⊂Q⊂R. Pode-se mostrar que o conjunto dos racionais é fechado sob as operações da adição e da multiplicação e também é um corpo ordenado. Vamos mostrar agora que entre dois números reais distintos quaisquer, sempre existe um número racional. Esta propriedade de Q é denominada densidade. Para isso necessitamos de dois fatos. O primeiro, denominado Princípio da Boa Ordenação, é consequência do Princípio de Indução e afirma que qualquer subconjunto não vazio dos naturais possui o menor elemento. O segundo fato é a denominada Propriedade Arquimediana de R. Arquimediana: Para todo L > 0, existe n ∈N tal que 0 < L < n. Pela Proposição 1.1, temos que 0 < L < n se e só se 0 < 1 n < 1 L . Escolhendo ε= 1/L, temos então a seguinte formulação equivalente. Arquimediana: Para todo ε> 0, exite n ∈N tal que 0 < 1 n < ε. Proposição 1.3: Se a < b, então existe r ∈Q tal que a < r < b. Prova: Pela Propriedade Arquimediana, existe n ∈N tal que 0 < 1 n < b −a. (1.1) 1.1. Números reais 15 Se m é o primeiro natural tal que a < m n , temos que m −1 n < a. (1.2) Pelas desigualdades (1.1) e (1.2), segue que m n = m −1 n + 1 n < a+ (b −a) = b. Escolhendo r = m n , concluímos a demonstração. Após notarmos a densidade do conjunto dos racionais no conjunto dos números reais, podemos nos perguntar se estes dois conjuntos não são de fato iguais. A resposta é negativa, o que parece ter custado a vida de um dos membros da Escola Pitagórica. Pelo Teorema de Pitágoras, o comprimento d da diagonal do quadrado unitário é tal que d 2 = 2, ou seja, temos que d =p 2, como ilustrado pela Figura 1.7. Esta diagonal pode ser escrita como um quociente de números naturais? Figura 1.7: Diagonal do quadrado unitário. Proposição 1.4: p 2 não é racional. Prova: Vamos utilizar o seguinte fato, que é deixado como exercício, n ∈ N é par se e só se n2 é par. Vamos demonstrar essa proposição por contradição. Suponha que d = m n , com m,n ∈ N. Após cancelamento, podemos supor 18 Capítulo 1. Preliminares Figura 1.9: O domínio e imagem da função f . Em geral, quando queremos enfatizar o domínio e a imagem de uma dada função f , denotamos a função por f : dom ( f ) → im ( f ) . Quando desconhece- mos a imagem de f , mas sabemos que a imagem está contida num conjunto A, denominado um contra-domínio de f , denotamos isto por f : dom ( f ) → A. Observamos que a reta R é sempre um contra domínio para qualquer função real. Figura 1.10: O valor de f em x. Para cada x ∈ dom ( f ) , definimos f (x) ∈R, denominado valor de f em x ou também expressão algébrica de f , como a coordenada vertical do único ponto comum a f e à reta vertical vx . A Figura 1.10 representa o valor de f em x como a altura de f sobre o ponto x. Com essas definições, a função f pode 1.2. Funções reais 19 ser descrita por f = {( x, y ) : y = f (x) e x ∈ dom ( f )} também chamado de gráfico de f , e sua imagem pode ser descrita por im ( f ) = { f (x) : x ∈ dom ( f )} A equação y = f (x) é denominada equação do gráfico de f . Se f é uma reta, ela satisfaz o teste da reta vertical se e só se ela não é uma reta vertical. Portanto se f é uma reta não vertical ela é uma função real, denominada função afim. Se f é uma função afim, então seu domínio e sua imagem coincidem com a reta R, como é mostrado pela Figura 1.11. Figura 1.11: Exemplo de uma função afim. Em geral, se os pontos ( x0, y0 ) , ( x1, y1 ) e ( x, y ) pertencem à função afim f , utilizando semelhança de triângulos, temos que y − y0 x −x0 = m = y1 − y0 x1 −x0 para todo x ∈R, onde m é denominado coeficiente angular. Temos então que y − y0 = m (x −x0) 20 Capítulo 1. Preliminares que é a famosa equação da reta passando por ( x0, y0 ) com inclinação m. Iso- lando y como função de x, obtemos a expressão algébrica de f dada por y = f (x) = y0 +m (x −x0) . que nada mais é que a equação do gráfico de f . A expressão algébrica de f também pode ser dada por f (x) = mx +b onde b = f (0)= y0 −mx0 No exemplo seguinte, vamos mostrar que uma parábola é de fato uma função real. Uma parábola é o conjunto dos pontos p cuja distância é constante em relação a uma dada reta horizontal hg , denominada reta gera- triz, e a um dado ponto F fora dela, denominado ponto focal, como ilustrado pela Figura 1.12. Figura 1.12: A parábola é uma função. 1.2. Funções reais 23 Figura 1.13: Altura de um corpo em queda na ausência de atrito do ar. e devemos denotar explicitamente a função movimento por s : [0, tA] →R. Considere agora a seguinte situação mais realista, ilustrada pela Figura 1.13. Um corpo, que se encontrava suspenso em posição de repouso na al- tura s0, é solto no instante t = 0 e permanece em repouso após atingir o solo no instante de aterrisagem t = tA . Nessa situação, a expressão algébrica da função posição se altera de uma parte para a outra do seu domínio e é dada por s(t ) =      s0, se t ≤ 0 s0 − g t 2 2 , se 0≤ t ≤ tA 0, se t ≥ tA Uma função com uma expressão desse tipo é denominada definida por partes. Concluiremos está seção definindo as principais operações entre funções reais. Sejam f e g duas funções reais. A função ( f + g ) (x) = f (x)+ g (x) é denominada soma de f mais g e seu domínio natural é a interseção dos domínios de f e g . De forma análoga, definimos o produto de f vezes g por ( f g ) (x) = f (x)g (x) 24 Capítulo 1. Preliminares onde seu domínio natural é também a interseção dos domínios de f e g . No caso do quociente de f por g , definido por ( f g ) (x) = f (x) g (x) o domínio natural são os pontos comuns aos domínios de f e g , excluindo-se os pontos tais que g (x) = 0. Finalmente, definimos a composição de f com g por ( f ◦ g ) (x) = f ( g (x) ) cujo domínio são os pontos x ∈ R que pertencem ao domínio de g tais que suas imagens g (x) pertencem ao domínio de f . Enquanto a soma e o produto de funções são operações comutativas, o mesmo não ocorre com o quociente e a composição de funções. 1.3 FUNÇÕES INVERSAS Assim como no caso de funções, introduzimos o conceito de função inversa a partir de uma perspectiva puramente geométrica. Figura 1.14: Função injetiva f . Na Seção 1.2, definimos uma função real como um conjunto de pontos do plano Cartesiano satisfazendo o denominado teste da reta vertical. Uma função f é denominada injetiva se ela também satisfaz o denominado teste 1.3. Funções inversas 25 da reta horizontal: cada reta horizontal possui no máximo um ponto em co- mum com f , como ilustrado pela Figura 1.14. Uma função f é denominada monótona se ela é crescente ou ela é decrescente. Se f é monótona, então ela é injetiva, pois claramente satisfaz o teste da reta horizontal. Neste caso, para cada y na sua imagem, existe um único x no seu domínio tal que y = f (x). A sua inversa g inversa é definida de modo que g ( y ) = x, como ilustrado pela Figura 1.14. Temos que o domínio de g é a imagem de f e que a imagem de g é o domínio de f . Além disso, temos que y = f (x) se e só se x = g ( y ) Substituindo a primeira igualdade na segunda, obtemos que x = g ( f (x) ) Por outro lado, substituindo a segunda igualdade na primeira, obtemos que y = f ( g ( y )) Essa é a razão de g ser denominada de inversa de f , uma vez que elas se cancelam quando compomos uma com a outra. Figura 1.15: Função inversa g . O gráfico de g pode ser melhor visualizado fazendo a reflexão do gráfico da f em relação a reta bissetriz, como ilustrado pela Figura 1.15. Essa reflexão 28 Capítulo 2. Limite Figura 2.1: Posição e variações do espaço e do tempo τ deveria ser obtida como a velocidade média no intervalo entre os instantes τ e τ. No entanto, isso não é possível pois neste caso ∆t = 0 e a velocidade média deixa de fazer sentido. O que podemos fazer então é investigar se a velocidade média se aproxima de um valor v à medida que t se aproxima de τ. Se isso ocorre, dizemos que v é a velocidade no instante τ. Para organizar melhor as idéias, podemos fazer isso passo a passo, consi- derando uma sequência de instantes de tempo diferentes de τ, mas cada vez mais próximos de τ t1, t2, t3, . . . , tn , . . . e considerar a sequência das respectivas velocidades médias v1, v2, v3, . . . , vn , . . . onde vn = s (tn)− s (τ) tn −τ é a velocidade média no intervalo entre τ e tn . Se a sequência de velocidades médias vn se aproxima de um valor v , dizemos que esse valor é a velocidade no instante τ, o que nos fornece o conceito de velocidade instantânea. 2.1. Aproximação da origem 29 Nosso primeiro passo no Cálculo será tornar mais preciso o conceito de uma sequência de números reais se aproximar de um dado ponto da reta. Uma sequência é uma lista infinita de números reais a1, a2, a3, . . . , an , . . . Denotamos à sequência acima simplesmente pelo seu termo geral an , que aparece na lista na posição n. Devemos pensar numa sequência de núme- ros reais como uma progressão infinita de pontos da reta real R evoluindo no tempo em passos sucessivos. Primeiro consideramos sequências que se aproximam da origem, como por exemplo a sequência harmônica 1 n , dada pela seguinte lista infinita 1, 1 2 , 1 3 , . . . , 1 n , . . . Nesse caso, o ponto 1 n é alcançado no n-ésimo passo. Figura 2.2: Sequência harmônica se aproximando da origem. Como ilustra a Figura 2.2, é intuitivo que, à medida que o tempo passa, a sequência harmônica se aproxima de 0. Neste caso, dizemos que 0 é o limite da sequência 1 n . Figura 2.3: Sequência anti-harmônica se aproximando da origem. 30 Capítulo 2. Limite Um outro exemplo de sequência que se aproxima da origem é a denomi- nada sequência anti-harmônica, ilustrada pela Figura 2.3 e dada por − 1 n . Um último exemplo de sequência se aproximando da origem, a sequência harmô- nica alternada, é ilustrada pela Figura 2.4 e dada por (−1) n n . Figura 2.4: Sequência harmônica alternada se aproximando da origem. Mas o que significa, de maneira mais precisa, que uma sequência an se aproxima da origem? A idéia básica é sermos cada vez mais rigorosos quanto a proximidade de an da origem. Para isso, considerarmos intervalos de erro arbitrariamente pequenos (−ε,ε), com margem de erro ε > 0, como ilustra a Figura 2.5. Se a sequência an se aproxima da origem, a partir de um determi- nado passo, a sequência passa a ficar dentro desse intervalo de erro. Mas e se considerarmos um intervalo com margem de erro menor? Provavelmente teremos que esperar um pouco mais para que a sequência passe a ficar den- tro desse novo intervalo de erro. Ou seja, para cada margem de erro ε > 0, deve existir um passo n (ε), denominado tempo de espera, a partir do qual a sequência fica dentro do intervalo de erro de margem ε. Neste caso, isto é denotado por an → 0 Assim, quanto mais rigorosos formos, adotando margens de erro ε menores, mais pacientes deveremos ser, aguardando um tempo de espera n (ε) maior. Figura 2.5: Intervalos de margem de erro ε e δ em torno da origem. 2.1. Aproximação da origem 33 ε 1/ε na (ε) p 1/ε nb (ε) 0,5 2 3 1,414. . . 2 0,4 2,5 3 1,581. . . 2 0,3 3,333. . . 4 1,825. . . 2 0,2 5 6 2,236. . . 3 0,1 10 11 3,162. . . 4 0,01 100 101 10 11 0,001 1000 1001 31,622. . . 32 Não é difícil perceber que os tempos de espera para an são muito maiores que os tempos de espera para bn . PROPRIEDADES DA APROXIMAÇÃO DA ORIGEM Agora vamos considerar o que acontece com a soma de duas sequências que se aproximam da origem. Proposição 2.1: Se an ,bn → 0, então an +bn → 0. Prova: A idéia da demonstração se baseia no seguinte fato: se an e bn estão no intervalo de erro ( −ε2 , ε 2 ) , então sua soma an +bn está no intervalo de erro (−ε,ε). Sejam na (ε) e nb (ε) os tempos de espera, respectivamente, de an e bn . Temos então que n ≥ na ( ε 2 ) =⇒ − ε 2 < an < ε 2 e também que n ≥ nb ( ε 2 ) =⇒ − ε 2 < bn < ε 2 . Escolhendo n (ε) como o maior dentre os tempos na ( ε 2 ) e nb ( ε 2 ) , somando as desigualdades acima, teremos então que n ≥ n (ε) =⇒ −ε< an +bn < ε, mostrando que n (ε) é um tempo de espera de an +bn para a margem de erro ε. 34 Capítulo 2. Limite Para ilustrar o resultado acima, considere a sequência an + bn , que é a soma, respectivamente, das sequências harmônica an e harmônica alternada bn . Temos que an +bn = { 2 n , n é ímpar 0, n é par como ilustrado pela Figura 2.7. O resultado acima garante que an +bn → 0. Figura 2.7: Soma das sequências harmônica e harmônica alternada. A próxima proposição é uma versão mais restrita do famoso Teorema do Sanduíche. Proposição 2.2: Se 0 ≤ an ≤ bn e bn → 0, então an → 0. Prova: Uma vez que 0 ≤ an ≤ bn , podemos adotar para an o mesmo tempo de espera para bn . De fato, seja n (ε) um tempo de espera de bn . Então temos que n ≥ n (ε) =⇒ an ≤ bn < ε. Uma vez que |an | = an , isso mostra que n (ε) é um tempo de espera de an para a margem de erro ε. Uma exemplo de aplicação do resultado acima é mostrar que a progressão geométrica com razão r = 1/2 se aproxima da origem. Na Seção 1.1, mostra- mos por indução que 2n > n, para todo n ∈N. Neste caso, invertendo ambos os lados dessa desigualdade, segue que 0 < 1 2n < 1 n 2.1. Aproximação da origem 35 Como 0 → 0 e também 1 n → 0, temos que 1 2n → 0 Dizemos que uma sequência bn é limitada quando ela não se afasta muito da origem. Em outras palavras, existe uma constante R tal que |bn | < R para todo n ∈N, como ilustra a Figura 2.8. Figura 2.8: Uma sequência limitada. É intuitivo que toda sequência que se aproxima da origem é limitada. A sequência alternada, dada por (−1)n e ilustrada pela Figura 2.9, é um exemplo de uma sequência limitada, mas que não se aproxima da origem. Como mos- tramos a seguir, o produto de uma sequência limitada por uma sequência que se aproxima da origem também se aproxima da origem. Um exemplo disso é a sequência harmônica alternada que é o produto da sequência harmônica, que se aproxima da origem, pela sequência alternada, que é apenas limitada. Figura 2.9: Sequência alternada é limitada, mas não se aproxima da origem. Proposição 2.3: Se an → 0 e bn é limitada, então anbn → 0. Prova: A idéia dessa demonstração se baseia no seguinte fato: se bn está no intervalo (−R ,R) e an está no intervalo de erro ( − ε R , ε R ) , então anbn está no 38 Capítulo 2. Limite (A) bn é limitada e (B) 1 bn é limitada, caso b > 0. Prova: Vamos usar o seguinte fato, cuja demonstração deixamos ao leitor: para que uma sequência an seja limitada basta que, a partir de um certo passo n, os termos da sequência se encontrem num intervalo (L, M). (A) Temos que n ≥ n (ε) =⇒ −ε< bn −b < ε, uma vez que bn −b → 0. Logo n ≥ n (ε) =⇒ b −ε< bn < b +ε, (2.1) mostrando que bn é limitada. (B) Escolhendo ε= b2 na equação (2.1), temos que n ≥ n ( b 2 ) =⇒ b 2 < bn < 3b 2 . Invertendo os três membros da desigualdade acima, segue que n ≥ n ( b 2 ) =⇒ 2 3b < 1 bn < 2 b , mostrando que 1 bn é limitada. A sequência alternada, ilustrada pela Figura 2.9, apesar de limitada, não se aproxima de nenhum ponto da reta. De fato, quando n é ímpar, (−1)n se mantém distante de qualquer número positivo e, quando n é par, (−1)n se mantém distante de qualquer número negativo. Agora consideramos um exemplo bastante curioso, a denominada se- quência de Fibonacci dada por an da seguinte maneira: seus dois primeiros passos são iguais a um, ou seja, a1 = a2 = 1. Para obtermos os demais passos, utilizamos a seguinte fórmula an+2 = an+1 +an 2.2. Limite de sequências 39 Os 10 primeiros passos desta sequência são apresentados na seguinte lista 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . . Esta sequência claramente não possui limite. Entretanto é possível mostrar que a sequência das razões de Fibonacci 1 1 , 2 1 , 3 2 , 5 3 , 8 5 , 13 8 , 21 13 , 34 21 , 55 34 , . . . dada pelas razões rn = an+1 an é de fato convergente e que seu limite é igual a φ= 1+ p 5 2 denominado razão áurea. Este número mágico, conhecido desde a antigui- dade, é obtido geometricamente dividindo-se um dado segmento em dois pe- daços, de modo que a proporção do todo φ sobre a parte maior 1 coincida com a proporção da parte maior φ sobre a parte menor φ−1, como ilustrado na Figura 2.10. A razão áurea φ é então qualquer uma destas duas proporções idênticas e satisfaz φ 1 = 1 φ−1 Figura 2.10: Razão áurea em segmento. 40 Capítulo 2. Limite PROPRIEDADES DO LIMITE DE SEQUÊNCIAS Para determinarmos o limite da sequência das razões de Fibonacci é de fato a razão áurea, precisamos considerar o comportamento do limite em relação às operações de soma, produto e quociente de sequências, as conhecidas regras de limite. Proposição 2.5: Sejam an → a e bn → b, então (S) an +bn → a+b (P) anbn → ab (Q) an bn → a b , se bn ,b 6= 0 Prova: Pela definição, temos que an −a → 0 e bn −b → 0. (S) A regra da soma segue então da Proposição 2.1, uma vez que an +bn − (a+b) = (an −a)+ (bn −b) → 0. (P) Para a regra do produto, primeiro observamos que bn é limitada, pela Proposição 2.4. Pelas Proposições 2.1 e 2.3, segue que anbn −ab = anbn −abn +abn −ab, = (an −a)bn +a (bn −b) → 0. (Q) Para a regra do quociente, primeiro observamos que, pela regra do pro- duto, como an bn = an 1 bn , basta mostramos que 1 bn → 1 b . Para isto, consi- deramos 1 bn − 1 b = b −bn bnb = 1 bbn (b −bn) . Pela Proposição 2.4, temos que 1 bbn é limitada, uma vez que bbn → b2 > 0, pela regra do produto. O resultado segue então da Proposição 2.3. 2.2. Limite de sequências 43 Multiplicando a igualdade acima por φ, temos que esse limite é solução da seguinte equação quadrática φ2 −φ−1 = 0 cuja única solução positiva é de fato a razão áurea φ= 1+ p 5 2 SEQUÊNCIA DOS SEMI-PERÍMETROS Concluímos esta seção com a clássica sequência dos semi-perímetros SP (In) dos polígonos regulares inscritos In , cujo número de lados é igual a 2n+1. A Figura 2.11 ilustra o semi-círculo e os dois primeiros polígonos, I1 e I2, que são, respectivamente, o quadrado e o octógono inscritos. O comprimento dos lados de In é denotado por ln . Figura 2.11: Sequência de polígonos inscritos. 44 Capítulo 2. Limite Pelo Teorema de Pitágoras, temos que l1 = p 2. Para calcularmos l2, consi- deramos os triângulos retângulos△AC P e △AP0, onde 0 é o centro do círculo unitário. Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, obtemos o seguinte sistema de equações l 22 = x 2 1 + l 21 4 , (2.2) 1 = h21 + l 21 4 e 1 = x1 +h1 onde h1 é a altura do triângulo△AB0 de base l1. Pela última equação de (2.2), temos que h1 = 1− x1. Substituindo na segunda equação de (2.2) e simplifi- cando, obtemos x21 −2x1 + l 21 4 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara e o fato de que 0< x1 < 1, temos que x1 = 2− √ 4− l 21 2 e, portanto, que x21 = 4−4 √ 4− l 21 + ( 4− l 21 ) 4 . Substituindo este valor na primeira equação de (2.2), obtemos que l 22 = 2− √ 4− l 21 . (2.3) Além disso, temos também que h1 < h2, onde h2 é a altura do triângulo△AC 0 de base l2, pois h2 é maior que a hipotenusa do triângulo retângulo △QP0. Para se obter o lado l3 a partir do lado l2, realiza-se um procedimento análogo. Como mostra a figura (2.11), considerando os triângulos retângu- los △ADQ e △AQ0 e aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, obtemos o seguinte sistema de equações l 23 = x 2 2 + l 22 4 , 1 = h22 + l 22 4 e 1 = x2 +h2 2.2. Limite de sequências 45 onde em todas as equações de (2.2) substituimos l1 por l2, l2 por l3, x1 por x2 e h1 por h2. Isto mostra que a relação entre o lado l3 e o lado l2 deve ser a similar à relação entre o lado l2 e o lado l1 dada pela equação (2.3), de modo que l 23 = 2− √ 4− l 23 e novamente temos também que h2 < h3. De maneira geral, procedendo-se de modo análogo, obtemos que a relação entre o lado ln+1 e o lado ln é dada pela equação l 2n+1 = 2− √ 4− l 2n , que hn < hn+1 e portanto que h1 < hn . A tabela abaixo mostra os 10 primeiros passos do processo descrito acima. n 2n l 2n ln SP (In) 1 2 2 1,414214 2,828427 2 4 0,585786 0,765367 3,061467 3 8 0,152241 0,390181 3,121445 4 16 0,0384294 0,196034 3,136548 5 32 0,00963055 0,0981353 3,140331 6 64 0,00240909 0,0490825 3,141277 7 128 0,000602363 0,0245431 3,141514 8 256 0,000150596 0,0122718 3,141573 9 512 0,0000376494 0,00613591 3,141588 10 1024 0,00000941238 0,00306796 3,141591 ... ... ... ... ... ∞ ∞ 0 0 π EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2.2.1 Utilizando as regras de limite, temos que (i ) O limite da sequência n +2 2n é (a) 1 (b) 1/2 (c) 3/2 (d) 5/4 48 Capítulo 2. Limite Prova: Temos que ( 1+ x 2n+1 )2n+1 = ( ( 1+ x 2n+1 )2 )2n = ( 1+2 x 2n+1 + x2 22n+2 )2n > ( 1+ x 2n )2n . Precisamos também do seguinte resultado. Proposição 2.10: Para cada x, y ≥ 0, temos que ( x + y ) n ≤ xn yn ≤ ( x + y ) n+1 Prova: Temos que ( x + y ) n = ( 1+ x + y 2n )2n ≤ ( 1+ x + y 2n + x y 22n )2n = xn yn , mostrando a primeira desigualdade. Para a segunda desigualdade, primeiro observamos que, uma vez que 0 ≤ ( x − y )2 = ( x + y )2 −4x y, segue que x y ≤ ( x + y )2 4 . 2.3. Função exponencial 49 Portanto xn yn = ( 1+ x + y 2n + x y 22n )2n ≤  1+ x + y 2n + (x+y)2 4 22n   2n = ( 1+2 x + y 2n+1 + (x + y 2n+1 )2 )2n = ( ( 1+ x + y 2n+1 )2 )2n = ( x + y ) n+1 . Mas será que nossa dívida pode crescer ilimitadamente, após sucessivos raciocínios do banqueiro? O próximo resultado mostra que podemos ficar um pouco tranquilos, pois a ganância do banqueiro estará sempre limitada. Proposição 2.11: Para cada 0≤ x < l , onde l ∈N, temos que xn ≤ ( 1 1−x/l )l Prova: Primeiro vamo provar o caso em que 0 ≤ x < 1. Por simplicidade, de- notamos m = 2n , de modo que xn = ( 1+ x m )m Pela Proposição A.3, temos que ( 1+ x m )m = (m 0 ) + (m 1 ) x m +·· ·+ (m k ) xk mk +·· ·+ (m m ) xm mm ≤ 1+x +·· ·+xk +·· ·+xm ≤ 1 1−x . 50 Capítulo 2. Limite onde utilizamos que (m k ) ≤ mk (ver Proposição A.3) e a soma dos termos da progressão geométrica infinita (ver Proposição A.2). Quando 0 ≤ x < l , temos que 0 ≤ x/l < 1 e então que (x/l )n ≤ 1 1−x/l . Utilizando a Proposição 2.10, segue que xn = (x/l +·· ·+x/l )n ≤ (x/l )n · · · (x/l )n ≤ ( 1 1−x/l )l . PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado x ≥ 0, existe um natural l tal que x < l . Pelas Proposições 2.9 e 2.10, seque que a ganância do banqueiro xn é uma sequência monótona e limitada. Pela Proposição A.5, seu limite existe e é denominado de exponencial de x, de modo que xn = ( 1+ x 2n )2n → ex Para cada x ≥ 0, definimos e−x = 1 ex A próxima proposição apresenta as propriedades básicas da exponencial. Proposição 2.12: Temos que 1+x ≤ ex ≤ 1 1−x 2.4. Limite de funções 53 (A) Definimos u = log(x) e também v = log ( y ) . Temos então que x = eu e que y = ev . Pela Proposição 2.12, segue então que x y = euev = eu+v o que mostra que log ( x y ) = u +v = log(x)+ log ( y ) (B) A demonstração deste item é consequência imediata do item (A) e é deixada como exercício. Vamos agora definir a exponencial com numa base a > 0. Uma vez que an = e log(a n) = en log(a). Definimos então a exponencial com base a por ax = ex log(a) para todo x ∈R. 2.4 LIMITE DE FUNÇÕES Um corpo é solto no instante t = 0 de uma altura s0 = 1 e permanece em re- pouso após atingir o solo. Utilizando a expressão geral apresentada na Seção 1.2, na ausência de atrito com o ar e supondo uma aceleração da gravidade g = 2, o instante de aterrissagem é tA = 1 e sua função posição vertical é dada por s (t ) = { 1− t 2, se 0 ≤ t ≤ 1 0, se t ≥ 1 Na Seção 2.1, discutimos sobre o que seria a velocidade de um movimento desse tipo num instante fixado τ. Aqui vamos retomar essa discussão sob o ponto de vista de funções. Fixando o instante τ, a velocidade média vτ entre os instantes τ e t é uma função de t dada por vτ (t ) = s (t )− s (τ) t −τ , (2.5) 54 Capítulo 2. Limite uma vez que s (t )− s (τ) é a variação do espaço e t −τ é a variação do tempo entre estes instantes. A velocidade no instante τ deveria ser obtida como a velocidade média vτ (τ) no intervalo entre os instantes τ e τ. No entanto, isso não é possível pois a função vτ claramente não está definida em t = τ, pois neste caso t −τ= 0 e a velocidade média deixa de fazer sentido. O que pode- mos fazer então é investigar se os valores vτ (t ) da função velocidade média se aproximam de um valor v à medida que t se aproxima de τ. Se isso ocorre, dizemos que esse valor é a velocidade no instante τ. Na Seção 2.1, fizemos t se aproximar τ passo a passo, considerando uma sequência particular de instantes tn → τ. Quando a sequência das respectivas velocidades médias vτ (tn) se aproximava de um valor v , esse valor era ado- tado como velocidade no instante τ. Mas... será que nos aproximando de τ com uma outra sequência de instantes, não poderíamos obter um outro valor para a velocidade no instante τ? O seguinte exemplo mostra que isso pode ocorrer. Figura 2.12: Função velocidade média v1 Vamos tentar calcular a velocidade do corpo no instante de aterrissagem τ= 1. Pela equação (2.5), a função velocidade média entre 1 e t é dada por v1 (t ) =    1− t 2 t −1 , se 0≤ t < 1 0, se t > 1 como ilustrado pela Figura 2.12. 2.4. Limite de funções 55 Tomando a sequência de instantes tn = 1− 1n se aproximando de τ = 1, como tn < 1, temos que v1 (tn) = 1− t 2n tn −1 = ( 1+ tn) (1− tn) tn −1 =− (1+ tn) →−2, onde utilizamos a regra do limite da soma. Por outro lado, tomando agora outra sequência de instantes tn = 1+ 1n se aproximando de τ= 1, como tn > 1, temos que v1 (tn) = 0→ 0. Então, imediatamente antes e imediatamente depois do instante de aterrissa- gem, as velocidades do corpo são diferentes, mostrando que a velocidade no instante τ= 1 não está bem definida. Para definirmos a velocidade no instante τ, devemos então considerar to- das as maneiras possíveis de nos aproximar de τ. Mais precisamente, dizemos que v é a velocidade no instante τ se vτ (tn) → v para toda sequência de instantes tn → τ, com tn 6= τ. Nesse caso dizemos que v é o limite de vτ (t ) quando t tende a τ e denotamos isso por lim t→τ vτ (t ) = v De maneira mais geral, dada uma função real f , dizemos que L é o limite de f (x) quando x tende a a, e denotamos isso por lim x→a f (x) = L quando f (xn) → L para toda sequência xn → a, com xn 6= a, como ilustrado pela Figura 2.13. Exigimos que xn 6= a, pois não nos interessa saber o que acontece exa- tamente em cima do ponto a considerado, mas apenas em pontos arbitra- riamente próximo ao ponto a. Portanto o ponto a pode nem sequer estar 58 Capítulo 2. Limite Como caso particular das regras do produto e do quociente, temos que lim x→a c f (x) = c lim x→a f (x) e lim x→a f (x) c = lim x→a f (x) c ou seja, “a constante multiplicando ou dividindo sai do limite". Prova: Denotando L f = lim x→a f (x) e Lg = lim x→a g (x) , temos que se xn → a, com xn 6= a, então f (xn) → L f e g (xn) → Lg . Pelas regras de limite de sequência, temos que (S) ( f + g ) (xn) = f (xn)+ g (xn) → L f +Lg (P) ( f g ) (xn) = f (xn) g (xn) → L f Lg (Q) ( f g ) (xn) = f (xn) g (xn) → L f Lg , o que demonstra a proposição. Por exemplo, temos que lim y→3 y2 = ( lim y→3 y )( lim y→3 y ) = 32 = 9 e também que lim x→3 x2 +1 = lim x→3 x2 + lim x→3 1= 32 +1= 10. Vale também a monotonicidade para o limite de funções. 2.4. Limite de funções 59 Proposição 2.15: (Monotonicidade) Se f ≤ g e existem lim x→a f (x) e lim x→a g (x) , então lim x→a f (x) ≤ lim x→a g (x) Prova: Utilizando a mesma notação empregada na demonstração das regras de limite, temos que se xn → a, com xn 6= a, então f (xn) → L f e também que g (xn) → Lg . Como f ≤ g , temos que f (xn) ≤ g (xn). Pela monotonicidade do limite de sequências, segue que L f ≤ Lg , o que demonstra o resultado. O seguinte teorema é uma ferramenta básica no estudo do comporta- mento das funções reais, conhecido pelo sugestivo nome de Teorema do San- duíche para funções. Teorema 2.16: (Sanduíche) Se f ≤ h ≤ g e lim x→a f (x) = lim x→a g (x) , então lim x→a h (x) = lim x→a f (x) = lim x→a g (x) Prova: Utilizando a mesma notação empregada na demonstração da mono- tonicidade, temos que se xn é tal que xn → a, então f (xn) → L f e também que g (xn) → Lg . Como f ≤ h ≤ g , temos que f (xn) ≤ h (xn) ≤ g (xn). Pelo Teorema do Sanduíche para sequências, segue que h (xn) → L f = Lg e demonstra o resultado. LIMITES L ATERAIS Vamos definir agora os conceitos de limites laterais, respectivamente, es- querdo e direito de uma dada função num dado ponto. Para isso precisamos da seguinte definição de limite de sequências. Se an → a e a < an , para todo 60 Capítulo 2. Limite n ∈ N, dizemos que an tende (ou converge) para a pela direita e denotamos isto por an ↓ a. De maneira análoga, se an → a e an < a, para todo n ∈ N, dizemos que an tende (ou converge) para a pela esquerda e denotamos isto por an ↑ a. Enquanto a sequência harmônica se aproxima com pontos locali- zados apenas à direita da origem, a sequência anti-harmônica se aproxima à esquerda da origem e a sequência harmônica alternada por ambos os lados, como ilustram as Figuras 2.2, 2.4 and 2.3. Intuitivamente, o limite lateral esquerdo de f em um ponto a ∈ R, quando existe, é o número real denotado por Le = lim x↑a f (x) tal que se x se aproxima de a pela esquerda, então f (x) se aproxima de Le . Mais precisamente, para toda sequência xn de pontos no domínio dom ( f ) tal que xn ↑ a, temos que f (xn) → Le . O limite lateral direito de f em um ponto a ∈R é definido de forma análoga como o número real denotado por Ld = lim x↓a f (x) tal que se x se aproxima de a pela direita, então f (x) se aproxima de Ld , ou de modo mais preciso, para cada sequência xn de pontos no domínio dom ( f ) tal que xn ↓ a, temos que f (xn) → Ld . Uma notação alternativa muito utilizada para limites laterais é x → a+ si- gnificando x ↓ a e x → a− significando x ↑ a. Com essa notação, temos que lim x→a− f (x) = lim x↑a f (x) e lim x→a+ f (x) = lim x↓a f (x) É importante observar que, no caso em que o domínio da função f é o in- tervalo limitado [a,b], os conceitos de limite e de limite lateral coincidem nos pontos da fronteira do intervalo, como ilustra a Figura 2.15, onde temos que lim x→a f (x) = lim x↓a f (x) e lim x→b f (x) = lim x↑b f (x) , pois no primeiro caso não faz sentido o limite lateral esquerdo e no segundo caso não faz sentido o limite lateral esquerdo. 2.4. Limite de funções 63 Agora considere uma função cujo domínio é um intervalo aberto. Vamos mostrar que o limite existe em um dado ponto do domínio se e só se os limites laterais existem e são iguais. Proposição 2.17: Seja f tal que dom ( f ) é um intervalo aberto. Para todo a ∈ dom ( f ) , temos que lim x→a f (x) = L ⇔ lim x↑a f (x) = L = lim x↓a f (x) . Prova: Vamos primeiro supor que o limite de f em a existe e é igual a L. Neste caso, se xn ↑ a ou xn ↓ a, temos que f (xn) → L, o que mostra que os limites la- terais existem e são iguais a L. Agora supomos que os limites laterais existem e são iguais a L. Seja xn → a uma sequência qualquer tal que xn 6= a. Definimos yn = a−|a−xn | e zn = a+|xn −a|. Neste caso, temos que yn ↑ a e que zn ↓ a. Logo segue que f ( yn ) , f (zn) → L. Como xn = yn , quando xn < a, ou xn = zn , quando xn > a, segue que 0 ≤ | f (xn)−L| ≤ | f ( yn ) −L|+ | f (zn)−L|. O resultado segue então do Teorema do Sanduíche. Este resultado é extremamente útil para se analisar a existência do limite nos pontos onde uma dada função muda sua expressão algébrica. Por exem- plo, seja f uma função dada por f (x) =      x 4 , se 0≤ x < 2 1 x , se x ≥ 2. Temos que lim x↑2 f (x) = lim x↑2 x 4 = 2 4 , pois, pela regra do quociente, se xn ↑ 2, então xn 4 → 2 4 . Por outro lado temos que lim x↓2 f (x) = lim x↓2 1 x = 1 2 , 64 Capítulo 2. Limite pois, novamente pela regra do quociente, se xn ↓ 2, então 1 xn → 1 2 . Portanto concluímos que os limites laterais de f no ponto x = 2 existem e coincidem, mostrando que o limite de f no ponto x = 2 também existe e que lim x↑2 f (x) = lim x↓2 f (x) = lim x→2 f (x) . EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2.4.1 Considere a função f (x) = x2 −1 x −1 . Podemos afirmar que (i ) lim x→0 f (x) (a) não existe, pois limx→0− f (x) < 0 e limx→0+ f (x) > 0 (b) não existe, pois f (1) não está definido (c) é igual a −1 (d) é igual a 1 (i i ) lim x→1 f (x) é igual a (a) é igual a f (1) (b) não existe, pois f (1) não está definido (c) é igual a −2 (d) é igual a 2 Sugestão: divida os polinômios. 2.4.2 Podemos afirmar que lim x→−1 x3 +1 x +1 (a) é igual a 0, pois x3 +1= 0 quando x =−1 (b) não existe, pois x +1 = 0 quando x =−1 (c) é igual limx→−1 x2 −x +1 (d) é igual a um número par Sugestão: divida os polinômios. 2.4.3 Podemos afirmar que lim x→2 x3 +3x2 −11x +2 x −2 (a) é igual a 0, pois x3 +3x2 −11x +2= 0 quando x = 2 (b) não existe, pois x −2 = 0 quando x = 2 (c) é igual a um número primo (d) é igual a um número par 2.4. Limite de funções 65 Sugestão: divida os polinômios. 2.4.4 Podemos afirmar que lim x→2 x3 −1 x −1 (a) não existe, pois limx→2 x3 −1 > limx→2 x −1 (b) é igual ao quociente dos limites limx→2 x3 −1 e limx→2 x −1 (c) é igual a um número irracional maior que 2 (d) é igual a um número par 2.4.5 Podemos afirmar que lim x→a x3 −a3 x −a (a) é igual a 0, pois x3 −a3 = 0 quando x = a (b) não existe, pois x −a = 0 quando x = a (c) é igual limx→a x2 −ax +a2 (d) é igual a 3a2 Sugestão: divida os polinômios. 2.4.6 Considerando a função f (x) = { 0, se x < 0 x2 +1, se x ≥ 0. , podemos afirmar que lim x→0 f (x) (a) é igual a 1 (b) não existe, pois limx→0− f (x) 6= limx→0+ f (x) (c) não existe, pois limx→0− f (x) 6= f (0) (d) só existe quando limx→0− f (x) = limx→0+ f (x) = f (0) 2.4.7 Considerando a função f (x) = { x, se x < 1 1/x, se x ≥ 1. podemos afirmar que lim x→1 f (x) (a) é igual a 1, pois f (1) = 1 (b) é igual a 1, pois limx→1+ f (x) = limx→1− f (x) = 1 (c) não existe, pois limx→1− f (x) > limx→1+ f (x) (d) não existe, pois f não está definida em 1 68 Capítulo 2. Limite (C) Para a composição, vamos utiliza a Proposição 2.18. Se xn → a, pela continuidade de g em a, temos que g (xn) → a. Então, pela continui- dade de f em g (a), segue que f ( g (xn) ) → f ( g (a) ) . O resultado segue, pois mostramos que f ( g (xn) ) → f ( g (a) ) , para todo sequência xn → a. Se p é a função polinomial dada por p (x) = an xn +·· ·+a1x +a0, então p é contínua em todos os pontos. Isso segue a partir das regras da soma e do produto e do fato que as funções constantes e a função identidade serem contínuas em todos os pontos. Dizemos que uma função real f é contínua, se f é contínua em todos os pontos do seu domínio. Pela observação acima, temos que as funções polinomiais são contínuas. Se r é uma função racional dada por r (x) = p (x) q (x) onde p (x) e q (x) são polinômios, temos, pela regra do quociente, que lim x→a r (x) = r (a) , para todo a tal que q (a) 6= 0. Isto mostra que as funções polinomiais são contínuas. Em termos dos limites laterais, temos a seguinte caracterização, que é uma consequência imediata da Proposição 2.17. Corolário 2.20: Seja a ∈ dom ( f ) , onde dom ( f ) é um intervalo aberto. Temos que f é continua em a se e só se os limites laterais de f em a são iguais a f (a). Existem três possibilidades para que uma função f seja descontínua num dado ponto a ∈R. Uma primeira possibilidade é o limite de f no ponto a nem sequer existir, como nos exemplos ilustrados pelas Figuras 2.16 e 2.7, onde a = 0. Uma outra possibilidade é, apesar do limite de f no ponto a existir, a função f não estar definida em a, como no exemplo apresentado pela Figura 2.5. Continuidade de funções 69 Figura 2.18: Limite existe mas não coincide com altura dada por f na origem. 2.14, onde a = 1. Uma última possibilidade é, o limite de f no ponto a existir, a função f estar definida em a, mas estes valores não coincidirem, como é ilustrado pela Figura 2.18. Neste exemplo, a função f é dada por f (x) = { 1, se x 6= 0 0, se x = 0 e temos que lim x→0 f (x) = 1 6= 0= f (0) . Concluiremos esta seção mostrando que a função exponencial é contínua no seu domínio natural. Antes necessitamos da seguinte proposição. Proposição 2.21: Temos que lim x→a f (x) = lim h→0 f (a+h) , onde um lado desta equação existe se e só se o outro também existe. Em particular, f é contínua em a se e só se lim h→0 f (a+h) = f (a) . 70 Capítulo 2. Limite Prova: O resultado segue do fato de que xn = hn +a → a, com xn 6= a, se e só se hn = xn −a → 0, com hn 6= 0. Vamos agora mostrar que a função exponencial é contínua. Proposição 2.22: A função exponencial é contínua. Prova: Primeiro vamos mostrar que a exponencial é contínua na origem, ou seja, que lim h→0 eh = e0 = 1. (2.8) Pela Proposição 2.12, temos que 1+h ≤ eh ≤ 1 1−h , para todo −1 < h < 1. A equação (2.8) segue então do Teorema do Sanduíche. Novamente pela Proposição 2.12, temos que ea+h = eaeh, para todos a,h ∈R. Utilizando a regra do produto e a continuidade na origem, obtemos que lim h→0 ea+h = ea , o que mostra, pela Proposição 2.21, que a função exponencial é contínua em toda reta R. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2.5.1 A função f (x) = { 0, se x < 0 x2 +1, se x ≥ 0 , é contínua em x = 0? (a) Sim, pois limx→0+ f (x) = f (0) (b) Sim, pois limx→0− f (x) = limx→0+ f (x) = f (0) (c) Não, pois limx→0+ f (x) 6= f (0) (d) Não, pois limx→0− f (x) 6= f (0) 2.6. Teorema do Valor Intermediário 73 2.6 TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO O próximo resultado garante a existência de raízes para funções contínuas que mudam de sinal na fronteira de seu domínio. Proposição 2.23: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] com f (a) < 0 e f (b) ≥ 0. Então f (c) = 0 para algum c ∈ [a,b]. Prova: Vamos aplicar o denominado método da bissecção, construindo se- quências cujo limite é uma raiz c de f , como ilustrado pela Figura 2.19. Va- mos proceder passo a passo. Iniciamos com os pontos da fronteira, definindo x1 = a e também y1 = b, de modo que f (x1) < 0 e f ( y1 ) ≥ 0. No segundo passo, queremos definir x2 e y2 de modo que f (x2) < 0 e f ( y2 ) ≥ 0 e que y2 −x2 = y1 −x1 2 = b −a 2 . Para isso, consideramos então o ponto médio entre x1 e y1, dado por z1 = x1 + y1 2 , e analisamos as duas possibilidade. Se f (z1) < 0, então escolhemos x2 = z1 e y2 = y1, como ilustrado pela Figura 2.19. Caso contrário, se f (z1) ≥ 0, então escolhe- mos x2 = x1 e y2 = z1. Nas duas possibilidades, é imediato que x1 ≤ x2 ≤ y2 ≤ y1. 74 Capítulo 2. Limite Figura 2.19: Raiz de função contínua que muda de sinal Repetindo o processo anterior até o n-ésimo passo, obtemos xn e yn de modo que f (xn) < 0 e f ( yn ) ≥ 0 (2.9) e que yn −xn = yn−1 −xn−1 2 = b −a 2n−1 . (2.10) Além disso, obtemos que x1 ≤ x2 ≤ ·· · ≤ xn ≤ yn ≤ ·· · ≤ y2 ≤ y1. Repetindo o processo indefinidamente, obtemos sequências xn e yn monóto- nas limitadas. Pela Proposição A.5, segue que existem c e d tais que xn ↑ c e yn ↓ d , de modo que a ≤ c ≤ d ≤ b. Pela unicidade do limite, segue que c = d , uma vez que, por um lado, temos que yn − xn → d − c e, por outro lado, temos que yn −xn → 0, como mostra a equação (2.10). Segue então que xn , yn → c e, pela continuidade de f , obtemos que f (xn) , f ( yn ) → f (c) . Pela monotonicidade do limite e pelas desigualdades (2.9), segue que f (c) ≤ 0 e f (c) ≥ 0, 2.6. Teorema do Valor Intermediário 75 mostrando que f (c) = 0. O método da bissecção, utilizado na demonstração do resultado acima, fornece uma maneira de se obter aproximações para o valor da raíz qua- drada de um dado número. Como exemplo, vamos obter aproximações dep 2, determinarndo os quatro primeiros passos do método aplicado à função f (x) = x2 −2 no intervalo [1,2]. Iniciamos com x1 = 1, y1 = 2 e z1 = 1+2 2 = 1,5. No segundo passo, como f (z1) = (1,5)2 −2 > 0, escolhemos x2 = x1 = 1, y2 = z1 = 1,5 e z2 = 1+1,5 2 = 1,25. No terceiro passo, como f (z2) = (1,25)2 −2 < 0, escolhemos x3 = z2 = 1,25, y3 = y2 = 1,5 e z3 = 1,25+1,5 2 = 1,375. Finalmente, no quarto passo, como f (z3) = (1,375)2 −2< 0, escolhemos x4 = z3 = 1,375, y4 = y3 = 1,5 e z4 = 1,375+1,5 2 = 1,4375. O próximo resultado, conhecido como Teorema do Valor Intermediário, garante que qualquer ponto que esteja entre dois valores da imagem de uma função contínua é também um valor da imagem (ver Figura 2.20). Teorema 2.24: (TVI) A imagem de função contínua f num intervalo também é um intervalo. 78 Capítulo 2. Limite Figura 2.21: Uma função injetiva que não é monótona. Proposição 2.25: Seja f uma função contínua cujo o domínio é um intervalo. Então f é injetiva se e só se f é monótona. Prova: Já observamos acima que se f é monótona, então f é injetiva. Resta portanto mostrarmos que se f é injetiva, então f é monótona. Se f fosse inje- tiva, mas não fosse monótona, então existiriam x < y < z, pontos no domínio de f , satisfazendo a uma das seguintes possibilidade: (1) f cresce de x para y mas decresce de y para z ou (2) f decresce de x para y mas cresce de y para z, como ilustra a Figura 2.22. Vamos analisar possibilidade 1). Neste caso, temos que f (x) < f ( y ) e também que f ( y ) > f (z) e então teríamos mais dois casos: (A) f (z) < f (x) ou (B) f (z) > f (x), como mostra a Figura 2.23. No caso (A), teríamos que f (z) < f (x) < f ( y ) . Pelo TVI, existiria c ∈ dom ( f ) , onde y < c < z e tal que f (c) = f (x). Mas isto seria uma contradição com o fato de supormos que f é injetiva. No caso (B), teríamos que f ( y ) > f (z) > f (x). Pelo TVI, existiria c ∈ dom ( f ) , onde x < c < y e tal que f (c) = f (z). Novamente isto seria uma contradição com o fato de supormos que f é injetiva. Analisando a possibilidade (2) de maneira análoga, o que é deixado como exercício, obteríamos mais uma vez uma contradição. Portanto concluímos que se f é injetiva, então f só pode ser monótona. O resultado seguinte garante a continuidade da inversa de funções contí- 2.7. Continuidade de funções inversas 79 Figura 2.22: Possibilidades (1) e (2). Figura 2.23: Casos (A) e (B). nuas em intervalos. Proposição 2.26: Se f é uma função contínua e injetiva definida num inter- valo, então sua função inversa também é contínua e definida num intervalo. Prova: Pela Proposição 2.25, temos que f é monótona. Primeiro vamos mos- tra a inversa g de f é monótona. De fato, vamos mostrar que se f é crescente, então a inversa g também é crescente. O caso em que f é decrescente é aná- logo e deixado como exercício. Se f fosse uma função crescente, mas sua 80 Capítulo 2. Limite inversa g não fosse crescente, então existiriam c < d , pontos do domínio da inversa g tais que g (d) ≤ g (c). Como f é crescente, teríamos que d = f ( g (d) ) ≤ f ( g (c) ) = c o que seria uma contradição. Portanto concluímos que se f é uma função crescente, então sua inversa g só pode ser uma função crescente. Para mostrar a continuidade num ponto a do domínio de g , pela Propo- sição 2.20, basta mostrar que os limites laterais, quando fizerem sentido, são iguais a g (a). Pela Proposição A.3, o seguinte limite existe L = lim x↓a g (x) . Por definição, se xn ↓ a, então g (xn) → L. Como a função f é contínua, segue que xn = f ( g (xn) ) → f (L) . Pela unicidade do limite, temos que a = f (L). Portanto L = g (a). No caso do limite lateral esquerdo, o procedimento é análogo e deixado como exercício. Uma vez que f é contínua e definida num intervalo, pelo TVI, sua ima- gem, que é o domínio de g , é um intervalo. Este resultado é extremamente útil no estudo da continuidade das fun- ções inversas. Por exemplo, como a funções quadrática e exponencial são contínuas e definidas em intervalos, temos imediatamente que as funções raiz quadrada e logaritmo são também contínuas e definidas em intervalos. Vamos encerrar essa seção determinando o domínio dessas funções inversas. Proposição 2.27: As funções inversas abaixo são contínuas e vale domínio imagemp x [0,∞) [0,∞) log(x) (0,∞) R Prova: Pela Proposição 2.26 essas funções inversas são contínuas. As imagens dessas funções inversas são os maiores domínios onde as respectivas funções originais são injetivas, como visto nas Seções 1.3 e 2.3. Para determinar os 2.8. Funções trigonométricas 83 onde x p 1−x2/2 é mais ou menos a área do triângulo x0P , dependendo de x ser positivo ou negativo, e B (x) é a área da região delimitada pelo arco 1P e pelos segmentos 1x e xP . Temos que x p 1−x2 é contínua, pois é produto e composição de funções contínuas. Basta então mostrar que B é contínua. Pela Figura 2.25, temos que |B (x)−B (a) | ≤ |x −a|, onde |x − a| é a área do triângulo de altura um cuja base é o segmento xa. Pelo Teorema do Sanduíche, se xn → a, então B (xn) → B (a), mostrando que B é contínua. Figura 2.26: Funções cosseno e seno. Como ilustrado pela Figura 2.26, podemos definir as funções cosseno e seno, para t em [0,π], por cos(t ) = x e sen(t ) = y = √ 1−x2 onde x é tal que acos(x) = t , cuja existência é garantida pelo TVI, uma vez que arco-cosseno é contínua e acos(1) = 0 e acos(−1) =π 84 Capítulo 2. Limite Temos de fato que cosseno e arco-cosseno são funções inversas. Estendemos essas funções para o intevalo [−π,π], fazendo cos(−t ) = x = cos(t ) e sen(−t ) =−y =− sen(t ) como ilustrado pela Figura 2.26. As funções cosseno e seno em [−π,π] são ilustradas pela Figura 2.27. Figura 2.27: As funções seno e cosseno em [−π,π]. A extensão dessas funções para toda a reta é feita de modo que essas fun- ções sejam periódicas de período 2π, de modo que cos(t +2kπ)= cos(t ) e sen(t +2kπ) = sen(t ) onde t está em [−π,π] e k é um número inteiro. A função tangente é então definida por tg(t ) = sen(t ) cos(t ) Como ilustrado pela Figura 2.28, a funções arco-seno e arco-tangente são dadas por asen ( y ) = t = atg(z) e asen ( −y ) =−t = atg(−z) 2.8. Funções trigonométricas 85 Figura 2.28: Funções arco-seno e arco-tangente. Note que elas são funções inversas, respectivamente, do seno e da tangente. No caso da tangente, note que para tg(t ) = y x = z uma vez que o triângulo 01z é semenlhante ao triangulo de base x e altura y . Mais adiante, mostraremos que as funções trigonométricas e arco- trigonométricas são contínuas e que vale domínio imagem asen(x) [−1,1] [−π2 , π 2 ] acos(x) [−1,1] [0,π] atg(x) R ( −π2 , π 2 ) PROPRIEDADES DA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Vamos encerrar essa seção demonstrando algumas propriedades das funções trigonométricas. 88 Capítulo 2. Limite Figura 2.30: Cosseno da diferença. Igualando esse resultado com o da equação (2.12), obtemos que cos(s − t ) = xt xs + ys yt = cos(s) cos(t )+ sen(s) sen(t ) . (A) Segue então que cos(s + t ) = cos(s − (−t )) = cos(s) cos(−t )+ sen(s) sen(−t ) = cos(s) cos(t )− sen(s) sen(t ) , uma vez que o cosseno é par e o seno é ímpar. (B) Temos agora que cos(t −π/2) = cos(t ) cos(π/2)+ sen(t ) sen(π/2) = sen(t ) , uma vez que cos(π/2) = 0 e que sen(π/2) = 1. Temos então que sen(t −π/2) = cos(t −π) = cos(t ) cos(π)+ sen(t ) sen(π) = − cos(t ) , 2.8. Funções trigonométricas 89 uma vez que cos(π) =−1 e que sen(π)= 0. Segue então que sen(s + t ) = cos(s + t −π/2) = cos(s) cos(t −π/2)− sen(s) sen(t −π/2) = cos(s) sen(t )+ sen(s) cos(t ) . (C) Finalmente, temos que tg(s + t )= cos(s) sen(t )+ sen(s) cos(t ) cos(s) cos(t )− sen(s) sen(t ) e o resultado segue, dividindo-se o numerador e o denominador por cos(s) cos(t ). Proposição 2.31: Temos que 0< sen (h)< h < tg(h) para todo 0 < h <π/2. Além disso, as funções seno e cosseno são contínuas. Prova: Para obtermos a desigualdade, considere os triângulos 01P e 01T , onde P = ( cos(h) , sen(h)) e T = ( 1,tg(h) ) , como ilustra a Figura 2.31. Pela monotonicidade da área, temos a seguinte desigualdade sen(h) 2 < A < tg(h) 2 onde A é a área do setor circular e sen(h) 2 e tg(h) 2 são, respectivamente, as áreas dos triângulos 01P e 01T . Como h = 2A, segue então que 0 < sen(h) < h < tg(h) , (2.13) 90 Capítulo 2. Limite Figura 2.31: Derivada da função seno na origem. para todo 0< h <π/2. Pelo Teorema do Sanduíche, segue que lim h↓0 sen(h) = 0= sen(0). Por outro lado, multiplicando a desigualdade (2.14) por menos e utilizando que seno é ímpar, segue que 0> sen(−h)>−h, (2.14) para todo 0< h <π/2, de modo que lim h↑0 sen(h) = lim h↓0 sen(−h) = 0= sen(0) , mostrando que seno é contínua na origem. Por outro lado, lim h→0 cos(h)= lim h→0 √ 1− sen2 (h) = 1 = cos(0) , mostrando que cosseno é contínua na origem. Finalmente, temos então que lim h→0 sen(a+h) = lim h→0 ( sen(a) cos(h)+ sen(h) cos(a)) = sen(a) cos(0)+ sen(0) cos(a) = sen(a) 2.8. Funções trigonométricas 93 2.5 A sequência rn da razões dos termos consecutivos da sequência de Fibo- nacci satisfaz a equação rn+1 = 1+ 1 rn . Por outro lado, a razão áurea φ> 1 satisfaz uma equação parecida φ= 1+ 1 φ . O objetivo desse exercício é mostrar que rn →φ. (i ) Subtraindo as equações acima, mostre que rn+1 −φ= φ− rn rnφ . (i i ) Usando o item acima e que rn > 1, mostre que |rn+1 −φ| ≤ 1 φ |rn −φ|. (i i i ) Usando o item acima, mostre por indução que |rn+1 −φ| ≤ 1 φn |r1 −φ|. (i v) Usando o item acima e que 1/φn → 0, conclua que rn+1 → φ, mos- trando que rn →φ. 2.6 Considere as funções cosseno e seno hiperbólicos dadas por cosh(t ) = e t +e−t 2 e senh(t ) = e t −e−t 2 . Lembre que ex+y = exe y . (i ) Mostre que cosh2(t )− senh2(t ) = 1. Fazendo x = cosh(t ) e y = senh(t ), isso mostra que o ponto (x, y) está sobre a hipérbole unitária dada por x2 − y2 = 1. 94 Capítulo 2. Limite (i i ) Verifique a fórmula do cosseno hiperbólico da soma cosh(s + t ) = cosh(s)cosh(t )+ senh(s)senh(t ). (i i i ) Verifique também a fórmula do seno hiperbólico da soma senh(s + t ) = senh(s)cosh(t )+ senh(t )cosh(s). 2.7 Utilize as identidades cos(2α/2) = cos(α/2)2 − sen(α/2)2 1 = cos(α/2)2 + sen(α/2)2 , para mostrar que 1+ cos(α) = 2 cos(α/2)2 e também que 1− cos(α) = 2 sen(α/2)2 . Observe que cos(2α/2) = cos(α). DE APLICAÇÃO 2.1 Um dos elevadores mais rápidos do mundo, localizado no Taipei Finan- cial Center, subia com velocidade constante de 10 m/s, quando subta- mente, após 5 segundos de sua partida, suas cordas de sustentação se partem. Felizmente, neste momento, não há ninguém em seu interior. A função que descreve a altura do elevador em relação ao solo é dada então pela seguinte expressão s(t )= { 10t +100, se 0 < t ≤ 5 150+10(t −5)−5(t −5)2, se 5 < t < tA onde tA é o tempo de aterrizagem, a altura é dada em metros e o tempo é dado em segundos. Em cada item, escolha uma das opções e justifique suas respostas. (i ) O limite lateral direito de s em t = 5 é igual a: (a) 100 (b) 120 (c) 150 (d) 180. 2.8. Funções trigonométricas 95 (i i ) A função s é contínua em t = 5? (a) F al so (b)V er d adeir o. (i i i ) O limite lateral direito lim t↓5 s(t )− s(5) t −5 é igual a: (a) 10 (b) 20 (c) 5 (d) 8. 2.2 Suponha que um fio retilíneo, de seção transversal circular de raio r0, seja percorrido por uma corrente estacionária. A corrente gera um campo ma- gnético cuja intensidade I , em um ponto do espaço, depende da distância r do ponto ao eixo do fio. Assim, I = I (r ), e pode-se mostrar que, em um sistema de unidades apropriado, a função I (r ) é dada por I (r ) =        r r 20 , se 0 ≤ r < r0 1 r , se r ≥ r0 Em cada item, escolha uma das opções e justifique suas respostas. (i ) O limite lateral direito de I em r = r0 é igual a: (a)r0 (b) 1/r0 (c) r 2 0 (d) 1/r 2 0 . (i i ) A função I é contínua em r = r0? (a) F al so (b)V er d adeir o. (i i i ) O limite lateral direito lim r ↓r0 I (r )− I (r0) r − r0 . é igual a: (a)1/r 20 (b) 1/r0 (c) −1/r 2 0 (d) −1/r0.