Cálculo 1 - Mauro Patrão

Cálculo 1 - Mauro Patrão

(Parte 1 de 7)

CÁLCULO 1

Mauro Patrão Universidade de Brasília

Sumário 1 0 Prefácio 3

1.1 Números reais7
1.2 Funções reais17
1.3 Funções inversas24

1 Preliminares 7

2.1 Aproximação da origem27
2.2 Limite de sequências37
2.3 Função exponencial46
2.4 Limite de funções53
2.5 Continuidade de funções6
2.6 Teorema do Valor Intermediário73
2.7 Continuidade de funções inversas7
2.8 Funções trigonométricas81
Exercícios92
3.1 Reta tangente e velocidade97
3.2 Função derivada e aceleração110
3.3 Derivada da função exponencial124
3.4 Derivada de funções trigonométricas128
3.5 Derivada de funções compostas135
3.6 Derivada de funções inversas143
Exercícios149

2 Sumário

4.1 Otimização153
4.2 Crescimento e concavidade168
4.3 Assíntotas horizontais e verticais179
4.4 Método de esboço de gráficos194
Exercícios204
5.1 Área líquida e variação209
5.2 Teorema Fundamental218
5.3 Substituição229
5.4 Substituição trigonométrica236
5.5 Integração por partes241
5.6 Frações parciais246
5.7 Volumes, comprimentos e áreas257
5.8 Pêndulo sem atrito269
Exercícios274

5 Integral 209 6 Gabaritosde Fixação 279

A.1 Progressões geométricas287
A.2 Binômio de Newton289
A.3 Limite e monotonicidade291
A.4 Derivada de funções compostas294
A.5 Propriedades da área295
A.6 Método da exaustão300
Exercícios307

A Apêndices 287

Referências Bibliográficas 309 Índice Remissivo 311

Estelivro de Cálculo foi concebido com a intenção de sedesenvolver livrosde Matemática apoiados em dois eixos que o autor considera estratégicos.

Um deles é a adequação desses materiais à realidade educacional brasileira, umavez quegrandepartedas opções disponíveisatualmentefoi concebida para lidar com a realidade educacional de países muito diversos do Brasil. Neste sentido, este livro se preocupa em estabelecer uma conexão próxima entre o Cálculo e alguns exemplos paradigmáticos da Mecânica, ensinados nos cursos de Física do ensino médio brasileiro. A partir do exemplo básicodolançamentoverticaldeumobjetonaLua,ondeinexisteoatritocom a atmosfera, apresentamos o conceito cinemático de velocidade e seu correlato matemático, a derivada da função quadrática. Posteriormente trazemos este mesmo experimento para a Terra, onde introduzimos os efeitos da resistência do ar, o que nos permite motivar o estudo da derivada da função exponencial. Por sua vez, o problema da descrição do movimento de uma massa presa a uma mola motiva o estudo das derivadas das funções trigonométricas. Esses exemplos paradigmáticos, presentes na origem mesma da formulação do Cálculo, acompanham cada novo tópico que vai sendo introduzido e desenvolvido ao longo do texto. Isto fornece a possibilidade dos leitoresexperimentaremalgumasdasmesmasintuiçõesvividas pelosprimeiros formuladoresdo Cálculo.

4 Capítulo 0. Prefácio

Aliás este é o segundo dos eixos considerado estruturantes: oferecer abordagens múltiplas de um mesmo tópico, ora geométricas, ora algébricas, ora dinâmicas. Isto dá oportunidade ao estudante de se apoiar, em alguns momentos, nas intuições em que ele se sente mais confortável, mas também o ajuda a explorar suas habilidades ainda pouco desenvolvidas. A abordagem dinâmica está presente na definição do conceito de limite, feito através de sequências e cujo emprego já se fazia presente no método grego da obtenção de áreas por exaustão, como também no estudo da cinemática realizado pela mecânica moderna. Por sua vez, a abordagem algébrica é empregadana famosa fórmula do binômio de Newton, que é utilizada na definição da função exponencial. Já a abordagem geométrica aparece logo na definição dos números e das funções reais, bem como na definição da medida de ângulo através de áreas e dos conceitos de derivada e de integral.

O conteúdo do livro é dividido em cinco capítulos e complementado por apêndices. No final de cada capítulo, existe uma lista de exercícios dividida entre exercícios de demonstração, destinados a exercitar a capacidade dedutiva dos estudantes, e exercícios de aplicação, destinados a apresentar mais exemplos significativos da teoria desenvolvida no capítulo. No final da maioria das seções, existe uma lista de exercícios de fixação, cujo gabarito se encontra no Capítulo 6.

No Capítulo 1, apresentamos as preliminares indispensáveis a qualquer livro de Cálculo. Os números reais e suas operações, bem como a funções reais e suas inversas, são apresentados de um ponto de vista geométrico que enfatiza a importância do plano Cartesiano nas principais definições da matemáticamoderna.

No Capítulo 2, introduzimos o conceito de limite de funções através do conceito de limite de sequências. Essa abordagem é a mais adequada aos modernos métodos numéricos de aproximações sucessivas, implementados atualmente em qualquer calculadora ou computador. Além disso, essa abordagem de limite ajuda a explorar as intuições dinâmicas por trás do conceito de limite,já presentesnosgregosdesdeos temposde Zeno. Também permite oferecer demonstrações mais simples de resultados sofisticados como o Teorema do Valor Intermediário, que é provado através do Método da Bissecção. Com essa abordagem, definimos a função exponencial de modo bastante ri- gorosoedemonstramossuaspropriedadesfundamentaisjánoiníciodolivro. Asfunçõestrigonométricastambémsãoapresentadasdemodobastanterigoroso e se estabelece ao longo do livro um paralelo entre suas propriedades e as da função exponencial.

No Capítulo 3, o conceito de derivada é introduzido a partir do problema geométricodedefinir aretatangenteeaplicamoseste conceitonoestudodas antenas parabólicas. A derivada também é apresentada em conexão com o conceitodevelocidade. Osconceitosdefunçãoderivadaedefunçãoderivada segunda são introduzidosde modo a se compreender os conceitos de função velocidade e de função aceleração. A derivada da função exponencial é motivadapeloestudodavelocidadedeumtrem-balasendofreadopelaresistência do ar. Já a derivadadas funções trigonométricasé introduzidaatravésda análisedomovimentonosistemamassa-mola. Oestudodomovimentodopistão edo virabrequimdeummotoràexplosãomotivaa obtençãoda denominada regra da cadeia.

No Capitulo 4, é introduzida a análise do formato do gráfico de funções reais. Iniciamos esse estudo com o problema de se determinar a altura máxima de uma bola arremessada verticalmente. Através da teoria de otimização demonstramos o Teorema do Valor Médio e o utilizamos para obter a famosa Regra de L’Hospital. Esta última é utilizada para se determinar o que ocorre no arremesso vertical com atrito à medida que o ar vai ficando cada vez mais rarefeito. Posteriormente obtemos a relação entre o crescimento e o sinal da derivada primeira e a relação entre a concavidade e o sinal da derivada segunda de uma função. Analisamos as denominadas retas assíntotas de uma função através dos conceitos de limite no infinito e de limite infinito, que são introduzidos através do conceito de limiteinfinito de sequências. No final deste capítulo, apresentamos um método passo a passo para se obter o esboço do gráfico de funções deriváveis por partes.

No Capítulo5, introduzimoso conceito de integrala partir do conceito de área líquida. No caso do arremesso vertical sem atrito, fazemos conexão da integral com o conceito de variação do espaço e variação da velocidade. Essa conexão para movimentos gerais é estabelecida através do famoso Teorema Fundamental do Cálculo. A partir desse teorema e de suas consequências introduzimos o conceito de integral indefinida e as denominadas técnicas de de integração. Através do método de substituição, obtemos a lei da conservação da energia no sistema massa-mola. A partir da conservação da energia, utilizamos o método de substituição trigonométrica para determinarmos o movimento do sistema massa-mola. Depois de apresentarmos o método de

6 Capítulo 0. Prefácio integração por partes, utilizamos o método das frações parciais para determinamos o movimento da suspensão de um veículo, o denominado sistema massa-mola-amortecimento. Fechamos este capítulo determinando o movimento do pêndulo sem atrito e como utilizar a integral para obter fórmulas para volumes de sólidos de revolução, comprimentos de gráficos e áreas de superfícies de revolução.

Nos apêndices, apresentamos complementos de conteúdos utilizados na parte principal do livro. Demonstramos a fórmula da soma dos termos de umaprogressãogeométricainfinita,afórmulado binômiode Newton, aexistência de limite de sequência monótonas limitadas, as propriedades da área e calculamos a área do círculo unitárioatravés do Método de Exaustão.

1 PRELIMINARES

1.1 NÚMEROS REAIS

Nesta primeira seção, indicamos como construir os números e suas operações a partir de conceitos e propriedades puramente geométricas. Para isto fazemos uso dos resultados da geometria plana euclideana. Iniciamos com a reta R determinada pelos dois pontos distintos 0 e 1, garantidos pelos postulados de existência e determinação, como mostra a Figura 1.1. O ponto 0 é denominado zero ou origem e o ponto 1 é denominado um ou unidade. Os pontos sobre a reta R são denominadosnúmeros reais.

Figura 1.1: Reta real definida pelos pontos 0 e 1.

Existe uma ordem entre pares de números reais, denotada por < e denominada à esquerda de ou menor que. Se a,b ∈ R, temos intuitivamente que a < b se a está à esquerda de b, como ilustrado pela Figura 1.1. Podemos definir a partir da ordem < as seguintes ordens:

8 Capítulo 1. Preliminares

Existe também uma relação entre pares de segmentos, denotada por ≡ e denominadacongruênciade segmentos. De maneiraintuitiva,temosque dois segmentos são congruentes se cada uma das duas pontas de um compasso com sua abertura fixada podem ser colocadas sobre cada um dos dois extremosde cadasegmento.

Figura 1.2: Adição de a mais b.

Podemos então, como ilustrado na Figura 1.2 e a partir dos conceitos de ordem e congruênciae de suas propriedades, definir a operação de adição de números reais, para todos a,b ∈R,

Figura 1.3: O inverso aditivo de a.

Podemos também definir, como ilustrado na Figura 1.3 o oposto ou inverso aditivo, para todo a ∈R,

1.1. Números reais 9

A partir das definições e das propriedades da ordem e da congruência, pode-se mostrar que a adição satisfaz, para todos a,b,c ∈R,

As propriedades da adição fazem com que a estrutura aditiva dos reais seja denominadade grupo comutativo.

Vamos agora construir um dos objeto mais importantes da matemática moderna, o plano Cartesiano. Como ilustrado pela Figura 1.4, denote por 0y a única reta perpendicular a reta R, passando pelo ponto 0, chamada de eixo vertical.

Figura 1.4: Plano Cartesiano.

Neste contexto,a retaR também é denotadapor 0x, denominadoeixo horizontal, e um ponto a ∈ 0x é também denotado por (a,0). O ponto 0 = (0,0) édenominadoorigemdoplanoCartesiano. Escolhemosem0y umponto,denotado por (0,1), tal que sua distância à origem 0 seja igual a 1. Para cada ponto a ∈0x =R associamos o ponto (0,a) em 0y, tal que as distânciasdestes doispontosàorigem0sejamiguaise demodoqueambossejammaioresque

10 Capítulo 1. Preliminares

0 ou ambos menores que 0. A reta 0y é então uma cópia da reta R e também é denotada por R. Frequentemente denotaremos (x,0) ∈ 0x e também (0,y)∈0y serão denotados apenas por x ∈R e y ∈R, respectivamente.

Uma reta paralela ao eixo horizontal é denominada reta horizontal e uma reta paralela ao eixo vertical é denominada reta vertical. Uma reta horizontal e uma reta vertical possuem um único ponto em comum, pois os eixos são retas concorrentes. Dado qualquer ponto A no plano denote por hA a única reta horizontal passando por A e denote por vA a única vertical que passa por A, como ilustrado pela Figura 1.4. A abscissa ou coordenada horizontal do ponto A é o único ponto xA que está simultaneamente sobre vA e sobre 0x. A ordenada ou coordenada vertical de A é o único ponto yA que está si- multaneamente sobre hA e sobre 0y. Vice-versa, dado um ponto a sobre 0x e um ponto b sobre 0y, associamos o único ponto, denotado pelo par orde- nado (a,b), que esta sobre va e sobre hb. Não é difícil notar que A = (xA,yA).

Portantoparacadaponto A doplanoassociamosoparordenado(xA,yA),das suas coordenadas.

Figura 1.5: Multiplicação de a vezes b.

Vamos então definir a operação de multiplicação de números reais, como ilustradopelaFigura1.5. Paracada a ∈R,considerearetara determinadapela origem (0,0) e pelo ponto (1,a). Como a reta ra e o eixo 0y são concorrentes, cadaretaverticalpossuiumúnicopontoemcomumcomra. Dadob ∈R,seja

A o único ponto que está sobre ra e vb. A multiplicação de a por b é definido como a coordenada vertical de A e é denotadopor ab.

Figura 1.6: Divisão de a por b.

Consideraremos agora o conceito de divisão entre números reais, como ilustrado pela Figura 1.6. Sejam a,b ∈ R, onde b 6= 0. Seja sa,b a reta determi- nadapelaorigem(0,0)epeloponto(b,a). Comob 6=0,temosque sa,b eoeixo 0y são concorrentes e, portanto,cada reta vertical possui um único ponto em comum com sa,b. Seja A o único ponto que está sobre sa,b e a reta vertical v1. A divisão de a por b é definida como a coordenada vertical de A e é denotada por a

b . É imediato que sa,b =rab e, portanto, que

Pode-se mostrar que a multiplicação satisfaz, para todos a,b,c ∈R,

(M4) Comutatividade: ab =ba.

Essas propriedades fazem com que a estrutura multiplicativa dos reais seja tambémumgrupocomutativo.

(Parte 1 de 7)

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