Dinamica-2002 das maq elétricas

Dinamica-2002 das maq elétricas

(Parte 1 de 4)

Dinâmica das

Máquinas Eléctricas

Gil Marques Abril 2002

Prefácio

Este trabalho resultou de um esforço feito ao longo de vários anos na leccionação de algumas disciplinas de Máquinas Eléctricas do IST.

Parte-se do princípio que os alunos já estão familiarizados com as principais máquinas, isto é, já conhecem a sua constituição, o seu princípio de funcionamento, o seu comportamento em regime permanente e já têm algumas noções da sua regulação.

Este texto pode ser dividido em duas partes. Na primeira, que corresponde aos quatro primeiros capítulos, trata-se o problema da obtenção de modelos matemáticos para a descrição da dinâmica das Máquinas Eléctricas em particular e dos sistemas electromecânicos em geral. Na segunda parte, estes modelos são utilizados para a obtenção das respostas dinâmicas dos sistemas em várias situações.

Os leitores que aceitarem enviar-me as suas críticas e sugestões terão desde já o meu agradecimento.

Abril de 2002

Índice

Gil Marques 28-04-02

Prefácioi
Índicei
Capítulo 11
Princípios de Conversão Electromecânica de Energia1
1.1. Introdução1
1.2. Princípio da Conservação de Energia2
1.3. Expressões da força mecânica e energia5
Máquinas em "translação" e em "rotação"5
Expressões da força electromagnética em função da energia7
Exemplo 1.18
Exemplo 1.210
Expressões de binário em função da co-energia magnética10
Exemplo 1.312
Expressões do binário electromagnético12
1.4. Expressões simplificadas (circuitos lineares)13
Balanço Energético:15
Exemplo 1.415
1.5. Sistemas de campo magnético de excitação múltipla16
Exemplo 1.518
1.6. Caso do circuito magnético linear19

Índice 1.7. Aplicação ao caso de circuitos magnéticos com ímanes permanentes.21

íman permanente2
Anexo 1: Expressões matemáticas para a energia magnética23
Caso do circuito magnético linear24

Classificação dos dispositivos electromecânicos consoante o uso de Exercícios de Revisão ......................................................................................25

Dinâmica das Máquinas Eléctricas

Gil Marques 28-04-02

Capítulo 231
Sensores e Actuadores Electromecânicos31
2.1 - Sistemas de relutância31
Modelo Matemático31
Propriedades gerais dos sistemas relutantes32
Exemplos32
Exemplo 1: Electroímans32
A - Núcleo em forma de U3
B - Electroímans em forma de E3
C - Electroímans cilíndricos34
D. Electroímans de duplo efeito e reversíveis34
Influência da forma do circuito magnético35
Exemplo 2: Relés35
Exemplo 3: Contactores35
Exemplo 4: Electroválvulas36
Exemplo 5: Motor oscilante relutante36
Exemplo 6: Motores passo-a-passo37

iv

alternada38
A - Cálculo do binário a partir da relutância38
tensão alternada sinusoidal39
C - Cálculo do binário a partir da indutância41
Alimentação com corrente contínua42
Alimentação com uma fonte de corrente alternada42
2.2. Sistemas Electrodinâmicos43
Generalidades43
Equações43
Propriedades gerais4
Exemplo 7: Altifalante4
Princípio e características4
O Transdutor do altifalante45
Exemplo 8: Aparelhos de medida de quadro móvel45
Exemplo 9: Traçador46
2.3. Sistemas Electromagnéticos47
Generalidades47

Análise de um motor de relutância rotativo, alimentado em corrente B - Sistema de relutância alimentado por uma fonte de Propriedades gerais.........................................................................47

Índice

Gil Marques 28-04-02

Exemplo 10: Motores passo a passo polifásicos48
Exemplo 1: Motores passo-a-passo monofásicos48
Exemplo 12: Captores49
2.4. Sistemas Relutantes Polarizados ou Híbridos50
Generalidades50
Propriedades gerais50
Comportamento50
Estruturas possíveis51
Íman fixo51
Íman móvel52
Exemplo 13: Electroímans polarizados52
Exemplo 14: Motores oscilantes52
Exemplo 15: Motores de binário53
2.5. Sistemas Electrostáticos54
Generalidades54
Equações54
Propriedades gerais5
Exemplo 16: Voltímetro Electrostático56
Exemplo 17: Motor passo-a-passo electrostático56
Exemplo 18: Sensores electrostáticos56
Exercícios de Revisão:57
Capítulo 361
Modelos Dinâmicos das Máquinas Eléctricas de Corrente Alternada61
3.1 Introdução61
3.2 Coeficientes de indução das Máquinas Eléctricas62
A - Máquina Assíncrona62
Coeficientes de auto-indução62
mesmo lado62

v Coeficientes de indução mútua entre enrolamentos do

estator e enrolamentos do rotor63
Modelo da máquina de indução em grandezas abc65
B - Máquina Síncrona de pólos salientes6

Coeficientes de indução mútua entre enrolamentos do Indutâncias próprias...................................................................67

Dinâmica das Máquinas Eléctricas

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Indutância mútua, estator-estator68
Indutâncias mútuas entre o estator e o rotor69
Modelo das Máquinas Síncronas70
3.3 Transformações de variáveis71
Introdução71
Condição de invariância de potência72
Transformação da expressão do binário73
tempo73

vi Caso das transformações cujas matrizes não variam no

Kron no cálculo de um circuito eléctrico”74

Exemplo 3.1 “Aplicação da matriz de conexão de

diferentes ao estator e ao rotor76
Classificação das principais transformações7
equivalente. Transformação de Concordia79
Definição da transformação79

Aplicação de uma transformação com matrizes 3.4 Transformação de um sistema trifásico num sistema bifásico

tensões em regime equilibrado"82

Exemplo 3.2 "Transformação de Concordia das

Concordia84

Interpretação geométrica da transformação de

Concordia87
3.5 Aplicação da transformação de Concordia à Máquina de Indução89

Resumo das propriedades da transformação de

de uma máquina de pólos lisos89

Transformação dos coeficientes de indução do estator

indução90

Transformação da matriz dos coeficientes de indução mútua entre o estator e o rotor da máquina de

coordenadas αβο91
3.6 Máquina Síncrona de pólos salientes em coordenadas αβ95

Modelo matemático da máquina de indução em

salientes por inspecção97
3.7 Transformação de “Rotação de Referencial”100

Exemplo 3.3 Obtenção da matriz dos coeficientes de indução da máquina síncrona de pólos A. Definição .................................................................................100

Índice

Gil Marques 28-04-02 vii

Exemplo 3.4 Composição da transformação de

Park101

Concordia e da Transformação de rotação de referencial - Transformação de Blondel-

α, β para coordenadas d,q102
Expressões do binário104

B. Transformação de um modelo de uma máquina em coordenadas

Exemplo 3.5 - "Aplicação da transformação de

ou correntes"104
Introdução108

Park a um sistema equilibrado de tensões 3.8. Modelo da Máquina de indução em coordenadas de Blondel-Park..108

no referencial do estator”109
Exemplo 3.7 “Transformação de frequências”110
salientes112

Exemplo 3. 6 “ Modelo da máquina de indução 3.9. Aplicação da transformação de Park à Máquina Síncrona de pólos

Síncrona através dos produtos matriciais112
Esquema Equivalente da Máquina Síncrona115
Máquina Síncrona com enrolamentos amortecedores116
3.10. Introdução da notação complexa118
A. Introdução:118
B. Componentes simétricas instantâneas121

Exemplo 3.8 Obtenção do modelo da máquina

vários sistemas de tensão122
Modelo da máquina de indução em componentes simétricas125
C. Transformação Complexa Rotativa (fb)126
C1. Definição126
C2. Definição a partir das componentes dq127
C3. Definição a partir das componentes +/-127
variáveis de fase abc127

Exemplo 3.9 Aplicação da transformação de componentes simétricas instantâneas a C4. Relação entre as componentes simétricas e as

sistemas de tensão. (ρ =ωt)128

Exemplo 3. 10 “ Aplicação da transformação fb a C5. Modelo da Máquina de indução em coordenadas fb.........129

Dinâmica das Máquinas Eléctricas

Gil Marques 28-04-02 viii

estator (+ - f b)130

C.6 Modelo da máquina de indução num referencial do

campo girante (fb,fb):130

C.8. Modelo da máquina de indução num referencial do

equilibrado”131

Exemplo 3.1 “Esquema equivalente da máquina de indução em regime sinusoidal

homopolares nulas”131
Vectores espaciais134
3. 1. Transformação de dois eixos standard137
3.12 Vectores espaciais140
1. Definição140
2. Interpretação geométrica140
3. Rotação de referencial141

Exemplo 3.12 “Esquema equivalente da máquina de indução em regime sinusoidal desequilibrado com componentes 4. Modelo de máquina de indução utilizando vectores espaciais.142

genérico143
Esquema equivalente da máquina de indução:144

Exemplo 3.13 Modelo de máquina de indução no referencial do estator e no referencial

eléctrica”146

Anexo 1: “ Visualização dos coeficientes de indução de uma máquina

Síncrona”147
1. Cálculo do termo CTLeeC147
2. Coeficiente de indução mútua entre estator e rotor150
Cálculo de CTMef150
Exercícios de revisão150
Máquina assíncrona monofásica152
Capítulo 4157
Modelização de sistemas electromecânicos com comutação157

Anexo 2: “Aplicação da Transformação de Concordia à Máquina 4.1. Modelização da Máquina de Corrente Contínua com pólos de comutação e enrolamentos de compensação........................................158

Índice

Gil Marques 28-04-02

Obtenção do modelo da máquina de corrente contínua162
4.2. Modelização da geratriz de rectificação168
Modelo da Geratriz de Rectificação170
Exercícios de Revisão:173
Bibliografia:176
Capítulo 5177
Regimes transitórios das Máquinas de Corrente Contínua177
5.1 Introdução177
5.2 A máquina de corrente contínua ideal178
Modelo dinâmico da máquina de corrente contínua179
Funções de transferência. Resposta no tempo180
5.3 Motor de corrente contínua de excitação independente180
sistema183
Exemplo 5.1184

Estudo do polinómio característico. Determinação dos pólos do

proporcional à velocidade186
Exemplo Nº 5.2187
Conclusões188
binário189
Exemplo Nº 5.3190
Conclusões acerca da aplicação de escalão de binário191
5.4 Estudo da máquina de corrente contínua de excitação série193
Introdução193
Modelo Matemático193
Exemplo Nº 5.4196

Transitório de arranque directo com binário de carga Transitório resultante da aplicação de um escalão de

excitação em série196
Determinação dos pólos do modelo linearizado198
Exercícios199
ANEXO202

Linearização do modelo de estado do motor de corrente contínua de Resposta ao escalão de sistemas de segunda ordem........................................202

Dinâmica das Máquinas Eléctricas

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Capítulo 6207
Estudo dos transformadores em regime transitório207
6.1 Transformador monofásico de dois enrolamentos207
Modelo matemático207
Transformador em carga210
Exemplo 6.1211
Funções de transferência212
Mapas de pólos e zeros213
Transformador em vazio213
Exemplo 6.2215
Resolução215
Arranque do transformador em vazio. Saturação magnética215
Transformador em curto-circuito218
Exemplo 6.3220
Transformador de intensidade de corrente221
6.2 Transformador monofásico de 3 enrolamentos223
Equações223
Esquema equivalente simplificado225
enrolamentos226

x Determinação de expressões analíticas aproximadas para os pólos209 Reactância Operacional de um transformador monofásico de 3

desprezando as resistências229
6.3 Transformador trifásico de 3 colunas230
Constituição230
Modelo matemático230
Transformador trifásico de núcleo magnético simétrico230
Banco de três transformadores monofásicos231
trifásico de núcleo magnético simétrico231
Exercícios233

Expressões aproximadas para as indutâncias operacionais Aplicação da transformação de Concordia ao transformador

Anexo 6A. Simulação do transformador em vazio considerando a saturação magnética......................................................................................................................234

Índice

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Capítulo 7235
Regimes transitórios das Máquinas Síncronas235
7.1 Introdução235
enrolamentos amortecedores236
Modelo da máquina em valores por unidade239
Impedâncias operacionais240
Constantes de tempo da máquina síncrona:243
Constantes de tempo longitudinais243
Constantes de tempo transversais243
Admitâncias operacionais246
Diagramas de Bode e de Nyquist248

xi 7.2 Modelo das Máquinas Síncronas com enrolamentos de excitação e

máquina249
Exemplo 7.1252
7.3 Curto-circuito trifásico simétrico e equilibrado a partir do vazio253
Condições iniciais253
Equações operacionais254
Solução das equações:255
Cálculo das correntes255
Cálculo dos fluxos260
Cálculo do Binário262
Corrente de excitação263
Interpretação de resultados267

Determinação experimental dos parâmetros da

dq268

Componentes de frequência fundamental, contínuas em

fundamental em dq270
7.4 Transitório de aplicação de carga à Máquina síncrona273
Exercícios277
Anexo 7A: Programa de simulação “SindqfDQ”279
Anexo 7B: Parâmetros utilizados no traçado das figuras281

Componentes de frequência zero e componentes de frequência dupla da fundamental, frequência Anexo 7C: Tabela de transformadas de Laplace utilizadas...........................281

Dinâmica das Máquinas Eléctricas

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Apêndice A283
Introdução dos valores por unidade283
Introdução283
Definição de valores relativos (por unidade)283
Grandezas eléctricas:283
Grandezas mecânicas284
Definição dos valores de base284
Grandezas eléctricas284
Grandezas mecânicas285
Modelo de uma máquina eléctrica em valores por unidade285
Equações eléctricas285
Equação da posição287
Equação do binário287
Equação do movimento288
Equações da máquina de corrente contínua289
Definição dos valores de base289
Aplicação à equação eléctrica do induzido289

Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia

Gil Marques 28-04-02

Capítulo 1

Princípios de Conversão Electromecânica de Energia

Com este capítulo inicia-se o estudo das máquinas eléctricas e outros dispositivos electromecânicos através da teoria dos circuitos.

Nesta teoria as máquinas são vistas como circuitos eléctricos ligados magneticamente para o caso se sistemas magnéticos, ou electricamente para o caso dos sistemas electrostáticos. Os coeficientes de auto-indução e de indução mútua, (ou os coeficientes de capacidade), são funções de uma ou mais variáveis.

O processo da conversão electromecânica de energia realiza-se através do campo eléctrico ou magnético de um dispositivo de conversão.

Embora os vários dispositivos de conversão funcionem baseados em princípios similares, as estruturas dos dispositivos dependem da sua função.

Os transdutores são dispositivos que se empregam na medição e controlo.

Normalmente funcionam em condições lineares, saída proporcional à entrada, e com sinais relativamente pequenos. Entre os muitos exemplos referem-se microfones, taquímetros, acelerómetros, sensores de temperatura, de pressão etc.

Os actuadores são dispositivos que produzem força. Como exemplos têm-se os relés, electroímans, motores passo-a-passo etc.

A terceira categoria de dispositivos inclui equipamentos de conversão contínua de energia, tais como motores e geradores.

Dinâmica das Máquinas Eléctricas

Gil Marques 28-04-02

Enquanto que no dimensionamento dos transdutores e actuadores, a preocupação principal é a fidelidade, neste terceiro grupo a preocupação principal é o rendimento. Isto compreende-se pela natureza diferente da sua aplicação. Em princípio os dispositivos são reversíveis, isto é, os actuadores poderem funcionar como actuadores ou transdutores e os motores como motores ou geradores. Contudo, deve referir-se que nas aplicações raramente esta reversibilidade é utilizada. Os objectivos que se pretendem atingir com este capítulo são:

• Ajudar na compreensão de como ocorre a conversão electromecânica de energia.

• Mostrar como desenvolver modelos dinâmicos para os conversores electromecânicos com os quais possa ser calculado o seu desempenho.

O conceito fundamental para a análise dos conversores electromecânicos é o campo de acoplamento. Este campo corresponde ao campo magnético na maioria dos dispositivos. Contudo existem alguns dispositivos baseados no campo eléctrico.

A partir das funções energia ou co-energia deduzem-se as variáveis de estado do sistema e a força ou binário de origem electromecânica.

O princípio da conservação de energia afirma que esta não é criada nem destruída, apenas muda de forma. Este princípio constitui uma ferramenta conveniente para determinar as características do acoplamento electromecânico. É também necessário ter em atenção as leis do campo eléctrico e magnético, as leis dos circuitos eléctricos e magnéticos, e a mecânica newtoniana.

Como as frequências e velocidades são relativamente baixas comparadas com a velocidade da luz, pode admitir-se a presença de regimes em que o campo é quase estacionário, sendo a radiação electromagnética desprezável. Assim, a conversão electromecânica de energia envolve energia em quatro formas e o princípio de conservação de energia leva à seguinte relação entre essas formas:

Calor em

Convertida Energia

Armazenada Energia de Aumento

Mecânica Energia de Saída

Eléctrica Energia de Entrada (1.1)

Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia

Gil Marques 28-04-02

A equação 1.1 é aplicável a todos os dispositivos de conversão. Está escrita na convenção motor. Nesta convenção todas as parcelas têm valores positivos em funcionamento motor. Em funcionamento gerador esta equação continua a ter validade, mas as parcelas referentes à energia eléctrica e mecânica tomam valores negativos. Para o estudo deste tipo de funcionamento (gerador), é mais fácil utilizar a mesma expressão, mas escrita na convenção gerador, eq.1.2.

Calor em

Convertida Energia

Armazenada Energia de Aumento

Eléctrica Energia de Saída

Mecânica Energia de Entrada (1.2)

Neste texto adopta-se a convenção motor. A conversão irreversível de energia em calor tem três causas: 1. Perdas por efeito de Joule nas resistências dos enrolamentos que constituem parte dos dispositivos. Estas perdas são frequentemente chamadas de perdas no cobre. 2. Parte da potência mecânica desenvolvida pelo dispositivo é absorvida no atrito e ventilação e então convertida em calor. Estas perdas são chamadas de perdas mecânicas. 3. Perdas magnéticas (em dispositivos magnéticos) ou dieléctricas (em dispositivos eléctricos). Estas perdas estão associadas ao campo de acoplamento.

Além destes tipos de perdas deve-se, em estudos mais aprofundados, considerar também perdas suplementares que têm várias causas.

Nos dispositivos magnéticos, que são de longe as mais frequentes, as perdas magnéticas são devidas a correntes de Foucault e à histerese magnética.

Na teoria que se segue são desprezadas as perdas magnética e as perdas dieléctricas.

As equações 1.1 e 1.2 podem ser escritas na forma da equação 1.3 onde se admite a convenção motor.

Armazenada Energia de Aumento

Mecânicas perdas mais Mecânica Energia de Saída

Eléctricas perdas menos Eléctrica Energia de Entrada

(1.3)

Dinâmica das Máquinas Eléctricas

Gil Marques 28-04-02

O primeiro membro da equação 1.3 pode ser expresso em termos das correntes e tensões nos circuitos eléctricos do dispositivo de acoplamento.

Considere-se o esquema geral de um dispositivo de conversão mostrado na figura 1.1.

Sistema de

Conversão deenergia SistemamecânicoSistema eléctrico

Perdas deJoule Perdas mecânicas r ue

Fig. 1.1. Representação geral da conversão electromecânica de energia.

Pode escrever-se: u i dt → diferencial de energia de entrada da parte eléctrica ri2 dt → diferencial de energia de perdas de Joule dWele = u i dt - i2 r dt =(u - r i)i dt=e i dt Diferencial de energia eléctrica líquida de entrada no dispositivo de acoplamento.

Para que o dispositivo de acoplamento possa absorver energia do circuito eléctrico, o campo de acoplamento deve produzir uma reacção sobre o circuito. Esta reacção é a força electromotriz indicada pela tensão e na figura 1.1. A reacção sobre a entrada é uma parte essencial do processo de transferência de energia entre um circuito eléctrico e outro meio qualquer.

Da discussão precedente, deverá ser evidente que as resistências dos circuitos eléctricos e o atrito e ventilação do sistema mecânico, embora sempre presentes, não representam partes importantes no processo de conversão de energia. Este processo envolve o campo de acoplamento e sua acção e reacção nos sistemas eléctrico e mecânico. A equação 1.3 pode pôr-se na forma diferencial:

dWele = dWcampo + dWmec (1.4) onde dWele - diferencial de energia recebida pelo campo de acoplamento

Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia

Gil Marques 28-04-02 dWcampo - diferencial de energia do campo de acoplamento dWmec - diferencial de energia convertida em mecânica

Para a análise completa dum dispositivo electromecânico, além da equação (1.4) que traduz o princípio de conversão de energia (bloco central da figura 1.1), deverá ter-se em conta as equações que traduzem a interligação ao sistema eléctrico e as equações que o interligam ao sistema mecânico. A interligação ao sistema eléctrico pode ser feita por uma ou mais vias, correspondendo a cada uma delas uma equação diferencial. A interligação ao sistema mecânico é na maioria dos casos feita através de uma única via (apenas um grau de liberdade) correspondendo a esta interligação apenas uma variável. Esta interligação é traduzida pela 2ª lei de Newton.

Quando o dispositivo for de natureza magnética, as equações que traduzem a interligação eléctrica são deduzidas da lei de Faraday. No caso de dispositivos electrostáticos estas equações são deduzidas da lei da conservação da carga. Resumindo tem-se:

Para a análise de um dispositivo electromecânico de natureza magnética deverá ter-se como base:

• 2ª lei de Newton

• Lei de Faraday

Por sua vez, a análise de um dispositivo electromecânico de natureza eléctrica deverá ter como base:

• 2ª lei de Newton

• Lei da conservação da carga

1.3. Expressões da força mecânica e energia

Máquinas em "translação" e em "rotação"

As figuras 1.2 e 1.3 representam dispositivos electromecânicos. O primeiro é de translação e o segundo de rotação.

Dinâmica das Máquinas Eléctricas

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Na figura 1.2, a energia magnética depende das grandezas eléctricas e da posição da peça móvel x. A energia magnética Wm armazenada na carcaça é uma função do fluxo ψ, criado pela corrente i, e da relutância R do circuito que por sua vez também é função da posição x da armadura. Assim a energia magnética é função de 2 quantidades.

Wm = f (ψ, x) (1.5)

Armadura Guia nu x

Perímetro =4l

Fig. 1.2. Relé Electromecânico.

Ver-se-á que a força electromecânica Fem, que se exerce sobre a armadura tem uma expressão simples em função desta energia.

ir nu

Fig. 1.3. Conversor electromecânico elementar de rotação.

Na figura 1.3, tem-se o mesmo princípio. A única diferença está no parâmetro geométrico que define a posição do rotor, que é agora o ângulo θ e que as variações de energia magnética armazenada no circuito produzem agora um binário electromagnético

Mem. Também aqui se encontrará uma expressão fácil para o binário em função da energia magnética.

Cap. 1 Princípios de Conversão Electromecânica de Energia

Gil Marques 28-04-02

Expressões da força electromagnética em função da energia

Considere-se o caso elementar da figura 1.2. Considerando as perdas de Joule concentradas na resistência r, tem-se:

dt deψ=

A energia eléctrica elementar fornecida pela fonte ao campo, vale:

ψ i d e i dt dWele==

Se a peça móvel se deslocar uma distância dx, o diferencial de energia mecânica consumido vale:

(Parte 1 de 4)

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