Limites - calculo i

Limites - calculo i

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Aula 13

Limites indeterminados e as regras de L'Hopital

Nesta aula, estaremos apresentando as regras de L'Hopital, regras para calcular limites indeterminados, da forma 0=0 ou 1=1, usando derivadas. Estaremos tamb¶em examinando gr¶acosd ef un»c~oes envolvendo fun»c~oes exponenciais.

Diremos que o limite lim x!a f(x)=g(x) tem a forma indeterminada 0=0, se o quociente de fun»c~oes reais f(x)=g(x) est¶a denido em um conjunto da forma I ¡f ag (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f(x) e g(x) s~ao cont¶³nuas

Diremos que o limite lim x!a f(x)=g(x) tem a forma indeterminada 1=1, se o quociente de fun»c~oes reais f(x)=g(x) est¶a denido em um conjunto da forma I ¡f ag (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f(x) e g(x) s~ao cont¶³nuas

Os mesmos conceitos s~ao denidos analogamente se tivermos x ! a+ ou x ! a¡, ou ainda se a = §1.

S~ao duas as chamadas regras de L'Hopital. Uma para formas indeteminadas 0=0 e outra para formas indeterminadas 1=1. Ambas podem ser enunciadas conjuntamente em um ¶unico teorema (que n~ao demonstraremos).

Teorema 13.1 (Regras de L'Hopital) Se lim x!a f(x)=g(x) tem uma forma indeter- lim x!a caso o limite lim x!a f0(x)=g0(x) exista (sendo nito ou innito). O mesmo vale se a ¶e

Limitesi ndeterminados e asr egrasd eL 'Hopital 109

Solu»c~ao. Um c¶alculo direto nos d¶a a forma indeterminada 0=0.P elo m¶etodo tradicional, usando fatora»c~oes, fazemos

Aplicando regras de L'Hopital, n~ao necessitamos da fatora»c~ao:

No caso de quociente de polinomios, n~ao precisamos das regras de L'Hopital, mas µas vezes as regras de L'Hopital s~ao nosso ¶unico recurso para o c¶alculo de um limite:

x¡ senx

O limite ¶e indeterminado, da forma 0=0,a agora n~ao podemos colocar em evidencia nenhuma potencia de x. Aplicando L'Hopital, temos x ¡ senx

senx senx

Aqui temos uma indetermina»c~ao da forma 1=1. Aplicando L'Hopital, temos

Limitesi ndeterminados e asr egrasd eL 'Hopital 110

No c¶alculo de limites, sabemos que tamb¶em 0 ¢1 e (+1) ¡ (+1) s~ao s¶³mbolos de indetermina»c~ao. No caso 0 ¢1 tamb¶em podemos aplicar regras de L'Hopital, ap¶os uma manipula»c~ao conveniente das fun»c~oes no limite.

Suponhamos que lim x!a f(x)¢g(x) ¶e indeterminado na forma 0¢1,i sto ¶e, lim x!a f(x)=

Neste caso, primeiramente fazemos

e nt~ao, aplicando L'Hopital, calculamos lim x!a ou ent~ao

e nt~ao, por L'Hopital, calculamos lim x!a

Neste caso, fazemos lnx

= lim

1=x

13.1 Novos s¶³mbolos de indetermina»c~ao

Estudaremos agora procedimentos para lidar com os s¶³mbolos de indetermina»c~ao 0, 10 e 1.

Em todaal iteraturad em atem¶atica universit¶aria, adota-se, ainda que sub-liminarmente µas vezes, a deni»c~ao 0 =1 .N o c¶alculo de limites no entanto, 0 ¶eu ms¶³mbolo de indetermina»c~ao. O exemplo abaixo explica porque.

Consideremos a fun»c~ao f(x)= xk=lnx (k constante), denida para x> 0. Vimos

Limitesi ndeterminados e asr egrasd eL 'Hopital 1

No entanto, f(x)= xk=lnx = eln(xk=lnx) = e k lnx ¢lnx = ek,o u seja, f(x) ¶e a fun»c~ao constante ek,e portanto lim x!0+ f(x)= ek.

Tamb¶em s~ao formas indeterminadas, ou seja, s¶³mbolos de indetermina»c~ao, as express~oes 1 e 10.

Suponhamos que o limite lim x!a f(x)g(x) tem uma das formas indeterminadas 0, 10 ou 1. Aqui deveremos ter f(x) > 0 no dom¶³nio da fun»c~ao fg.

Em qualquer um desses casos, fazemos e nt~ao

sendo

ter¶a sempre a forma indeterminada 0 ¢1 (ou 1¢ 0), e reca¶³mos ent~ao em um caso anteriormente estudado.

Solu»c~ao. Aqui temos uma indetermina»c~ao 0. Seguindo procedimento descrito acima, fazemos x = elnx = ex¢lnx

Aqui temos uma indetermina»c~ao 1.

Aplicando L'Hopital,

Limitesi ndeterminados e asr egrasd eL 'Hopital 112

=l im

As regras de L'Hopital, nos casos de indetermina»c~ao 0=0 e 1=1, dizem que

comput¶avel.

No exemplo abaixo, temos uma indetermina»c~ao 1=1 para a qual a regra de

L'Hopital n~ao se aplica porque o limite lim x!a f0(x)=g0(x) n~ao existe, mas o limite x+s enx

x+s enx

Aplicando L'Hopital, consideramos lim x!+1 limite n~ao existe (n~ao ¶e nito nem innito) pois quando x cresce indenidamente, cosx ca oscilando indenidamente entre ¡1 e +1.

senx

Como lim senx

x+s enx senxx

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