Baixe Apostila de Geometria Analitica (ITA) e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! 1 Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecânica – Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) (Fevereiro 2005) Geometria Analítica Capítulo I. Introdução A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade. Infelizmente isto só foi conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria. Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga- se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes. Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse outra maneira de preencher o seu tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugir à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros. A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos (1636 no máximo) que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica. O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia. A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabia que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica. HYGINO H. DOMINGUES 2 Capítulo II. Introdução ao 2 e estudo do ponto. Sejam os conjuntos {1,2}B = e {3,4}A = . De certo, são conjuntos finitos, de números reais e com o auxílio da reta real, podemos facilmente representar graficamente os seus elementos. É conhecida uma operação entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a qual produz como resultado um outro conjunto, em que os novos elementos são entidades matemáticas, formadas por duas partes, uma oriunda do conjunto A e outra do conjunto B. Essa entidade matemática é denominada par ordenado. Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos A e B. {(3,1) , (3,2) , (4,1) , (4,2)}A B× = . Veja que nos elementos de A B× , o primeiro número no par ordenado é advindo do conjunto A enquanto que o segundo veio do conjunto B. Vamos definir uma maneira de representar o conjunto A B× e para isso utilizaremos também retas reais, porém numa disposição diferente. Veja!!! Utilizando-se de retas reais podemos representar esse resultado do conjunto A B× , porém a questão é que essas retas reais estão dispostas convenientemente, uma perpendicular à outra. A essas retas, nessa disposição, chamamos eixos coordenados. Na reta que está na posição horizontal, representaremos os elementos advindos do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos do conjunto B. Como podemos perceber, os quatro elementos do conjunto A B× foram representados fazendo-se o cruzamento de um número advindo do conjunto A com o seu respectivo no conjunto B. Suponha agora que o conjunto A seja do tipo: { / 3 4}A x R x= ∈ ≤ ≤ e que o conjunto B seja expresso da forma { /1 2}B x R x= ∈ ≤ ≤ . Fazendo agora a operação A B× , chega-se em uma nova figura mostrada a seguir: Como podemos perceber o resultado dessa operação foi uma região, um contorno geométrico fechado e seu interior. Agora imagina o que acontece se definirmos o conjunto A como sendo os reais e o conjunto B também. Como é de se esperar, se fizermos o produto cartesiano dos reais com o próprio conjunto dos reais, teremos o que chamamos de plano cartesiano ou ainda de 2 . A partir daqui, se pode definir o que chamamos de ponto com sendo o resultado do produto cartesiano entre dois conjuntos unitários, ou ainda como sendo um elemento de produto cartesiano entre dois conjuntos não vazios. O ponto pode ser entendido como o “endereço” de certa posição num dado plano. Como se pode representar pontos com pares de números reais, é possível definir operações algébricas com esses pontos. B é um ponto qualquer, do plano XOY e para cada B está assossiado um par ordenado, par esse que é representado da seguinte forma: (xb ,yb) onde xb é a posição relativa ao eixo X e yb é a posição relativa ao eixo Y. Como dito acima, o ponto é representado no eixo cartesiano por uma coordenada x, denominada de abscissa e uma coordenada y, 5 Esse resultado significa que a relação entre Bx , Ax e Cx é dada por: CAB xr rx r x       + +      + = 11 1 (I) Da mesma forma achamos a relação entre By , Ay e Cy é dada por: CAB yr ry r y       + +      + = 11 1 (II) II.3 - Coordenadas do ponto médio Seja B o ponto médio de AC . Para acharmos as coordenadas de B, basta ver que: 1= BC AB , ou seja, BC = AB então fazendo r = 1 nas equações (I) e (II) temos que: 2 CA B xxx += e 2 CA B yyy += . R3) Dados os pontos A(1, 2) e C(2, 6), determinar as coordenadas de um ponto B (sobre a reta que contêm AC), tal que BCAB 2= . Solução: Temos que, )(2 BCAB −=− ⇒ CAB 23 += ⇒ CAB 3 2 3 1 += . Assim, temos, 3 5)2( 3 2)1( 3 1 3 2 3 1 =+=+= CAB xxx e 3 14)6( 3 2)2( 3 1 3 2 3 1 =+=+= CAB yyy , logo B       3 14, 3 5 . R4) Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB. Dados, A(0, 8), B(2, 2). Solução: Seja M o ponto médio de AB. Temos: 1 2 20 2 = + = + = BAM xxx e 5 2 28 2 = + = + = BAM yyy , logo, M(1, 5). R5) Seja o triângulo ABC. A(0, 0), B(4, 2) e C(6, 4). Determine o valor da base média relativa ao lado AB. Solução: N é o ponto médio de AC e M o ponto médio de BC. A base média é o e segmento MN. 5 2 64 2 = + = + = CBM xx x . 3 2 42 2 = + = + = CBM yy y , assim, M(5, 3). 6 3 2 60 2 = + = + = CAN xx x . 2 2 40 2 = + = + = CAN yy y , assim, N(3, 2). O comprimento de MN é dado pela distância de M à N. 5)23()35()()( 2222, =−+−=−+−= NMNMNM yyxxd P6-) Sejam os pontos A(1,3) e B(2,5). Determine as coordenadas de um ponto C tal que C divida o segmento AB nas seguintes proporções: a-) 3= BC AB b-) 4−= BC AB c-) 3 4 = BC AB d-) 5 1 = BC AB e-) 7 2− = BC AB P7-) Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao segmento AB com A(1,3) e B(2,5), tal que: CBACAB 235 += . P8*-) Seja o triângulo ABC. A(0, 0), B(2, 2) e C(6, 8). Determine o valor da base média relativa ao lado AB. II.4 - Condição de alinhamento de pontos Esse assunto é mostrado nos livros convencionais de uma forma que lhe permite verificar a condição de alinhamento de três em três pontos. Esse dispositivo prático que será apresentado, o OCAP (Operador Condição de Alinhamento entre Pontos), é capaz de verificar se “n” pontos estão alinhados ao mesmo tempo. Veremos mais a frente que o resultado numérico que é gerado por esse operador tem um significado muito importante e poderoso. Veja como se aplica o OCAP: sejam 1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , )P x y P x y P x y 4 4 4( , )e P x y , pontos do plano. ,1P ,2P ,3P ,4P estarão alinhados ⇔ OCAP = 0. Veja a figura abaixo: colocar os pontos, numa ordem à sua escolha, um embaixo do outro e fazer as multiplicações nos sentido das setas (primeiro para cima) e quando forem feitas as multiplicações no sentido para baixo, troca-se o sinal do número resultante. No final soma-se tudo e esse é o resultado do OCAP. OCAP = = 2 1 3 2 4 3 1 4(x y x y x y x y+ + + − 1 2 2 3 3 4 4 1)x y x y x y x y− − − . P8-) Verifique se os pontos abaixo estão alinhados: a) 1P ( 0, 1), 2P (-1, 0), 3P (4, 5) . b) 1P ( 0, 2), 2P ( 1, 3), 3P (4, 4) c) 1P ( 0, 0), 2P (-1, 5), 3P (4, -20) . d) 1P ( 10, 0), 2P (-1, -1), 3P (4, -5) . e) 1P ( 8, 1), 2P (-10, 0), 3P (5, 5) . f) 1P ( 0, 1), 2P (-1, 10), 3P (14, 5) . 7 P9-) Dados os pontos A(0, 0) e B(5, 5). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. P10-) Dados os pontos A(0, 2) e B(2, 0). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. P11-) Dados os pontos A(-1, 2) e B(1, 1). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. P12-) Dados os pontos A(2, 4) e B(2, 8). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. P13-) Dados os pontos A(3, 2) e B(2, 4). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. *P14-) O ponto P(r,s) é tal que está alinhado com Q e R. Q é o baricentro do triângulo formado por C(0, 0), D(3, 3) e E(6, 9). B é um ponto sobre o segmento AC tal que 3= BC AB em que A(3, 12). Determinar uma relação entre r e s. Capítulo III. Estudo da reta. Podemos definir uma reta como sendo uma sucessão de infinitos pontos, distintos, alinhados. O fato de estarem alinhados confere a existência de uma direção constante. Assim sendo pode-se afirmar que para existir uma reta é necessário da existência de dois pontos distintos, ou ainda um ponto e uma direção. A reta não tem fim e divide o plano que a contém em duas partes. III.1 - Equações da reta A partir do enunciado acima podemos determinar a equação de uma reta se soubermos dois pontos pelos quais ela passa. Sendo dados esses dois pontos, ou seja, conhecemos as suas coordenadas integralmente, já sabemos que por eles vai passar uma reta única, e é justo que cada ponto que esteja nessa reta a relação do seu “x” com seu “y” seja constante. Veja a figura: A no segmento formado por A e B todos os pontos estão alinhados, assim, podemos fazer o OCAP com os pontos dados e um ponto genético (x, y) e esse OCAP tem que resultar zero. Achar a equação de uma reta é relacionar as coordenadas genéricas x e y de tal forma que aplicando nessa relação a ordenada tem-se como resultado a abcissa ou vice versa. , , , , a a b b a a x y x y x y x y = b a a b a a b b ax y x y x y- x y - x y -xy+ + = 0 10 Solução: a)Reta suporte de um segmento é a reta que contem esse segmento. Assim, basta fazer o L com os pontos A(0,0), C(4, 4) e um ponto genérico (x, y). .044 00 44 00 xyyx yx =⇒=−= b) Fazemos o mesmo feito no item a só que agora com os pontos B(0, 4), D(4, 0) e um ponto genérico (x, y). Aplicamos o L e obtemos que a equação da reta é: .4+−= xy c) Vamos achar o ponto médio de CD. C(4, 4) e D(4, 0). 4 2 44 2 = + = + = DCM xx x e 2 2 04 2 = + = + = DCM yy y . Assim, M(4, 2). Vamos fazer o L com os pontos A(0, 0), M(4, 2) e um ponto genérico (x, y). achamos a equação: . 2 xy = d) Determinando os ptos médios de BC e CD, M e N respectivamente. M       ++ 2 44, 2 40 = M(2, 4). N       ++ 2 04, 2 44 = N(4, 2). Fazendo L com M, N e um ponto genérico (x, y) encontramos a equação: .6+−= xy P14-) Determine as equações das retas que passam pelos pontos indicados abaixo: a) A(0, 0) B(2, 4) b) A(-1, 1) B(5, 5) c) A(0, 3) B(-2, 1) d) A(2, 7) B(-2, -13) e) A(8, 3) B(-6, -4) f) A(0, 0) B(-3, 0) P15-) Dado o triângulo com vértices A(0, 0), B(2, 3), C(1, 0). Determine: a) As coordenadas do baricentro. b) Os pontos médios dos lados AB, BC e CA. c) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice A. d) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice B. e) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice C. f) A equação da reta suporte da base média relativa à base BC. g) A equação da reta suporte da base média relativa à base AB. *P16-) Dados os pontos A(-10, 0), B(10, 0), C(0, 310 ). Ache um ponto E, sobre AC, tal que ligando B e E, cortamos o triângulo ABC em dois triângulos BCE e BAE, com 2= BAE BCE A A . III.2 - Intersecção entre retas Lembra quando, lá na 7º série do primeiro grau, aprendemos a resolver sistemas de equações do primeiro grau? Ali era dado um sistema de duas equações do 1ª grau e duas incógnitas e tínhamos que descobrir os valores das incógnitas que satisfaziam ao mesmo tempo, as duas equações. Pois é, vimos no item III.1, que as retas tem equação da forma 0=++ cbyax , que são equações do 1º grau. Sabemos que duas retas não paralelas e nem coincidentes se interceptam uma única vez. Assim, dadas duas retas, achar a sua 11 intersecção é determinar o x e o y, que satisfazem ao mesmo tempo as duas equações, ou seja, voltamos à 7º série e vamos agora resolver sistemas de primeiro grau, de duas equações e duas incógnitas. A intersecção de r com s é: =∩ sr    =++ =++ 0 0 222 111 cybxa cybxa , temos que resolver esse sistema e achar o ponto (x, y) que satisfaz essas duas equações ao mesmo tempo. Obs.: Em alguns casos será necessário fazer intersecção com o eixo Ox ou com Oy. Nesses casos agimos da seguinte forma: Intersecção com o eixo Oy: Qualquer ponto do eixo Oy tem abscissa 0, logo basta substituir o x da equação conhecida por 0 e ver o valor de y correspondente. Ex: fazer a intersecção entre a reta 53 += xy com o eixo Oy: 55)0.(3 =+=y . Logo essa reta corta o eixo Oy no ponto (0, 5). Intersecção com o eixo Ox: Qualquer ponto do eixo Ox tem ordenada 0, logo basta substituir o y da equação conhecida por 0 e ver o valor de x correspondente. Ex: fazer a intersecção entre a reta 53 += xy com o eixo Ox: 3 5530 −=⇒+= xx . Logo essa reta corta o eixo Ox no ponto       − 0, 3 5 Algumas considerações importantes Nesse momento vale à pena discutirmos uma questão proposta pelo vestibular da Academia da Força Aérea de 2001/2002. Acabamos de estudar a maneira de se proceder para determinar a intersecção de duas retas e como foi dito, trata-se da resolução de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. O vestibular da AFA propôs uma análise menos braçal e mais filosófica do assunto quando expandiu para a análise de um sistema de três equações e três incógnitas. Foi dito no enunciado que uma equação do tipo 0ax by cz d+ + + = , equivale a uma equação de um plano, assim sendo, quando resolvemos um sistema desses, na verdade estamos analisando o resultado da intersecção de três planos. Veja a questão proposta: (AFA-2001)O conjunto de soluções de uma única equação linear bzayaxa 321 =++ é representado por um plano no sistema de coordenadas retangulares xyz (quando a1, a2, a3 não são todos iguais a zero). Analise as figuras a seguir. (I) Três planos se cortando numa reta (II) Três planos se cortando num ponto (III) Três planos sem interseção 12 Assinale a opção verdadeira. a) A figura I representa um sistema de três equações com uma única solução. b) A figura III representa um sistema de três equações cujo conjunto solução é vazio. c) A figura II representa um sistema de três equações com uma infinidade de soluções. d) As figuras I e III representam um sistema de três equações com soluções iguais. Como pode ser vista, a figura (I) mostra três planos se interseccionando numa reta, ou seja, trata-se de um sistema que gera como solução muitas ternas (x, y, z) o que dá um caráter de infinitas soluções para o sistema, logo estamos diante de um sistema possível e indeterminado. Com relação à figura (II) têm-se três planos que se interseccionam num único ponto (x, y, z), o que confere um status de sistema possível e determinado. Já a figura (III) mostra uma intersecção dos planos gerando dois conjuntos disjuntos, ou seja, surgiram duas retas, paralelas que, por conseguinte não vão se cruzar, logo não se tem uma solução para esse sistema sendo ele um sistema impossível. Com essa análise podemos configurar como correta a opção “b” pois diz que (III) se trata de um sistema com três equações que tem conjunto solução representado pelo conjunto vazio. R9) Determinar o ponto de intersecção entre as duas retas dadas:    =−+− =+− 073 053 yx yx Solução: Da equação de cima temos que 53 += xy . Substituindo na equação de baixo, tem-se: 25)1(31880715907)53(3 =+−=⇒−=⇒−=⇒=−++−⇒=−++− yxxxxxx P16-) Ache as intersecções entre os pares de retas abaixo: a) y = 3x – 4 e y – x + 6 = 0; b) y – 4x + 5 = 0 e o eixo Ox; c) y + 8x – 4 = 0 e y + x + 7 = 0; d) y – 5x + 2 = 0 e o eixo Oy; e) y – x + 2 = 0 e 3x – y + 1 = 0; f) x – 2y + 6 = 0 e 2x + 2y – 3 = 0; g) 5x – 3y + 2 = 0 e x + 3y – 2 = 0; P17-) Ache as intersecções entre as retas abaixo e os eixos Ox e Oy: a) 2x + 3y – 2 = 0 b) 3x – 6y + 7 = 0 c) 2x – y = 0 d) 3x – 6y – 12 = 0 *P18-)Mostre que as retas de equação 2 3 1 0x y+ − = , 0x y+ = e 3 4 1 0x y+ − = concorrem no mesmo ponto. *P19-) Demonstre que 2 0x y− = , 2 8x y+ = e (1 ) 2(1 ) 8 0k x k y+ + − − = concorrem no mesmo ponto, para qualquer valor de k. III.3 - Ângulo entre retas Nessa seção vamos estabelecer uma relação que expressa exatamente uma informação sobre o menor ângulo formado por duas retas concorrentes. Como vimos antes, a parte da equação de uma reta que está vinculada 15 ⇒ − − = − ⇒ 5 2 1 1 ts .35255 dLetrastts ⇒−=⇒−=+− R13) Determinar a equação da reta r, que é paralela à reta s de equação y – 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P(2, 3). Solução: Foi dito que r é paralela a s, logo a equação de r vai ser: y – 3x + n = 0. Para determinar o n, usamos que r passa por P(2, 3), então esse ponto deve satisfazer a sua equação. Assim: (3) – 3.(2) + n = 0, n = 3. Logo: r: y – 3x + 3 = 0 R13) Verificar se as retas abaixo são ou não perpendiculares: a) r : 022 =++− yx e s : 022 =++ yx b) r : 03 =+ yx e s : 0113 =+−= xy Solução: a)Para ver se as retas são perpendiculares ou não, basta achar o coeficiente angular de cada uma e multiplicá- los. Se o resultado for -1, são perpendiculares. Vejamos: 2 1− =sm e 2=rm . Logo, .12.2 1 −= − =rs mm Logo r e s são perpendiculares. b) Da mesma forma: 3−=sm e 3 1− =rm . Logo, .1)3).(3 1( =−−=rs mm Logo, r e s não são perpendiculares. P18-) Determine os valores de m para que as retas r e s sejam retas coincidentes. r: 3x + 2y + (3m-5) = 0 s: 9x + 6y + (m2-m+2) = 0 P19-) Determinar a equação da reta r, que é paralela à reta s de equação 2y – 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P(2, 1). P20-) Determinar a equação da reta r que é perpendicular à reta s de equação 3y + 2x – 6 = 0 e que passa pelo ponto de intersecção entre as retas t: y – 2x + 5 = 0 e u: x = 3. P21-) Calcule o menor ângulo entre os pares de retas abaixo: a) y +3x – 2 = 0 e y = 2x – 1 b) y – 2x + 6 = 0 e 2y – 4x + 9 = 0 c)2y – x + 5 = 0 e 2x – y – 6 = 0 d) y – 2x + 1 = 0 e y = 5x – 1 e) 2y – 2x + 7 = 0 e 3y +x – 1 = 0 P22-) Dê a equação de r. Sabe-se que r // s, s: 2x – y + 5 = 0 e que r passa pela origem. P23-) Dê a equação de r. Sabe-se que r passa por T(0, 1) e é perpendicular à s e que s passa por P( 2, 1) e por Q(1, 2). P24-) u: y = x + 5, v: y = 2x + 7, r: y – 3x + 1 = 0 e s: 2y – 8x + 2 = 0. Determine a reta que passa pela intersecção entre u e v e pela intersecção entre r e s. P25-) Dados A(0, 1), B(2, 3). Determine C e D tais que os triângulos ABC e ABD são eqüiláteros. P26-) Dados A(0, 1) e C(2, 3) tais que AC é a diagonal de um quadrado ABCD. Determine B e D, tal que BD é a outra diagonal. 16 *P27-) Discuta em função de p e m a posição relativa entre as retas (r) 0mx y p+ − = e (s) 3 3 7 0x y+ − = *P28-) Mostre que todas as retas de equações ( 2) 4 0m x my m+ − − + = concorrem num mesmo ponto. III.5 - Distância de ponto à reta Sejam r: 0=++ cbyax e ),( 00 yxP tal que rP ∉ , conforme a figura abaixo: Traçamos um par de eixos auxiliares, X’OY’, a fim de que as contas sejam minimizadas, pois para esse novo par de eixos, o ponto ),( 00 yxP passa ser a origem. Logo temos que 0'x x x= + e 0'y y y= + . Substituindo essas relações na equação da reta r vem: 0 0( ' ) ( ' ) 0a x x b y y c+ + + + = resultando em 0 0' ' ( ) 0ax by ax by c+ + + + = . Essa é a nova equação de r, agora tendo como referência o nosso novo sistema de eixos. Vamos achar a equação da reta s, perpendicular à r, passando pela origem (no novo sistema de eixos). Passando a equação de r para o formato reduzido temos: 0 0' ' ax by cay x b b + +  = − −        . Logo o s bm a = , pois s r⊥ . A equação de s fica é dada por ' 'by x a  =     . Fazendo a intersecção de r com s resulta no ponto Q. Logo 0 0 0 02 2 2 2 ( ) ( ),ax by c a ax by c bQ a b a b − + + − + +   + +  . Calculando a distância de P até o ponto Q, lembrando que agora P se torna a origem (0, 0) chega-se que 2 2 0 0 0 0 , 2 2 2 2 ( ) ( ) P Q ax by c a ax by c bd a b a b − + + − + +   = +   + +    = 2 2 2 0 0 , ( ) ( ) P Q ax by c a b d + + + = 0 02 2 2 2 2( ) ax by c a b a b + + = + + . Logo, dá-se por distância de P a r a seguinte expressão: 22 00 , ba cbyaxd rP + ++ = 17 No caso particular em que, no sistema original XOY, o ponto P seja a origem (0,0), a expressão fica reduzida à: 22 , ba cd rP + = . III.6 - Distância entre duas retas paralelas. Sejam 21 rer de equações 01 =++ cbyax e 02 =++ cbyax respectivamente. Para se obter a distância entre 21 rer , basta pegar um ponto que pertença a uma das retas e calcular a distância desse ponto até a outra reta. Seja .),( 100 ryxP ∈ Assim, 100 cbyax −=+ . 22 12 22 200 , ba cc ba cbyax d rP + − = + ++ = . Logo, 22 12 , 21 ba ccd rr + − = 01) (MACK) Um segmento de reta de comprimento 8 movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P e Q apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre os pontos do lugar geométrico descrito pelo ponto médio de PQ, o de maior ordenada possui abscissa: a) − 2 b) − 1 c) 0 d) 1 e) 2 02) (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por: a) (− b, − b) b) (2b, − b) c) (4b, − 2b) d) (3b, − 2b) e) (2b, − 2b) 03) (MACK) Na figura, a área do triângulo assinalado é 6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é: a) 2 b) 3/2 c) 6/5 d) 7/5 e) 8/5 04) (UFMG) O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A = (−2,4). A equação da reta s é a) x + 2y = 6 b) x − 2y + 10 = 0 c) y + 2x = 0 d) 2y − x = −10 e) y + 2x = 6 05) (VUNESP) Seja A a intersecção das retas r, de equação y = 2x, e s, de equação y = 4x − 2. Se B e C são as intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é: a) ½ b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 06) (FGV) Um polígono do plano é determinado pelas inequações x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 2y ≤ 20 e x + y ≤ 7. Seus vértices são: a) (0, 0), (4, 0), (0, 7) e (2 ,5) b) (0, 0), (4, 0) e (0, 7) c) (0, 0), (7,0) e (2 ,5) d) (0, 0), (7,0), (2 ,5) e (0, 10) 20 a) r: 05125 =++ yx e s: 0243 =++ yx Solução: Aplicando a definição de bissetriz temos: sPrP dd ,, = . Seja P(x0, y0). ⇒ + ++ = + ++ 22 00 22 00 43 243 125 5125 yxyx ⇒ ++ = ++ 5 243 13 5125 0000 yxyx 1º caso: ⇒++=++ 5 243 13 5125 0000 yxyx 01814265239256025 000000 =+−⇒++=++ yxyxyx 8 1 4 7 00 +=⇒ xy 2º caso: ⇒      ++−= ++ 5 243 13 5125 0000 yxyx 05111264265239256025 000000 =++⇒−−−=++ yxyxyx 112 51 7 4 00 + − =⇒ xy OBS.: Repare que o coeficiente angular do 1º caso é 4 7 e o do 2º caso é 7 4− . Como já era esperado, veja que 1 7 4. 4 7 −= − , logo, realmente, as bissetrizes interna e externa formam um ângulo de 90º. P27-) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano em que a distância de um ponto qualquer desse LG até a reta r: 6x + 8y – 1 = 0 é igual a distância desse mesmo ponto até à reta s: 5x – 12y + 2 = 0. P28-) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano em que a distância de um ponto qualquer desse LG até a reta r: 4y + 3x + 2 = 0 é igual a distância desse mesmo ponto até à reta s: 7x + 24y – 5 = 0. Verifique que as retas encontradas nesse LG são perpendiculares. P29-) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam 5 unidades do ponto P(0, 0). P30-) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do plano determinado pelas equações:    = −= ty tx 52 P31-) Determinar a equação do lugar geométrico determinado pelas equações abaixo:    = = ty sentx cos P32-) Determinar a equação do lugar geométrico determinado pelas equações abaixo:            −+= = tseny sentx 2 1 π P33-) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de dois pontos fixos dados. P(0, 0) e Q(5, 5). P34-) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano em que a distância de um ponto qualquer desse LG até a reta r: 3x + 4y – 1 = 0 é igual a n vezes a distância desse mesmo ponto até à reta s: 5x – 12y + 2 = 0. P35-) Um menino está sentado na mesa para almoçar. De repente ele vê uma formiga andando sobre a mesa e repara que o inseto anda 2 cm para a direita e sobe 3 cm. Cada vez que a formiga subia 21 os 3cm o menino fazia um furinho na mesa da cozinha (tentando matar a formiga e nunca conseguia porque quando ele furava a toalha a formiga já tinha saído do lugar). Determine o lugar geométrico marcado pelos furos na toalha da mesa. Suponha que a origem do sistema de coordenadas estava no primeiro furo que o garoto fez na toalha da mesa. P36-) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano que são determinados pelas equações:    −+= += 1 2 2 tty tx . Faça um esboço desse lugar geométrico. P37-) São dadas duas retas, r: 3x + 4y – 3 = 0 e s: 7x + 24y – 1 = 0. Determine o lugar geométrico dos pontos do plano tais que duas vezes a distância desses pontos até a reta r é três vezes a distância desses pontos à reta s. 2º Desafio Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano que possuem iguais potências em relação à duas circunferências dadas. C1 é uma circunferência centrada em O1(0, 0) e de raio R1 igual a 5. C2 é outra circunferência com centro O2(10, 0) e de raio R2 igual a 3. Obs.: A potência de um ponto externo à uma circunferência é dado por: ( ) 22,)( RdOPot OP −= em que O é o centro dessa circunferência. 22 25 2 50500012800014282440 00 07 27 46 42 20 00 =⇒=⇒=−−−−−−+++++= L L Capítulo V. Outras considerações para o OCAP Lembra do “OCAP”? Como vimos acima, se aplicássemos alguns pontos no “OCAP” e se o resultado fosse zero os pontos estariam alinhados? E se o “OCAP” ≠ 0 ? O que significaria esse valor ? O valor de 2 OCAP representa a área do polígono formado pelos pontos aplicados, quando é obedecida uma ordem de aplicação dos pontos no OCAP. Vamos demonstrar esse resultado. Vamos supor a existência de um polígono de n lados, com vértices 1 1 1( , )A x y , 2 2 2( , )A x y , …, ( , )n n nA x y . Fazendo o OCAP com todos esses pontos nessa ordem se obtém a expressão: 2 1 3 2 4 3 5 4 1 1 1 2 2 3... ( ...n n nOCAP x y x y x y x y x y x y x y x y−= + + + + + + − + + + 1 1)n n nx y x y−+ + . É possível provar, usando o produto vetorial entre dois vetores, que o dobro da área de um triângulo é dada pelo determinante: 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3 3 3 1 1 ( ) 1 x y x y x y x y x y x y x y x y x y = + + − + + . Aplicando nesse determinante os pontos 1 2 3A A A , 1 3 4A A A , 1 4 5A A A , ..., 1 1n nA A A− e somando todos os resultados, chega-se a expressão: 3 1 12 ( ... )nS x x y−= + + 1 3 1( ... )nx y y −+ + + 2 1 3 2 4 3 1( ... )n nx y x y x y x y −+ + + + + − 3 1 1( ... )nx x y−− + + 1 3 1( ... )nx y y −− + + 1 2 2 3 3 4 1 1 1( ... )n n n nx y x y x y x y x y x y OCAP−− + + + + + − = . Logo 2 OCAP S = . Esse resultado é muito poderoso e mostra que se for feito o OCAP com os pontos num determinado sentido, de forma que se feche o polígono, o resultado desse OCAP é o dobro da área desse polígono. Ex.: Seja o polígono de 6 lados com vértices em: A(0,0), B(0,2), C(2,4), D(6,4), E(7,2), F(7,0). Determinar a sua área. Jeito trabalhoso de solução: Desenhar o polígono, dividi-lo em figuras conhecidas, calcular cada área e depois somá-las. Modo prático de resolução: Aplicar o “OCAP”, tirar o módulo e dividir por dois. Veja: que é o valor da área desse polígono estranho. 25 P42-) Dadas as equações de circunferências abaixo, identificar o raio e as coordenadas do centro : a) 052822 =++++ yxyx b) 039722 =+−++ yxyx c) 024222 =+−−+ yxyx P43-) Monte as equações das circunferências: a) C(0, 0), r = 5 b) C(1, -3), r = 8 c) C(-1, -1), r = 1 d) C(0, 5), r = 2 P44-) Indique o centro C e o raio das circunferências abaixo. a) x2 + y2 + 2x = 3 b) x2 + y2 - 5x + 2y = 0 c) x2 + y2 + 5x = 1 d) x2 + y2 - 5y – 5x = 0 P45-) Dê a área da região hachurada. VI.1.1 - Posições relativas entre ponto e circunferência Dada a circunferência C: 222 )()( Ryyxx CC =−+− e o ponto ),( 00 yxP . Substituímos o ponto P na equação da circunferência, calculamos o resultado e tiramos a seguinte conclusão: • Se 22020 )()( Ryyxx CC <−+− , P é interior; • Se 22020 )()( Ryyxx CC =−+− , P C∈ ; • Se 22020 )()( Ryyxx CC >−+− , P é exterior; VI.1.2 - Posições relativas entre reta e circunferência Dada a circunferência C: 222 )()( Ryyxx CC =−+− e a reta r: 0=++ cbyax . Isolando y ou x e substituindo em C, encontraremos uma equação do 2º grau em x ou y, respectivamente. Logo, para que r seja secante a C, basta que essa equação tenha duas soluções reais distintas; para que r seja tangente a C deve haver uma solução real; para que r seja exterior à C, a equação não pode ter solução real. • r é secante: 0>∆ ; • r é tangente: 0=∆ ; • r é exterior: 0<∆ ; R12) Determinar a posição relativa entre a circunferência C: 0106822 =+−−+ yxyx e a reta r: -2x + y + 1 = 0. Determine também a sua intersecção se houver. Solução: 26 Vamos isolar o y na equação da reta: 12 −= xy . Substituindo na equação da circunferência temos: 010)12(68)12( 22 =+−−−−+ xxxx ⇒ 017245 2 =+− xx ⇒ 0236340576 >=−=∆ , logo r é secante à C. Continuando a resolver a equação, temos 5 5912 ± =x . De fato temos dois valores de x, pois são dois pontos de intersecção entre a reta e a circunferência. Para 5 5912 + =x temos 5 59191 5 59122 +=−        + =y Para 5 5912 + =x temos 5 59191 5 59122 −=−        − =y . Logo os pontos de intersecção entre a circunferência e a reta são:        ++ 5 5919, 5 5912 1P e        −− 5 5919, 5 5912 2P . P46-) Indique a posição relativa entre as retas e as circunferências abaixo, bem como suas intersecções (se tiverem): a) x2 + y2 = 25 e y = x + 1 b) x2 + y2 = 25 e y = x – 10 c) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 9 e Ox d) x2 + y2 + 2x = 8 e 2y – 4x + 6 = 0 e)(x – 1)2 + y2 – 2y = 15 e y = 3x VI.1.3 - Posições relativas entre circunferências Seja 21CC d a distância entre os centros das circunferências e 21 rer os seus raios. Semelhantemente ao feito com as intersecções de retas e circunferências, podemos fazer entre circunferências, ou seja, isolamos o x ou o y das equações e as igualamos. Resolvendo a nova equação podemos encontrar uma, duas ou nenhuma solução, assim, podemos dizer se são tangentes, secantes ou sem pontos em comum, respectivamente. O problema é que apenas a solução da equação não é suficiente para saber se são tangentes exteriores ou interiores, por exemplo. Assim fazemos as seguintes análises abaixo: • 21CC d > ⇒+ 21 rr 21CCd = drr ++ 21 , d > 0, trata-se de circunferências exteriores; • ⇒+= 2121 rrd CC d = 0, trata-se de circunferências tangentes exteriores; 27 • 2121 rrd CC −= , temos circunferências tangentes interiormente; • 2121 21 rrdrr CC +<<− , temos circunferências secantes; • 2121 rrd CC −< , caso em que a circunferência de raio menor é interior à outra; P47-) Dadas as equações abaixo, determine a posição relativa entre as circunferências. Lembre-se que não é necessário desenhar as circunferências, basta calcular a distância entre os seus centros e comparar com a soma dos raios e a diferença dos raios. a) x2 + y2 = 1 e (x – 1)2 + y2 = 1. b) (x – 1)2 + (y – 5)2 = 1 e (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1 c) x2 + (y – 2)2 = 1 e x2 + y2 + 6y – 2x + 6 = 0 d) x2 + y2 – 2y = 3 e x2 + y2 – 10y + 21 = 0 e) x2 + y2 = 121 e x2 + y2 – 4y – 4x = 8 VI.2 – Elipse A elipse é o nome dado ao LG dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de qualquer ponto desse LG a dois pontos fixos, chamados focos, é constante e igual a 2a. Vamos achar a equação de uma elipse. 30 R14-) Encontrar a equação de uma elipse que está centrada na origem, com eixo focal coincidente com o eixo Ox , de excentricidade 0,5 e que passa pelo ponto (10,0). Solução: Foi dado que a excentricidade vale 0,5 então temos ca a c 2 2 1 =⇒= . Sabemos que 222 cba += então temos que: 334)2( 22222222 cbcbccbcbc =⇒=⇒−=⇒+= . Foi dito que a elipse está centrada em (0, 0) e que está sobre Ox, logo a sua equação é da forma: ⇒=+ 1 2 2 2 2 b y a x substituindo ca 2= e 3cb = na equação temos: ⇒=+⇒=+ 1 34 1 )3()2( 2 2 2 2 2 2 2 2 c y c x c y c x como o ponto (10, 0) está na elipse, ele satisfaz a sua equação, então, aplicando esse ponto na equação achamos o valor de c. 541001 3 0 4 10 2 2 2 2 2 =⇒=⇒=+ cc cc . Assim, a equação da elipse é: 1 75100 22 =+ yx R15) Seja a elipse de equação 4918984 22 =+++ xxyy . Identificar as coordenadas dos focos, dos vértices do centro, o valor da sua excentricidade e determine também os valores de t para que a reta de equação txy = seja tangente à essa elipse. Solução: Primeiramente, vamos escrever a equação da elipse na sua forma reduzida: 1)()( 2 2 2 2 = − + − b yy a xx cc Partindo da equação dada temos: ⇒−−=+++++→=+++ 9449)12(9)12(449)2(9)2(4 2222 xxyyxxyy . ⇒=+++ 36)1(9)1(4 22 xy dividindo ambos os membros por 36 temos: ⇒=+++ 1 4 )1( 9 )1( 22 xy agora é só analisar: Da equação, o centro C = (-1, -1). a = 3, b = 2 e da relação fundamental c = 5 . Como a está sob o termo do y, o eixo focal da elipse está paralelo ao eixo Oy. Logo, os focos são: F1(-1, -1- 5 ) e F2(-1, -1 + 5 ). Os vértices são: V1(-1, -4) e V2(-1, 2). A excentricidade é dada por: 3 5 == a ce . Vamos agora achar os valores de t para que a reta txy = seja tangente à elipse. Vamos substituir o y da equação da elipse por tx. 049)188()94(49189)(8)(4 2222 =−+++⇒=+++ xtxtxxtxtx . Para que a reta seja tangente à elipse deve haver apenas uma raíz real para essa equação do segundo grau. Então ∆ = 0. ∆ = =−+−+ )49).(94.(4)188( 22 tt )94.(196)188( 22 +++ tt que é uma soma de números positivos, logo é sempre positivo e não pode ser zero. Assim, concluímos que não existe valor de t tal que uma reta da forma txy = , seja tangente à essa elipse. P48-) Dada a equação da elipse 1 16 )3( 25 )2( 22 = − + − yx . Determine: a)As coordenadas do centro, dos focos e dos vértices. b) Dada a reta y = mx, determine os valores de m para que essa reta seja tangente à elipse. 31 c) Faça a intersecção dessa elipse com os eixos coordenados. Determine a área desse polígono formado. P49-) Seja a elipse de equação 1 169144 )1( 22 =+ − yx . Determine: a)As coordenadas dos vértices, dos focos e do centro. b)A excentricidade. c)A equação da circunferência que circunscreve essa elipse. d)A equação da circunferência que está inscrita nessa elipse. P50-) Determine todos os valores de m tais que a reta y = mx seja tangente à elipse de equação 1 49 )10( 22 =+ − yx . P51-) Dada a expressão que determina a área de uma elipse: abA π= Determine a equação da elipse de área 20π, que possui excentricidade 0,6 e centro C(0,0). P52-) Determine o comprimento de uma elipse de excentricidade zero e valor de a igual a 10. P53-) Dada a equação de uma circunferência. 0106822 =+−−+ yxyx . Determine a equação de uma elipse centrada no centro da circunferência e que possui a mesma área dessa circunferência. Atente que foi pedida uma equação, pois esse problema tem infinitas respostas. P54-) Determine as coordenadas dos focos, dos vértices e do centro de cada elipse abaixo. a) 01911850259 22 =−−−+ yxyx b) 01915018925 22 =−−−+ yxyx c) 03442 22 =+−−+ yxyx P55-) Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos do plano que são determinados pelos sistemas abaixo. a)            −+= = tseny sentx 2 21 9 π b)    +−= = ty tsenx 2cos1 25 c)    −= −+= )33(7 )33cos(32 tseny tx d)    −= = )(cos3 2 22 tsenty tsenx P56-) A reta x-y-5=0 é tangente a uma elipse de focos F(3,0) e F’(-3,0). Determine uma equação desta elipse. 3º Desafio São dadas as equações de duas elipses fixas. 1 2 : 2 2 1 =+ y xE e 1 2 )( : 2 2 2 =+ − y xx E c . Sabe- se que a expressão do coeficiente angular da reta tangente à uma elipse de equação 1 )()( 2 22 2 = − + − b yy a xx cc para qualquer ponto dessa curva é dada por 2 2 )( )( ayy bxx m c c − − −= . Determine o valor de xc da equação de E2, para que ambas as elipses dadas sejam ortogonais. Dado: uma elipse é ortogonal a outra elipse se e somente se as retas tangentes à essas elipses (no ponto de intersecção entre elas) forem perpendiculares. 32 Capítulo VII. Questões de Vestibular 01.(FUVEST - 2000) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: (A) –2 (B) 0 (C) 2 (D) 1 (E) 2 1 02.(FUVEST - 2000) Um circunferência passa pelos pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 03.(FUVEST - 2000) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = (- a, 0). B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é: (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1 04.(FUVEST - 2000) A curva da figura que se segue representa o gráfico da função y = log10x, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois retângulos é: (A) log102 (B) log103 (C) log104 (D) log105 (E) e)log106 05.(FUVEST - 2000) Das regiões hachuradas na seqüência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo o conjunto de desigualdades x ≥ 0; y ≥ 0; x – y + 1 ≥ 0; x2 + y2 ≤ 9, é: (A) (B) (C) (D) (E) nda 06.(FUVEST - 1999) Um pirata enterrou um tesouro numa ilha e deixou um mapa com as seguintes indicações: o tesouro está enterrado num ponto da linha reta entre os dois rochedos; está a mais de 50 m do poço e a menos de 20 m do rio (cujo leito é reto). a) Descreva, usando equações e inequações, as indicações deixadas pelo pirata, utilizando para isto o sistema de coordenadas mostrado na figura. b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a coordenada x do ponto (x,0) onde o tesouro está enterrado. 07.(FUVEST - 1999) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P = (1,2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente, a) Determine a equação de s. b) Calcule a área do triângulo ABC. 08.(FUVEST – 2003) A) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro no 35 a) Qual é o raio dessa circunferência? b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem. 26.(Unicamp -2000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x2 com a circunferência de centro na origem e raio 2 . a) Quais as coordenadas dos pontos A e B ? b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos APB . 27.(Unicamp -2001) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0. a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas? b) Qual é a área do triângulo ABC ? 28.(Unicamp -2003)As equações 1)1( 22 =++ yx e 4)2( 22 =+− yx representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas. a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências. b) Encontre o valor de a ∈ R , 0 ≠ a , de modo que duas retas que passam pelo ponto (a,0) sejam tangentes às duas circunferências. 29.(UFPE – 2003) Cada um dos círculos limitados pelas circunferências de equações x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 e x2 + y2 - 10x - 2y + 22 = 0 fica dividido em duas regiões de mesma área por uma reta de equação y = mx + n. Calcule 3n. 30.(UFES – 2003) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferência C dada pela equação , cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem. A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é A) B) C) D) E) 31.(UFMA – 2003) Considere a família de retas representada por fk(x) = x – k . Seja dK a distância entre o ponto PK (0,...) de abscissa igual a zero e ponto Qk de ordenada igual a 1, pertencentes a reta por fk. Determine o valor de (d0 + d1 + ... + d100). 32.(UFMA – 2003) Dadas a circunferência 01422 =+−−+ yxyx e a reta 050023 =−+ yx , encontre a área do triângulo inscrito na circunferência, cujos lados são paralelos aos eixos cartesianos e à reta dada. 33.(UFPR – 2003) Considere as seguintes informações: C é uma circunferência de raio igual a 1 e centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares; um ponto estará no interior da circunferência C se a distância do ponto à origem do sistema for menor do que 1. Assim, é correto afirmar: ( ) A equação da circunferência C é x² + y² + 1 = 0. ( ) O ponto P(cos ω, sen ω) pertence à circunferência C, qualquer que seja o número real ω. ( ) A reta y = x + 1 intercepta a circunferência C em dois pontos. ( ) A reta y + 1 = 0 é tangente à circunferência C. ( ) O ponto (1, 1) está no interior da circunferência C. ( ) O gráfico da função y = sen 2x intercepta o eixo x apenas uma vez no interior da circunferência C. 34.(UERJ – 2002) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, está representado o triângulo ABC. Em relação a esse triângulo, (A) demonstre que ele é retângulo; (B) calcule a sua área. 36 35.(UFF – 1996) Na figura, a reta s é paralela à reta r e passa pelo vértice V da parábola. Determine a equação da reta s. 36.(UFF – 1996) Na figura abaixo a circunferência C tem equação x y x y2 2 4 8 0+ − − = . Determine: a) a equação da reta s b) a equação da reta r que é perpendicular à reta s e passa pelo centro da circunferência 37.(UFF – 1996) A circunferência C representada na figura tem centro na reta y = 2x e passa pela origem O dos eixos coordenados. Sabendo que ON= 8, determine a distância entre os pontos M e N. 38.(UFF – 1997) Considere a parábola de equação y = x2 – 6x + 5. Determine a equação da circunferência que passa por seu vértice e por suas interseções com o eixo x. 39.(UFF – 1997) Identifique, justificando, o lugar geométrico dos pontos do plano definido pela equação x2 – y2 – 4x + 8y = 12. 40.(UFF – 1997) Determine a área da região do plano limitada pelas retas y = 3x, x + y = 4 e y = 0. 41.(UFF – 1998) A figura representa a reta r que intercepta o eixo y no ponto P(0, m), formando com esse eixo o ângulo α. A equação de r é dada por: (A) y = (cotg α)x + 1 m (B) y = (tg α)x + m C) y = – (cotg α)x + m (D) y = (cotg α)x + m (E) y = (tg α)x + 1 m 37 42.(UFF – 2000) A reta y – 2x + 5 = 0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x2 + y2 = 5. A reta y = – x +p intercepta C nos pontos M e Q. Determine: a) o valor de p; b) as coordenadas dos pontos M e Q. 43.(UFF – 2000) Determine o(s) valor(es) que r deve assumir para que o ponto (r, 2) diste cinco unidades do ponto (0, -2). 44.(UFF – 2002) Cada ponto P(x, y) de uma curva C no plano xy tem suas coordenadas descritas por: 43 2 cos1 <<    += += t senty tx a)Escreva uma equação de C relacionando, somente, as variáveis x e y. b)Calcule o comprimento de C. 45.(UFC – 2001) Encontre uma equação da reta tangente à curva x2 – 2x + y2 = 0 no ponto (1, 1). 46.(UFC – 2001) O número de pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 4 e 1 2 y 15 x 22 =+ é igual a: (A)0 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6 47.(UECE – 2003) Num sistema cartesiano ortogonal usual, as interseções dos gráficos da circunferência x2 + y2 – 10x – 8y + 16 = 0 com a reta 3x – y + 4 = 0 são os pontos P e Q. O ponto médio da corda PQ é: A) )( 2 1, 2 11 (B) )( 2 11, 2 1 (C) )( 2 1, 2 1 (D) )( 2 11, 2 11 48.(UFBA – 2000) A circunferência, de centro na intersecção das retas 2x + 3y = 4 e 3x + 5y = 6 e tangente à reta 2x − y + 5 = 0, tem para equação Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0. Calcule E D C B A ++++ . 49.(UECE – 1980) Dois vértices de um quadrado estão nos pontos A(3,-4) e B(9,-4). Determine a soma das abscissas dos outros dois vértices. 50.(UECE – 1991) Se P e M são os pontos de interseção dos gráficos de f(x) = x2 – 3 e 2 )( 2 xxxg += , então a medida do comprimento do segmento PM é: 51.(UECE – 1992) Seja ( r ) a reta que passa pelos pontos P1(-2,1) e P2(5,3). Se ( r ) intercepta os eixos coordenados nos pontos M(m,0), e N(0,n), então o valor de )( 11 14 mn − é: 52.(UFC – 1991) Considere a família de retas cuja equação é (a4 – 1)x + (a2 + 1)y – 1 = 0. Então o número de retas da família que são paralelas ao eixo das abscissas é igual a: 53.(UECE – 1980) O perímetro do triângulo formado pelas interseções das retas x + y – 6 = 0, x = 1 e y = 1 é igual a: 54.(UNIFOR – 1982) Se f: R R é dada por f(x) = Ax + B, onde A e B são números reais, a expressão [ f(p) – f(q) ] / ( p – q ) , onde p e q são reais distintos, fornece: 55.(UECE – 1991) Se as alturas do triângulo de vértices nos pontos P1(6,-6), P2(6,4) e P3(-10,2) se interceptam no ponto (n1, n2), então n1 + n2 é igual a: 56.(UNIFOR – 1982) A área da região limitada pelos gráficos das funções f(x) = x + 1, g(x) = x – 1 , h(x) = - x + 1 e q(x) = - x – 1 vale, em unidades de área: 57.(UECE – 1991) Se a reta de equação y = 2x –1 intercepta a circunferência de equação x2 + y2 + 5x – 7y = 2 nos pontos P e Q, então a medida do comprimento do segmento PQ é: 58.(UNIFOR – 1981) Considere as circunferências x2 + y2 = 25 e (x -3)2 + y2 = 4. Podemos afirmar que elas são: 40 de t tal que o segmento AB é paralelo ao segmento OT , então a área do trapézio OABT é igual a: (A) r2(2 cos θ - cos 2θ) (B) 2r2(4 cos θ - sen 2θ) (C) r2(4 sen θ - sen 2θ) (D) r2(2 sen θ + cos θ) (E) 2r2(2 sen 2θ - cos 2θ) 79.(ITA - 1996) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal que ε1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y +144 = 0 considere uma elipse ε2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de ε1 e cujos eixos têm mesma medida que os eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de ε2 é: (A) (7,3) (B)(8,2) (C)(8,3) (D)(9,3) (E)( 9,2) 80.(ITA - 1996) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e p2: y = x2 - 3x + 11/4 cujos vértices são denotados, respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1 e V2, então a distância de r até à origem é: (A) 26 5 (B) 26 7 (C) 50 7 (D) 50 17 (E) 74 11 81.(ITA - 1996) São dadas as retas r: x - y + 1 + 2 = 0 e s: 3 x + y - 2 3 = 0 e a circunferência C: x2 + 2x + y2 = 0. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que: (A) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C. (B) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é tangente a C. (C) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é tangente à C. (D) r e s são concorrentes, s é tangente à C e r não é tangente à C. (E) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C. 82.(ITA - 1996) Sabendo que o ponto (2,1) é ponto médio de uma corda AB da circunferência (x - 1)2 + y2 = 4, então a equação da reta que contém A e B é dada por: (A) y = 2x – 3 (B) y = x-1 (C) y = -x + 3 (D) y = 3x/2 - 2 (E) y = -x/2 + 2 83.(ITA - 1997) Seja m ∈ ℜ *+ , tal que a reta x - 3y - m = 0 determina, na circunferência (x - 1)2 + (y +3)2 = 25, uma corda de comprimento 6. O valor de m é: (A) 10 + 4 10 (B)2 + 3 (C)5- 2 (D)6 + 10 (E)3 84.(ITA - 1997) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s dadas, respectivamente pelas equações x + y = 3 e x + y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante com B ∈ r e C ∈ s. sabendo que d(A,B) = d(A,C) = 2 , então a reta passando por B e C é dada pela equação: (A) 2x + 3y = 1 (B)y = 1 (C)y = 2 (D)x = 1 (E)x = 2 85.(ITA - 1997) Considere os pontos A: (0, 0) e B: (2, 0) e C: (0, 3). Seja P: (x, y) o ponto da intersecção das bissetrizes internas do triângulos ABC. Então x + y é igual a: (A) 12/(5 + 13 ) (B)8/(2 + 11 ) (C)10/(6 + 13 ) (D)5 (E)2 86.(ITA - 1998) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas equações são, respectivamente, 5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1). Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de P ao vértice da parábola T, é: (A) a elipse de equação 1 3 )2y( 4 )3x( 22 = + + − . (B) a hipérbole de equação 1 4 )3x( 5 )1y( 22 = − + + . (C) O par de retas dadas por y = ±(3x - 1). (D) A parábola de equação y2 = 4x + 4. (E) A circunferência centrada em (9 , 5) e raio 120 . 87.(ITA - 1998) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste paralelogramo, em cm2, vale: 41 (A) 5 36 (B) 4 27 C) 3 44 (D) 3 48 (E) 5 48 88.(ITA - 1990) Sejam a e b constantes reais positivas. Considere x = a2 tg t + 1 e y2 = b2 sec2t - b2 onde 0 2 t π<≤ . Então uma relação entre x e y é dada por: (A) ax ,)1x( a by 2 ≥−= (B) 1x ,)1x( a by 24 2 ≥−= (C) ℜ∈∀−= x ),1x( a by 2 (D) 1x ),1x( a by 2 ≥− − = (E) 1x ),1x( b ay 2 2 ≤−= 89.(ITA - 1990) Sejam as retas (r) e (s) dadas respectivamente pelas equações 3x - 4y + 12 = 0 e 3x - 4y + 4 = 0. Considere ( l ) o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente (r) e (s). Uma equação que descreve ( l ) é dada por: (A) 3x - 4y + 8 = 0 (B) 3x + 4y + 8 = 0 (C) x - y + 1 = 0 (D) x + y = 0 (E) 3x - 4y - 8 = 0 90.(ITA - 1990) Seja C o centro da circunferência x2 + y2 - 6 2 y = 0. Considere A e B os pontos de interseção desta circunferência com a reta y = 2 x . Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices A, B e C é: (A) 326 + (B) 234 + (C) 32 + (D) 235 + (E)n.d.a. 91.(ITA - 1990) Considere a reta (r) mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta 2x - 3y + 7 = 0 intercepta os eixos coordenados. Então a distância do ponto ( 6 1, 4 1 ) à reta (r) é: (A) 2 35 (B) 13 4 (C) 13 (D) 7 32 (E) 3 2 92.(ITA - 1990) Considere a região do plano cartesiano xOy definida pelas desigualdades x-y < 1, x+y > 1 e (x-1)2+y2 < 2. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo x é igual a: (A) π 3 4 (B) π 3 8 (C) π− )22( 3 4 (D) π− )12( 3 8 (E)n.d.a. 93.(ITA - 1991) Considere a região ao plano cartesiano xy definido pela desigualdade: x2 + y2 - 2x + 4y + 4 < 0. Quando esta região rodar um ângulo de 3 π radianos em torno da reta y + x + 1 = 0, ela irá gerar um sólido cujo volume é igual a: (A) 3 4π (B) 3 2π (C) 3 π (D) 9 4π (E)n.d.a. 94.(ITA - 1991) Seja r a mediatriz do segmento de reta de extremos M = (-4 , -6) e N = (8 , -2). Seja R o raio da circunferência com centro na origem e que tangencia a reta r. Então: (A) R = 3 7 (B)R= 3 15 (C)R= 3 10 (D)R = 5 10 (E)n.d.a. 95.(ITA - 1991) Seja C a circunferência dada pela equação x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a , b) é o ponto em C mais próximo da origem, então: (A) a = - 2 3 e 4b2 + 24b + 15 = 0 (B) a = - 2 1 e 4b2 + 24b + 33 = 0 (C) a = 10 10 - 1 e b = 3a (D) a = - 1 - 10 10 e b = 3a (E) n.d.a. 96.(ITA - 1992) A equação da reta bissetriz do ângulo agudo que a reta y = mx, m > 0, forma com o eixo dos x é: (A) x m m11y 2++ = 42 (B) x m m11y 2+− = (C) x m m11y 2+−− = (D) x m m11y 2++− = (E) n.d.a. 97.(ITA - 1992) Seja C a circunferência x2 + y2 - 2x - 6y + 5 =0. Considere em C a corda AB cujo ponto médio é: M: (2, 2). O comprimento de AB( em unidade de comprimento) é igual a: (A) 2 6 (B) 3 (C) 2 (D) 2 3 (E) n.d.a. 98.(ITA - 1992) Dados os pontos A: (0, 8), B: (-4, 0) e C: (4, 0), sejam r e s as retas tais que A, B ∈ r, B, C ∈ S. Considere P1 e P2 os pés das retas perpendiculares traçadas de P: (5, 3) às retas r e s , respectivamente. Então a equação da reta que passa por P1 e P2 é: (A) y + x = 5 (B) y + 2x = 5 (C) 3y - x = 5 (D) y + x = 2 (E) n.d.a. 99.(ITA - 1992) Considere as afirmações: I- Uma elipse tem como focos os pontos F1: (-2, 0), F2: (2, 0) e o eixo maior 12. Sua equação é x2/36 + y2/32 = 1. II- Os focos de uma hipérbole são F1: (- 5 , 0), F2: ( 5 , 0) e sua excentricidade 2/10 . Sua Equação é 3x2 - 2y2 = 6. III- A parábola 2y = x2 - 10x - 100 tem como vértice o ponto P: (5, 125/2). Então: (A) Todas as afirmações são falsas. (B) Apenas as afirmações II e III são falsas. (C) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmação III é verdadeira. (E) n.d.a. 100.(ITA - 1994) Duas retas r e s são dadas, respectivamente, pelas equações 3x - 4y = 3 e 2x + y = 2. Um ponto P pertencente à reta s tem abscissa positiva e dista 22 unidades de medida da reta r. Se ax + by + c = 0 é a equação da reta que contém P e é paralela a r, então a + b + c é igual a : (A) –132 (B)–126 (C)–118 (D)–114 (E)–112 101.(ITA - 1994) Um triângulo eqüilátero é tal que A: (0, 3), B: (3 3 ,0) e a abscissa do ponto C é maior que 2. A circunferência circunscrita a este triângulo tem raio r e centro em O: (a, b). Então a2 + b2 + r2 é igual a: (A) 31 (B)32 (C)33 (D)34 (E)35 102.(ITA - 1999) Considere a circunferência C de equação x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 - 4x + 8y + 4 = 0. Então: (A) C e E interceptam-se em dois pontos distintos. (B) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. (C) C e E são tangentes exteriormente. (D) C e E são tangentes interiormente. (E) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam. 103.(ITA - 1999) Pelo ponto C: (4, -4) são traçadas duas retas que tangenciam a parábola y = (x-4)2 + 2 nos pontos A e B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B é: (A) 6 12 (B) 12 (C)12 (D)8 (E)6 104.(ITA – 2000) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A: (2,1) e B: (3,-2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são (A)(-1/2,0) ou (5,0) (B)(-1/2,0) ou (4,0) (C)(-1/3,0) ou (5,0) (D)(-1/3,0) ou (4,0) (E)(-1/5,0) ou (3,0) 105.(ITA – 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37 e tangentes à circunferência x2 + y2 - 2x - y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a origem e A C r B M 45 CASD Vestibulares Geometria Analítica Filipe Rodrigues Capíítullo IIX – Gabarii tos Respostas dos exercícios propostos P1. a)5 b)13 c)10 d)13 P2. 82182 +=p P3. 310====== FBEADFCEBDAC Esse hexágono é regular. P4. a)x = - 4; y = 5,5; b)x = 4 ou x = -2; y = 4; a)x = - 1; y = -2; P5. G = (0, 32 ) P6. a)      = 2 9, 4 7B b)      = 3 17, 3 7B c)      = 7 25, 7 11B d)      = 3 10, 6 7B e)      = 5 11, 5 3B P7. C = (4, 9) P8. a) sim b) não c) sim d)não e) não f)não P9. s = r P10. 2+−= rs P11. 2 3 2 +−= rs P12. 2=r P13. 82 +−= rs *P14. 018 4 35 =−+ rs P14. a) y – 2x = 0 b)2x – 3y + 5 = 0 c) y – x – 3 = 0 d) y – 5x + 3 = 0 e) 2y – x + 2 = 0 f)y = 0 P15. a) G(1, 1) b)MAB(1, 3/2), MBC(3/2, 3/2), MAC(1/2, 0) c) y = x. d) y = 2x – 1. e) x = 1. f) 2y – 6x + 3 = 0. g) 4y – 6x + 3 = 0. *P16.         − = 3 310, 3 20E P16. a) (-1, -7) b)(5/4, 0) c)(11/7, -60/7) d) (0, -2) e)(-3/2, -7/2) f) (-1, -8) g) (0, 2/3) P17-) Ache as intersecções entre as retas abaixo e os eixos Ox e Oy: a) Ox – (1, 0) Oy – (0, 2/3) b) Ox – (-7/3, 0) Oy – (0, 7/6) c) Ox – (0, 0) Oy – (0, 0) d) Ox – (4, 0) Oy – (0, -2) P18. 225 ±=m P19. r: 2y – 3x + 4 = 0. P20. r: 2y – 3x - 3 = 0. P21. a) θ = 45º b) θ = 0º c) θ = 90º d) θ = arctg(3/11) e) θ = arctg 2 46 P22. r: y = 2x P23. r: y = x + 1 P24. t: y + 2x + 1 = 0 P25. C(1 + 3 , 2 - 3 ) D(1 - 3 , 2 + 3 ) P26. B(0, 3) D(2, 1) P27. 03322428:1 =−+ yxb 0716128:2 =+− yxb P28. 01584:1 =−− xyb 054422:2 =++ yxb P29. x2 + y2 = 25 P30. 052 =−− xy P31. x2 + y2 = 1 P32. x2 + (y - 1)2 = 1 P33. 5+−= xy P34. 0)1013()6052()2539(: =−−−++ nynxns 0)1013()6052()2539(: =+−++− nynxns P35. 2 3xy = P36. 132 +−= xxy P37. 027329:lg1 =−− yx 03311251:lg 2 =−+ yx P38. a) Não. S = 35/2 b)Não. S = 9 c)Não. S = 7 d) Sim. e) Sim. f) Não. S = 3 g) Não. S =3 h) Não. S = 5/2 P39. a) S = 3. b)G(3/2, 0) c) θ = arctg 3 d) S = 8 P40. S = 40 P41. S = 24 P42. a)C(-4, 1), raio: 10 . b)C       − 2 9, 2 7 , raio: 2 118 . c)C(1, 2), raio: 3 . P43. a) x2 + y2 = 25 b) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 64 c) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 d) x2 + (y – 5)2 = 2 P44. Resp. a)C(-1, 0) r = 2; b) C(5/2, -1) r = 2 29 c)C(-5/2, 0) r = 2 29 ; d) C(5/2, 5/2) r = 2 25 P45. S = 25π − 2 )15(3 − P46. a) secante A(-4, -3) e B(3, 4) b) Não há intersecção. c) Tangente A(1, 0) d) secante A         +−+ 5 2025, 5 205 e B         −−− 5 2025, 5 205 e)secante A         ++ 5 3936, 5 392 e B         −− 5 3936, 5 392 P47. a) sec. b) sec. c) exteriores d) tangentes e) interiores P48. a)C(2, 3), V1(-3, 3), V2(7, 3) 47 F1(-1, 3), F2(5, 3) b)Não existe me real tal que a reta y = mx seja tangente à essa elipse P49. a) C(1, 0), V1(0, 13), V2(0, -13) F1(0, 5), F2(0, -5) b) 13 5 =e c)(x – 1)2 + y2 = 169 d)(x – 1)2 + y2 = 144 P50. 91 2 ±=m P51. 1 1625 22 =+ yx P52. L = 20π P53. 1 9 )3( 25 )4( 22 = − + − yx P54. 1 25 )1( 9 )1( 22 = − + − yx P55. 1)1( 2 )1( 22 =−+ − yx P56. 1)1( 2 )2( 22 =−+ − yx P57. a) 1 4 )1( 81 22 = − + yx b) 1)1( 25 2 2 =++ yx c) 1 499 )3( 22 =+ − yx d) 1 9 2 2 =+ yx