Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.1, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Baixe Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.1 e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity! Capı́tulo 1 Proporcionalidade e Funções Afins Em seu livro “Elementos de Álgebra”, publicado em São Peters- burgo em 1770, o grande matemático Leonardo Euler propõe o seguinte problema: Uma lebre está 50 pulos à frente de um cachorro, o qual dá 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendo que 2 pulos do cachorro valem 3 da lebre, quantos pulos ele deve dar para pegá-la? Este é um exemplo de questão que se refere a proporcionalidade, assunto que exporemos a seguir. 1 Proporcionalidade Diz-se que duas grandezas são proporcionais quando existe uma correspondência x → y, que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpri- das as seguintes condições: 1) Quanto maior for x, maior será y. Em termos matemáticos: se x → y e x ′ → y ′ então x < x ′ implica y < y ′. 2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x então o valor correspondente de y será dobrado, triplicado, etc. Na lingua- gem matemática: se x → y então nx → ny para todo n ∈ N. Nas condições acima, a correspondência x → y chama-se uma proporcionalidade. 3 4 Temas e Problemas Exemplo 1. Sejam x o volume e y o peso de uma porção de um lı́quido homogêneo. A correspondência x → y cumpre claramente as duas condições acima, logo o volume é proporcional ao peso. Exemplo 2. Sejam r e s retas paralelas. Dado qualquer retângulo que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o com- primento de um desses lados e z a área do retângulo. z s r Figura 1 A correspondência x → z é uma proporcionalidade. Ou seja: quando a altura de um retângulo é fixada, sua área z é proporcio- nal à base x. Com efeito, em primeiro lugar, se x < x ′ então a área z ′ do retângulo de base x ′ é igual à área z do retângulo de base x mais a área de um retângulo de base x ′ − x, logo z < z ′. Em segundo lugar, um retângulo de base n · x pode ser expres- so como reunião de n retângulos justapostos de base x (e mesma área z) logo sua área é n · z. Observação. A afirmação contida no Exemplo 2 é uma conse- qüência imediata da fórmula que exprime a área de um retângulo como o produto da base pela altura. Esta é, entretanto, uma justi- ficativa a posteriori. Não é conveniente usá-la no presente contex- to pois, na verdade, o primeiro passo da dedução daquela fórmula é a verificação da proporcionalidade acima. Exemplo 3. Consideremos no plano um ângulo AÔB e uma re- ta r que não é paralela ao lado OA nem a OB (Figura 2). Dado qualquer segmento de reta de comprimento x, contido em OA, as paralelas a r traçadas por suas extremidades determinam sobre o lado OB um segmento de comprimento y. Proporcionalidade e Funções Afins 7 Observação. Se uma quantia fixa gera, após um mês de investi- mento, um retorno y, não é verdade que após nmeses essa mesma quantia gere o retorno n ·y, mesmo que a taxa de juros permaneça constante. Pois ao final de cada mês é como se tivesse sido aplica- da novamente uma quantia maior, igual à existente no mês ante- rior mais os juros correspondentes. Assim o retorno (num perı́odo fixo) é proporcional ao capital inicial mas não é proporcional ao tempo de investimento. Esta observação mostra que a propriedade “quanto maior for x, maior será y ” não assegura a proporcionalidade entre x e y. Outro exemplo disto é a correspondência x → y, onde x é o lado de um quadrado e y é sua área. Diante dos exemplos anteriores, podemos formular a definição matemática de proporcionalidade, onde as grandezas são substi- tuı́das por números reais, que são suas medidas. Estamos considerando apenas grandezas que têm medida po- sitiva, logo o modelo matemático da proporcionalidade leva em consideração apenas números reais positivos. Uma proporcionalidade (numérica) é uma função f : R+ → R+ com as seguintes propriedades: 1) f é uma função crescente, isto é x < x ′ ⇒ f(x) < f(x ′) para quaisquer x, x ′ ∈ R+. 2) Para todo x ∈ R+ e todo n ∈ N tem-se f(nx) = n · f(x). Numa proporcionalidade a propriedade 2), acima admitida ape- nas quando n ∈ N, vale para um número real positivo qualquer. Este é o conteúdo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade. Se f : R+ → R+ é uma função crescente tal que f(nx) = n · f(x) para todo x ∈ R+ e todo n ∈ N, então f(cx) = c · f(x) para quaisquer x e c em R+. A demonstração do teorema acima está no Apêndice 1 na pág. 16. Ver também os seguintes livros, publicados pela S.B.M.: “Meu 8 Temas e Problemas Professor de Matemática”, pág. 129, e “A Matemática do Ensino Médio, vol. 1”, pág. 94. Na prática, é bem mais fácil mostrar que f(nx) = n · f(x) para n ∈ N do que verificar que f(cx) = c · f(x) para todo c ∈ R+. (Pense em c = √ 2 ou c = π.) Por outro lado, o fato de que uma propor- cionalidade f satisfaz esta igualdade para qualquer número real positivo c tem importantes conseqüências, como veremos agora. Corolário. Se f : R+ → R+ é uma proporcionalidade então tem-se, para todo x > 0, f(x) = ax, onde a = f(1). Com efeito, pelo Teorema Fundamental, para quaisquer x, c ∈ R+, vale f(xc) = x · f(c) = f(c) · x. Em particular, tomando c = 1, obtemos f(x) = a · x, onde a = f(1). Uma função f : R → R definida por f(x) = ax, onde a ∈ R é uma constante, chama-se uma função linear. Quando a > 0, a função linear f(x) = ax transforma um número real positivo x no número positivo ax, logo define, por restrição, uma proporciona- lidade f : R+ → R+. Acabamos de ver que, reciprocamente, toda proporcionalidade é a restrição de uma função linear a R+. O coe- ficiente a chama-se o fator de proporcionalidade. Esta última observação nos permite concluir que se f : R+ → R+ é uma proporcionalidade então, para quaisquer x1, x2 com f(x1) = y1, f(x2) = y2, tem-se y1/x1 = y2/x2 . Com efeito, am- bos esses quocientes são iguais ao fator de proporcionalidade a. A igualdade y1/x1 = y2/x2 chama-se uma proporção. Chama-se regra de três ao problema que consiste em, conhe- cendo três dos números x1, y1, x2, y2, determinar o quarto. Há duas maneiras tradicionais de resolver esse problema. Su- ponhamos dados x1, y1 e x2. O quarto elemento da proporção será chamado y. Então deve ser y1/x1 = y/x2, donde se tira y = x2 y1/x1 . Esta é uma forma de resolver a regra de três. O outro método de resolver a regra de três chama-se “redução à unidade”. Sabendo que f(x1) = y1 , ou seja, ax1 = y1 , obtemos a = y1/x1 e daı́ vem o valor do termo y que falta na proporção y1/x1 = y/x2: y = f(x2) = ax2 = y1x2/x1 . O nome “redução à Proporcionalidade e Funções Afins 9 unidade” provém do fato de que a = f(1) é o valor de f(x) quando x = 1. Deve-se ressaltar enfaticamente que a regra de três, prove- niente da proporção y1/x1 = y/x2 , só pode ser legitimamente em- pregada quando se tem uma proporcionalidade f, sendo y1 = f(x1) e y = f(x2). Outra observação a ser feita é que, em diversas situações onde se usa a proporcionalidade (ou a regra de três), o fator de propor- cionalidade a é irrelevante e/ou complicado de se obter. No Exemplo 1, o fator de proporcionalidade a = peso / volume, chamado a densidade do lı́quido (ou, mais precisamente, o peso especı́fico), é um conceito útil. Assim, peso = densidade × volume. No Exemplo 3, o fator de proporcionalidade não tem a menor importância. (Por acaso ele é o quociente dos senos dos ângulos que a reta r forma com os lados OA e OB, mas esta informação é uma mera curiosidade.) No Exemplo 4, é costume escrever o fator de proporcionalidade sob a forma a = 1 + i, portanto tem-se y = (1 + i)x. O número i chama-se o juro. Se o investimento inicial x for mantido durante n mêses e os juros se mantiverem fixos, tem-se ao final do n-ésimo mês y = (1+ i)n x. Quanto ao Exemplo 2, ele nos diz que a área z de um retângulo de altura fixa y (= distância entre as paralelas r e s) é proporcional à base x, logo z = A · x, onde o fator de proporcionalidade A é a área do retângulo de mesma altura y e base 1. Mas é claro que o que vale para a base vale também para a altura. Logo, a área A de um retângulo de base 1 e altura y é proporcional a y, ou seja, A = B · y, onde B é a área do retângulo de base 1 e altura 1. Ora, este é o quadrado unitário logo, por definição, B = 1. Assim A = y e a área z do retângulo de base x e altura y é dada por z = xy. (Veja o livro “Medida e Forma em Geometria”, pág. 17.) Existe também a noção de proporcionalidade inversa. Diz-se que duas grandezas são inversamente proporcionais quando existe uma correspondência x → y que associa a cada valor x de uma delas um valor bem definido y da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condições: 12 Temas e Problemas 2) Se o sólido Y é a reunião de dois sólidos adjacentes X e X ′ então vol(Y) = vol(X) + vol(X′). Dessas duas propriedades do volume, e da definição de proporcio- nalidade acima dada, resulta que se X é um bloco retangular cujas arestas medem x, y e z respectivamente então o volume de X é pro- porcional a x, y e z. Portanto vol(X) = a · xyz, onde a é o volume do bloco retangular cujas três arestas medem 1. Mas tal bloco é o cubo de aresta 1 e, por definição, seu volume é igual a 1. Logo vol(X) = xyz. 3 Funções afins Exemplo 8. As escalas termométricas assinalam valores posi- tivos e negativos. Elas se baseiam na altura de uma coluna de mercúrio, a qual aumenta ou diminui conforme a temperatura so- be ou desce. Na escala Celsius, o valor 0 corresponde à tempe- ratura em que o gelo começa a fundir-se e o valor 100 assinala a temperatura em que a água entra em ebulição (à pressão do nı́vel do mar). Na escala Fahrenheit esses valores são 32 e 212 respec- tivamente. Assim, 0◦C = 32◦F e 100◦C = 212◦F. Os demais valo- res na escala Celsius são marcados dividindo-se o intervalo entre aquelas duas temperaturas em 100 partes de igual comprimento e, na escala Fahrenheit, em 180 partes também de comprimentos iguais. Usando-se esses comprimentos em cada caso, as escalas são estendidas para assinalarem valores de temperaturas supe- riores à da ebulição da água e inferiores à da fusão do gelo. Isso requer o uso de números negativos. Pergunta-se: em que tempe- ratura as escalas Celsius e Fahrenheit assinalam o mesmo valor? Qual a temperatura Celsius que é a metade do valor correspon- dente em graus Fahrenheit? O exemplo acima ilustra uma situação em que se emprega a função afim, conforme veremos a seguir. Uma função f : R → R chama-se afim quando, para todo x ∈ R, o valor f(x) é dado por uma expressão do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são constantes. Proporcionalidade e Funções Afins 13 Exemplo 9. Uma corrida de táxi custa a reais por km rodado mais uma taxa fixa de b reais, chamada a “bandeirada”. Então o preço de uma corrida de xkm é f(x) = ax+ b reais. Numa função afim f(x) = ax + b, o número b = f(0) chama- se o valor inicial e o coeficiente a = f(1) − f(0) é chamado a taxa de variação de f. O motivo para esta denominação é que, para quaisquer x, h ∈ R, com h = 0, tem-se a = [f(x + h) − f(x)]/h, donde a = f(x + 1) − f(x), logo a é a variação de f(x) por unidade de variação de x. (Compare com o exemplo acima.) Uma função linear f(x) = ax é um caso particular de função afim. Outro caso particular de função afim é o das funções cons- tantes f(x) = b. Quando a > 0, a função afim f(x) = ax + b é crescente, isto é, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Com efeito se x1 < x2 então x2 − x1 > 0 logo f(x2) − f(x1) = ax2 + b− (ax1 + b) = a(x2 − x1) > 0, ou seja, f(x1) < f(x2). Analogamente, se a < 0 então x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2), e a função afim f(x) = ax + b é, neste caso, decrescente. Teorema de Caracterização das Funções Afins. Seja f : R → R uma função crescente ou decrescente. Se a diferença f(x+ h) − f(x) depender apenas de h, mas não de x, então f é uma função afim. (Ver demonstração no Apêndice 2 na pág. 17.) Exemplo 10. Retomemos o Exemplo 8. Em última análise, os graus C e F são diferentes unidades de comprimento, com as quais se mede a altura de uma coluna de mercúrio. Assim, a mudança de escala, de Celsius para Fahrenheit é uma função f : R → R que associa à medida x, segundo C, a medida f(x), segundo F, da mesma coluna de mercúrio. Evidentemente, f é crescente. Além disso, a diferença f(x+h)−f(x) é a medida, segundo F, do segmento de reta de extremos f(x) e f(x+h) o qual, segundo C, tem extremos 14 Temas e Problemas x e x+h, logo seu C-comprimento é igual a h. Ora, a medida deste segmento depende apenas de h mas não de x e o mesmo se dá com a diferença f(x + h) − f(x). Pelo Teorema de Caracterização, concluı́mos que f é uma função afim: f(x) = ax + b. Sabemos que f(0) = 32 e f(100) = 212. Então b = 32 e 100a + 32 = 212, donde a = 1,8. Portanto f(x) = 1,8x+ 32 é a fórmula que permite passar da temperatura x na escala Celsius para a temperatura f(x) em graus Fahrenheit. A primeira pergunta do Exemplo 8 era: para qual valor de x tem-se f(x) = x ? Deve-se ter 1,8x + 32 = x, donde x = −40. A resposta é: −40 graus Celsius é o mesmo que −40 graus Fahrenheit. A segunda pergunta era: para qual valor de x tem-se f(x) = 2x ? Então 1,8x + 32 = 2x e daı́ x = 160. Assim 160 graus Celsius equivalem a 320 graus Fahrenheit. Provaremos a seguir que o gráfico de uma função afim é uma reta. Para isso, usaremos a fórmula da distância entre dois pon- tos P = (x1, y1) e Q = (x2, y2), segundo a qual se tem d(P,Q) =√ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 . Dada a função afim f : R → R, f(x) = ax + b, seu gráfico G é o conjunto dos pontos (x, ax + b) ∈ R2, onde x ∈ R. Sejam M = (x1, ax1 + b), N = (x2, ax2 + b) e P = (x3, ax3 + b) três pontos quaisquer de G. Sem perda de generalidade, podemos admitir que x1 < x2 < x3. Mostraremos que d(M,N) + d(N, P) = d(M,P). De fato, temos d(M,N) = √ (x2 − x1)2 + a2(x2 − x1)2 = (x2 − x1) √ 1+ a2 . Analogamente, d(N, P) = (x3 − x2) √ 1+ a2, logo d(M,N)+d(N,P) = (x2−x1+x3−x2) √ 1+ a2 = (x3−x1) √ 1+ a2 = d(M,P). Portanto três pontos quaisquer do gráfico G são colineares. Co- moG possui pontos com quaisquer abscissa, segue-se que G é uma reta. O número b é a ordenada do ponto em que o gráfico de f(x) = ax + b corta o eixo OY. Na Figura 5 vê-se como aos acréscimos iguais x → x + h e x ′ → x ′ + h dados a x e x ′ correspondem Proporcionalidade e Funções Afins 17 APÊNDICE 2 Teorema de Caracterização das Funções Afins. Seja f : R → R crescente ou decrescente. Se a diferença f(x+h)−f(x) depende apenas de h mas não de x, então f é uma função afim. Demonstração: Trataremos apenas do caso em que f é crescen- te pois o outro é análogo. Pela hipótese feita sobre f, a função ϕ : R → R, dada por ϕ(h) = f(x + h) − f(x), está bem definida. Evidentemente ϕ é crescente. Além disso, para todo h ∈ R vale ϕ(2h) = f(x+ 2h) − f(x) = [f((x+ h) + h) − f(x + h)] + [f(x+ h) − f(x)] = ϕ(h) +ϕ(h) = 2 ·ϕ(h). Analogamente se vê que ϕ(nh) = n ·ϕ(h) para todo n ∈ N. Tem-se ainda ϕ(−h) = f(x− h) − f(x) = −[f(x) − f(x− h)] = −ϕ(h) pois x = (x − h) + h. Segue-se que, para todo n ∈ N e todo h ∈ R vale ϕ((−n)h) = ϕ(−nh) = −ϕ(nh) = −[n ·ϕ(h)] = (−n)ϕ(h). Como é óbvio que ϕ(0) = 0, vemos que ϕ(nh) = n ·ϕ(h) para todo n ∈ Z. Pela Observação ao final do Apêndice 1, concluı́mos que ϕ(ch) = c · ϕ(h) para quaisquer c, h ∈ R, logo ϕ é linear. Assim, pondo a = ϕ(1) = f(x + 1) − f(x), tem-se ϕ(h) = a · h para todo h ∈ R. Então, para quaisquer x, h ∈ R vale f(x + h) − f(x) = a · h. Trocando h por x, vem: f(h + x) − f(h) = ax. Fazendo h = 0 e escrevendo b = f(0), obtemos f(x) − b = ax, donde f(x) = ax + b e o teorema está demonstrado. 18 Temas e Problemas Problemas Propostos∗ 1. Sejam r, s retas coplanares. Para cada segmento de reta AB contido em r, seja A ′B ′ sua projeção ortogonal sobre s. Prove que o comprimento de A ′B ′ é proporcional ao de AB. 2. Seja P um ponto fora da reta r. Se X e Y são pontos distintos em r, prove que a área do triângulo PXY é proporcional ao compri- mento de XY. Qual é o fator de proporcionalidade? 3. Dado o ângulo α = AÔB, para cada par de pontos X em OA e Y em OB, sejam x e y as medidas dos segmentos OX e OY respec- tivamente. Prove que a área do paralelogramo que tem OX e OY como dois de seus lados é proporcional a x e y. Qual é o fator de proporcionalidade? Sabendo que a área desse paralelogramo é de 29 cm2 quando x = 6 cm e y = 7 cm, qual o valor dessa área para x = 2 cm e y = 3 cm? 4. Sejam OA, OB e OC semi-retas não coplanares e x, y, z as medidas dos segmentos OX, OY e OZ, respectivamente contidos em OA, OB e OC. Prove que o volume do paralelepı́pedo que tem OX, OY e OC como três das suas arestas é proporcional a x, y e z. 5. O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniforme quando ele percorre espaços iguais em tempos iguais. Sua velo- cidade é, por definição, o espaço percorrido na unidade de tempo. Formule estas definições matematicamente e obtenha a abscissa f(t) do ponto no instante t explicitamente como função de t e do ponto de partida. 6. Por dois pontos dados no plano passa uma única reta. Como se traduz esta afirmação em termos de funções afins? Prove-a algebricamente. ∗Soluções na página 133. Proporcionalidade e Funções Afins 19 7. Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Pas- sados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, durou sua reserva de ração? 8. Uma caravana com 7 pessoas deve atravessar o Sahara em 42 dias. Seu suprimento de água permite que cada pessoa disponha de 3,5 litros por dia. Após 12 dias, a caravana encontra 3 be- duı́nos sedentos, vı́timas de uma tempestade de areia, e os acolhe. Pergunta-se: a) Quantos litros de água por dia caberão a cada pessoa se a caravana prosseguir sua rota como planejado? b) Se os membros da caravana (beduı́nos inclusive) continua- rem consumindo água como antes, em quantos dias, no má- ximo, será necessário encontrar um oásis? 9. Numa estrada retilı́nea, dois carros partem, ao mesmo tempo, de dois pontos A e B, com d(A,B) = d, dirigindo-se no mesmo sentido. O que partiu de A vai a v quilômetros por hora e o que saiu de B roda a w quilômetros por hora. A que distância de A eles se encontram? 10. Dois trens de carga, na mesma linha férrea, seguem uma rota de colisão. Um deles vai a 46 km/h e o outro a 58 km/h. No instante em que eles se encontram a 260 km um do outro, um pássaro, que voa a 60 km/h, parte de um ponto entre os dois, até encontrar um deles e então volta para o outro e continua nesse vai-e-vem até morrer esmagado no momento em que os trens se chocam. Quantos quilômetros voou o pobre pássaro? 11. Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa men- sal de manutenção de 20 reais. Na loja B, o mesmo aparelho custa 2500 reais porém a taxa de manutenção é de 50 reais por mês. Qual das duas opções é a mais vantajosa? 12. Na situação do Exemplo 3, a cada ponto X da semi-reta OA façamos corresponder o ponto Z em OB, tal que XZ seja paralelo à