Baixe Calculando distâncias sem medir e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity! 20 A U L A 20 A U L A Calculando distâncias sem medir No campo ocorrem freqüentemente proble- mas com medidas que não podemos resolver diretamente com ajuda da trena. Por exemplo: em uma fazenda, como podemos calcular a distância entre dois pontos se existe um morro no meio? l É claro que, observando o desenho acima, se esticarmos uma trena de A até B, subindo e descendo o morro, encontraremos um valor maior que o correto. Lembre-se de que quando falamos de distância entre dois pontos estamos considerando que a medida foi feita sobre a reta que une esses dois pontos. No nosso exemplo essa medida não pode ser calculada diretamente. l Também na cidade, a altura de um edifício ou mesmo de um poste são medidas difíceis de serem calculadas diretamente. Vamos mostrar, então, que com o auxílio da semelhança de triângulos e do Teorema de Pitágoras podemos descobrir distâncias sem fazer o cálculo direto das medidas. Para determinarmos medidas no campo precisamos de uma trena, algumas estacas, um rolo de barbante e, para algumas situações, um esquadro. As estacas e o barbante formam triângulos; a trena mede os comprimentos, enquanto o esquadro formará ângulos retos. Acompanhe então os problemas desta aula e suas criativas soluções. Introdução distância AB A B ? Nossa aula 20 A U L A EXEMPLO 1 A largura de um rio Estamos em uma fazenda cortada por um rio bastante largo. Temos uma trena de 20 m e a largura do rio parece ser muito maior que isso. O que podemos fazer para determinar a largura desse rio? Observe o desenho. As pessoas que vão fazer as medidas estão na parte de baixo do desenho. Elas procuram na outra margem algum objeto para fixar a atenção. Imagine então que uma das pessoas, estando no ponto A, veja uma pedra P do outro lado do rio. Para determinar a distância AP fazemos o seguinte. l Fixamos uma estaca no ponto A e amarramos nela um barbante. O barbante é esticado até um ponto C qualquer, de forma que o ângulo PÂC seja reto; l Fixamos uma estaca em C. Sobre o barbante esticado AC devemos agora escolher um ponto B qualquer, que, de preferência, esteja mais próximo de C que de A. l Fixamos então uma estaca em B. l Riscamos agora no chão uma reta que parte de C e faz ângulo reto com o barbante, como mostra o desenho. Vamos caminhando sobre essa reta até que a estaca B esconda atrás de si a pedra P que está do outro lado do rio. Isto faz com que os pontos P, B e D do desenho fiquem em linha reta. Ora, na margem de baixo todas as distâncias podem ser medidas. Suponha então que os valores encontrados tenham sido os seguintes: AB = 15 m BC = 4 m CD = 12,80 m Observe o próximo desenho já com as medidas encontradas e os ângulos iguais assinalados. A C D B P x 15 4 12,8 P A B C D rio pedra 20 A U L AExercício 1 Para calcular a distância entre os pontos A e B situados próximos a um lago foi utilizada a mesma técnica vista no problema da largura do rio. Com as medidas que estão no desenho, determine a distância. Exercício 2 João está em sua varanda desenhando a casa que está do outro lado da rua. Ele sabe que sua distância até esta casa é de 30 m. Para conhecer as medidas da casa ele usa o seguinte artifício: segurando com o braço esticado uma régua e fechando um olho ele “mede” os detalhes da casa (tamanho das janelas, portas, altura do telhado etc.). Sabe-se que a distância do olho de João até a régua é de 70 cm. Observando uma das janelas da casa, João verificou que sua altura, medida na régua, era de 3,5 cm. Qual é a medida real dessa janela? (Sugestão: Observe o desenho a seguir e use semelhança de triângulos. Nos cálculos use todas as distâncias na mesma unidade.) Exercícios lago B A 20m 4m 26 m régua olho do João régua 70 cm 30 m 3,5 cm janela da casa 20 A U L A Exercício 3 Para medir a altura de um poste, João observou que em certo momento ele fazia uma sombra no chão de 3,40 m de comprimento. Ele colocou então na vertical, um cabo de vassoura com 110 cm de comprimento e verificou que sua sombra era de 44 cm. Qual é a altura do poste? (Sugestão: Levando em conta que os raios do sol são paralelos, observe que os dois triângulos formados pelo poste e pelo cabo de vassoura com suas respectivas sombras são semelhantes.) Exercício 4 Para calcular a distância entre dois pontos A e B com um obstáculo no meio podemos usar um outro método: Estique um barbante no chão, e prenda-o nas estacas X e Y. Amarre um outro barbante em A e encontre uma posição para que ele esticado faça ângulo reto com XY. Fixe então uma estaca no ponto C. Faça o mesmo com outro barbante amarrado em B, encontre o ponto D, e fixe uma estaca nesse lugar. Sabendo que foram encontradas as seguintes medidas AC = 22 m, CD = 68 m e DB = 56 m, calcule a distância AB. Sugestão: No desenho, trace por A uma paralela a CD até formar um triângulo. Observe que esse triângulo é retângulo e que os dois catetos são conhecidos. Use então o Teorema de Pitágoras. sombra poste sombra cabo de vassoura A B X C D Y