Livro - Equações Diferenciais e Equações de Diferenças, Notas de estudo de Equações Diferenciais

Baixe Livro - Equações Diferenciais e Equações de Diferenças e outras Notas de estudo em PDF para Equações Diferenciais, somente na Docsity! Equações Diferenciais e Equações de Diferenças Jaime E. Villate Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Dezembro de 2001 Versão: 13 de Janeiro de 2009 Equações Diferenciais e Equações de Diferenças Copyright c© 2001, 2003, 2008 Jaime E. Villate E-mail: villate@fe.up.pt Versão: 13 de Janeiro de 2009 Este trabalho está licenciado sob uma Licença Creative Commons Atribuição-Partilha nos termos da mesma Licença 2.5 Portugal. Para ver uma cópia desta licença, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/pt/ ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA. Este livro é actualizado frequentemente. A versão mais recente e os ficheiros fonte encontram-se em: http://villate.org/doc/eqdiferenciais/ CONTEÚDO v 7.4 Solução em séries em pontos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 8 Transformadas de Laplace 63 8.1 Definição da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.1.1 Condições de existência da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 63 8.2 Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.2.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.2.2 Derivada da Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.2.3 Transformada da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.2.4 Deslocamento em s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.3 Transformadas de Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.4 Cálculo de transformadas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.5 Resolução de equações diferenciais por meio da transformada de Laplace . . . . 66 8.6 Equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis . . . . . . . . . . . . . 67 8.7 Equações diferenciais lineares com entrada descontı́nua . . . . . . . . . . . . . . 67 8.8 Deslocamento no domı́nio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8.9 Impulso unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.10 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.11 Resolução de equações integro-diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9 Equações de diferenças lineares não homogéneas 79 9.1 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9.2 Propriedades da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 9.2.1 Linearidade da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 9.2.2 Derivada da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 9.2.3 Transformada da sucessão deslocada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.2.4 Transformadas das sucessões de senos e co-senos . . . . . . . . . . . . . . 81 9.3 Resolução de equações de diferenças lineares não homogéneas . . . . . . . . . . 83 9.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 10 Sistemas de equações diferenciais 87 10.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.2 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 10.3 Método de eliminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.4 Método matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10.4.1 Vectores e valores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 10.4.2 Soluções fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.4.3 Valores próprios complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 10.5 Vectores próprios generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.6 Sistemas lineares não homogéneos com coeficientes constantes . . . . . . . . . . 96 10.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 vi CONTEÚDO 11 Equações de derivadas parciais 101 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.1.1 Equação de transferência de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.1.2 Equação de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.1.3 Equação de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.2 Resolução de equações simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.3 Método da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.4 Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.4.1 Produto escalar entre funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.4.2 Série seno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.4.3 Série co-seno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.5 Resolução de EDPs usando transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.5.1 Propriedade operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 11.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Respostas aos problemas 109 Bibliografia 119 Índice 120 Lista de Figuras 3.1 Decaimento exponencial de uma substância radioactiva. . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Famı́lia de cı́rculos com centro na origem e trajectórias ortogonais. . . . . . . . . 18 8.1 Fluxo de medicamento, f , para dentro do sangue do paciente. . . . . . . . . . . . 72 8.2 Decaimento do medicamento no sangue do paciente. . . . . . . . . . . . . . . . 73 x LISTA DE TABELAS Prefácio Estes apontamentos foram escritos como texto de apoio à disciplina de Análise Matemática III do Departamento de Engenharia Quı́mica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, nos anos académicos 1997/1998 e 1998/1999. São fruto da experiência docente adquirida entre 1993 e até 1997, quando leccionei as aulas teórico-práticas da disciplina regida pelo Prof. Mário Rui Costa a quem agradeço muito o apoio que me deu durante esse perı́odo. Muitos dos problemas incluidos no fim de cada capı́tulo faziam parte das folhas de problemas propostos pelo Prof. Mário Rui Costa; outros foram adaptados do livro An Introduction to Differential Equations and Their Applications, S.J. Farlow, McGraw-Hill, 1994 A maior parte do conteúdo destes apontamentos encontra-se em qualquer livro de introdução às equações diferenciais. No entanto, a apresentação das equações de diferenças como ferramenta para resolver as fórmulas de recorrência que aparecem no método das séries, não costuma ser usada nos livros de equações diferenciais. Assim, o capı́tulo sobre equações de diferenças lineares inclui algumas secções para as quais é difı́cil encontrar bibliografia. A antiga página Web da disciplina leccionada entre 1997 e 1999, encontra-se ainda disponı́vel em: http://quark.fe.up.pt/deqwww/amiii/ xii Prefácio 1.4 Problemas 3 Teorema 1 (Picard) Considere o problema de valor inicial dy dx = f (x,y) y(x0) = y0 (1.10) se a função f e a derivada parcial de f em função de y são contı́nuas numa vizinhança do ponto (x0,y0), existe uma solução única y = g(x) em certa vizinhança do ponto (x0,y0) que verifica a condição inicial g(x0) = y0. O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função f e a sua derivada parcial ∂ f /∂y são contı́nuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo). As condições do teorema de Picard são condições suficientes, mas não necessárias para a existência de solução única. Quando f ou a sua derivada parcial ∂ f /∂y não sejam contı́nuas, o teorema não nos permite concluir nada: provavelmente existe solução única a pesar das duas condições não se verificarem. Exemplo 1.3 Demonstre que a relação x2 + y2− c2 = 0 (1.11) onde c é uma constante positiva, é solução implı́cita da equação dy dx =−x y (1.12) que pode concluir a partir do teorema de Picard? Resolução: 2x+2yy′ = 0 (1.13) y′ =−x y a função f =−x/y e a sua derivada parcial ∂ f /∂y = x/y2 são contı́nuas em quaisquer pontos fora do eixo dos x. A solução implı́cita dada conduz às soluções únicas: y1 = √ c2− x2 y2 =− √ c2− x2 (1.14) no intervalo−c < x < c. O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos y = 0, mas segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto y = 0 existem duas soluções, y1 e y2.  1.4 Problemas Em cada equação diferencial identifique as variáveis independentes e dependentes. Demonstre em cada caso que a função y ou u na coluna da direita é solução da equação, onde a e c são constantes. 1. dy dx = x√ x2 +a2 (a 6= 0) y(x) = √ x2 +a2 4 Introdução 2. 1 4 ( d2y dx2 )2 − x dy dx + y = 1− x2 y(x) = x2 3. ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0 u(x,y) = arctan (y x ) 4. ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 = 0 u(x,y,z) = 1√ x2 + y2 + z2 Demonstre que a relação dada define uma solução implı́cita da equação diferencial. 5. yy′ = e2x y2 = e2x 6. y′ = y2 xy− x2 y = cey/x Os problemas 7 ao 11 são um teste à sua intuição (a ¡¡intuição¿¿ só se obtem depois de alguma prática e por isso é importante analizar estes problemas e as suas soluções). Em cada caso tente adivinhar uma solução; faça alguma tentativa e verifique se é ou não solução. Diga se a solução que descobriu é geral ou particular. 7. dy dx = y (a função cuja derivada é igual a si própria) 8. dy dx = y2 (derivada igual ao quadrado da função) 9. dy dx + y = 1 10. dy dx + y = ex 11. d2y dx2 = 1 (função cuja segunda derivada é igual a 1) Verifique que a função dada é solução do problema de valor inicial 12. y′′+3y′+2y′ = 0, y(0) = 0 y′(0) = 1 y(x) = e−x− e−2x 13. y′′+4y = 0, y(0) = 1 y′(0) = 0 y(x) = cos2x Determine se o teorema de Picard implica a existência de uma solução única dos seguintes problemas de valor inicial, numa vizinhança do valor inicial x dado. 14. y′− y = 1 y(0) = 3 15. y′ = x3− y3 y(0) = 0 16. y′ =−x y y(1) = 0 1.4 Problemas 5 17. O problema de valor inicial y′ = 2√y, y(0) = 0, tem um número infinito de soluções no intervalo [0,∞). (a) Demonstre que y(x) = x2 é uma solução. (b) Demonstre que se (c é um parâmetro positivo, a seguinte familia de funções (ver figura) são também soluções y = { 0 0≤ x < c (x− c)2 c≤ x Porque não pode ser c negativo? (c) Interprete estes resultados em relação ao teorema de Picard. x y 1 -1 1 2 y = (x - c) 2 8 Equações diferenciais de primeira ordem onde a e b são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição v = ax+by+ c =⇒ dv dx = a+b dy dx (2.8) 2.2 Equações lineares dy dx + p(x)y = f (x) (2.9) Para resolver este tipo de equação podemos tentar transforma-la na forma simples do caso 1 acima. No caso particular em que a função p é uma constante a, o lado esquerdo e semelhante à seguinte derivada dy dx (yeax) = eax(y′+ay) (2.10) consequentemente, podemos multiplicar os dois lados da equação diferencial por exp(ax) e obter- mos dy dx (yeax) = eax f (x) (2.11) yeax = Z eax f (x)dx+ c No caso geral em que p depende de x, usamos a primitiva de p(x) em vez de ax e o factor integrante pelo qual deveremos multiplicar a equação é µ(x) = exp [Z p(x)dx ] (2.12) multiplicando os dois lados da equação diferencial por µ obtém-se d dx (yµ(x)) = µ(x) f (x) (2.13) yµ = Z µ(x) f (x)dx+ c Exemplo 2.1 Encontre a solução da equação diferencial dy dx = y y3−2x y(2) = 1 A equação não é de variáveis separáveis, nem linear, mas se invertermos a equação obtemos dx dy = y3−2x y (2.14) a qual é uma equação linear; escrita na forma padrão dx dy + 2 y x = y2 (2.15) 2.3 Equações exactas 9 vemos que o factor integrante é µ = exp (Z 2 y dy ) = y2 (2.16) multiplicando os dois lados da equação por µ obtemos d dy (y2x) = y4 (2.17) =⇒ y2x = y 5 5 +C (2.18) Para calcular o valor da constante de integração, substituimos a condição inicial 2 = 1 5 +C =⇒ C = 9 5 (2.19) e a solução (em forma implı́cita) é 5y2x = y5 +9  (2.20) 2.3 Equações exactas Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita em forma diferencial: M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (2.21) esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis dF(x,y) = ∂F ∂x dx+ ∂F ∂y dy (2.22) Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função F(x,y) cujas derivadas parciais são iguais a M(x,y) e N(x,y); no entanto a segunda derivada parcial de F seria ∂2F ∂x2 y = ∂M ∂y = ∂N ∂x (2.23) Assim, para que a conjectura da existência da função F(x,y) seja consistente, é necessário que as funções M e N verifiquem a seguinte condição ∂M ∂y = ∂N ∂x (2.24) nesse caso diz-se que a equação é exacta e pode ser escrita como dF(x,y) = 0 (2.25) sendo a solução geral F(x,y) = c (2.26) A função F calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a M(x,y) e N(x,y). 10 Equações diferenciais de primeira ordem Exemplo 2.2 Resolva a seguinte equação dy dx = 9x2 + y−1 4y− x (2.27) A equação pode ser escrita da seguinte forma diferencial (4y− x)dy− (9x2 + y−1)dx = 0 (2.28) e verifica-se facilmente que é uma equação exacta: ∂ ∂x (4y− x) =−1 = ∂ ∂y (−9x2− y+1) (2.29) existe uma função F(x,y) tal que dF dy = 4y− x =⇒ F = 2y2− xy+ f (x) (2.30) dF dx =−9x2− y+1 =⇒ F =−3x3− xy+ x+g(y) (2.31) comparando os dois resultados para F vemos que f (x) = x−3x3 (2.32) g(y) = 2y2 (2.33) e a função F(x,y) é (para além de uma constante que não é importante cá) F(x,y) = 2y2−3x3− xy+ x (2.34) a solução geral da equação diferencial é F igual a uma constante 2y2−3x3− xy+ x = c  (2.35) 2.4 Equações homogéneas Uma equação de primeira ordem diz-se homogénea se tiver a seguinte forma geral dy dx = f ( y x ) (2.36) para resolver este tipo de equação usa-se a substituição v = y x =⇒ dy dx = v+ x dv dx (2.37) a qual torna a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma f (y/x) observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de x mais o expoente de y) os quais deverão ser iguais. Por exemplo das duas funções seguintes a primeira tem a forma f (y/x) mas a segunda não xy2− x3 yx2 xy+ y 2+ x (2.38) 2.6 Equação de Riccati 13 2.6 Equação de Riccati Outra equação redutı́vel a equação linear é a equação de Riccati: dy dx = a(x)+b(x)y+ c(x)y (2.60) onde a(x), b(x) e c(x) são três funções que dependem de x. Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo y1, a seguinte mudança de variável transformará a equação em equação linear y = y1 + 1 v =⇒ dy dx = dy1 dx − 1 v2 dv dx (2.61) Exemplo 2.4 Encontre a solução geral da seguinte equação sabendo que y1(x) é solução particular y′ = exy2− y+ e−x y1(x) =−e−x cotx (2.62) Trata-se de uma equação de Riccati e para a resolver usamos a seguinte substituição y = y1 + 1 v =⇒ y′ = y′1− v′ v2 (2.63) é conveniente não substituir y1 pela função dada, já que o facto desta ser solução da equação simplificará os resultados. Substituindo na equação de Riccati obtemos y′1− v′ v2 = ex ( y21 +2 y1 v + 1 v2 ) − y1− 1 v + e−x (2.64) v2 ( y′1− exy21 + y1− e−x ) = v′+(2y1 ex−1)v+ ex como y1 é solução, o termo nos parêntesis no lado esquerdo é zero e obtém-se a seguinte equação linear para v(x) v′− (2cotx+1)v =−ex (2.65) o factor integrante desta equação linear é µ(x) = exp Z (−1−2cotx)dx = exp [−x−2ln(sinx)] = e −x sin2 x (2.66) multiplicando os dois lados da equação linear por µ e seguindo os passos explicados na secção sobre equações lineares µv′− (2cotx+1)µv =−csc2 x (2.67) d dx (uv) =−csc2 x uv = cotx+ c v = ex sin2 x(cotx+ c) = ex sinx(cosx+ csinx) y = y1 + 1 v = e−x sinx ( −cosx 1 cosx+ csinx ) y = e−x sinx− ccosx cosx+ csinx a solução geral está constituı́da por esta última famı́lia de funções, junto com a solução particular y1.  14 Equações diferenciais de primeira ordem 2.7 Problemas Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias (todas são de variáveis separáveis, exactas, lineares ou redutı́veis a elas) 1. dy dt cosy =− t siny 1+ t2 y(1) = π 2 2. dy dt + y = 1+ t2 y(1) = 2 3. dx dy = cos(x+2y) x(0) = 0 4. dy dt = y2−2ty y2 5. dy dx =− x+ y x+2y y(2) = 3 6. (2y+ ex cosy)y′ =−ex siny 7. 1+3t−2y− (4t−3y−6) dy dt = 0 8. dy dx = x+4y+5 x−2y−1 y|x=2 = 1 9. dy dx = x2−1 y2 +1 y(−1) = 1 10. dy dt +2ty = 2t3 √ y y(0) = 25 11. dy dx = x3−2y x 12. dy dx = x x2y+ y3 13. dy dx = x(2y+1) y− x2 14. dy dx = y− x2 y2− x Resolva as seguintes equações de Riccatti, sabendo que y = y1(x) é uma solução particular: 15. dy dx + y x − y2 =− 1 x2 y1(x) = 1 x 16. dy dx = 2cos2 x− sin2 x+ y2 2cosx y1(x) = sinx Capı́tulo 3 Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem 3.1 Crescimento demográfico A taxa de aumento de uma população é a soma das taxas de natalidade (n) e migração (g), menos a taxa de mortalidade (m) a = n+g−m (3.1) O aumento da população num instante dado é igual ao produto da população nesse instante vezes a taxa de aumento da população; se a população no instante t for representada pela função P(t), o aumento da população será também igual à derivada de P dP dt = aP (3.2) Para poder resolver esta equação é preciso conhecer a dependência de a com o tempo. Veremos dois casos simples 3.1.1 Modelo de Malthus Se a taxa de aumento da população (a) for constante a equação diferencial anterior será uma equação de variáveis separáveis Z dP P = Z adt +C (3.3) P = P0 eat Onde P0 é a população em t = 0. Este modelo pode ser uma boa aproximação em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a população cresce sim limite. 3.1.2 Modelo logı́stico Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta directamente proporcional à população, com taxas de natalidade e migração constantes. A taxa de aumento da população é assim b− kP (3.4) 18 Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem A derivada dy/dx representa em cada ponto o declive da curva que passa por esse ponto. O declive da curva ortogonal será o inverso, com sinal trocado dy dx = ∂ f ∂y ∂ f ∂x (3.15) a solução geral desta equação é a famı́lia de trajectórias ortogonais. Exemplo 3.1 Encontre as trajectórias ortogonais da famı́lia de cı́rculos com centro na origem. A equação dos cı́rculos com centro na origem é x2 + y2 = c2 (3.16) onde o parâmetro c pode ter qualquer valor positivo a equação diferencial cuja solução geral é essa famı́lia de cı́rculos obtém-se por derivação implı́cita 2x+2yy′ = 0 =⇒ dy dx =− dx dy (3.17) e a equação diferencial das trajectórias ortogonais é dy dx = y x (3.18) A solução desta equação de variáveis separáveis é y = ax (3.19) que corresponde a uma famı́lia de rectas que passam pela origem; a constante de integração é declive das rectas. A figura 3.2 mostra a famı́lia de curvas e as trajectórias ortogonais . x y Figura 3.2: Famı́lia de cı́rculos com centro na origem e trajectórias ortogonais. 3.4 Problemas de aquecimento e arrefecimento 19 3.4 Problemas de aquecimento e arrefecimento Outra aplicação das equações diferenciais de primeira ordem são os problemas de aquecimento e arrefecimento. Entre dois corpos em contacto existe transferência de calor por condução, do corpo mais quente para o mais frio. Se a temperatura do objecto em qualquer instante é T (t) e a temperatura do meio ambiente é M(t), o aumento da temperatura do objecto em qualquer instante será directamente proporcional à diferença de temperatura com o meio ambiente dT dt = k(M−T ) (3.20) onde k é uma constante de condução térmica. Esta equação é uma equação linear que pode ser facilmente resolvida uma vez conhecida a temperatura do meio M(t). O caso mais simples é quando a temperatura do meio ambiente é constante; nesse caso a equação é de variáveis separáveisZ dT M−T = Z k dt +C =⇒ T = M +(T0−M)e−kt (3.21) onde T0 é a temperatura inicial. A temperatura do objecto aproxima-se assimptoticamente à temperatura do meio. 3.5 Cinética quı́mica Consideremos uma reacção quı́mica de primeira ordem na qual um composto A reage dando origem a outros dois compostos B e C A−→ B+C (3.22) Cada molécula do composto A tem uma determinada probabilidade de reagir por unidade de tempo. Assim, o número de moléculas que reagem por unidade de tempo é directamente proporcio- nal ao número de moléculas existentes, e a velocidade da reacção é directamente proporcional à concentração [A] do composto A (admitindo um volume constante). A medida que o composto reage, a sua concentração diminui e a velocidade de reacção também; em qualquer instante a taxa de diminuição de [A] é directamente proporcional a [A] d[A] dt =−k[A] (3.23) Este tipo de reacção designa-se de reacção de primeira ordem. A equação anterior é a mesma equação obtida para o decaimento radioactivo, já que o mecanismo das reacções de primeira ordem e do decaimento radioactivo são análogos, a nı́vel atómico e nuclear. Consideremos agora uma reacção na qual dois reagentes A e B combinam-se formando um composto C A+B−→ C (3.24) Cada molécula de A tem uma determinada probabilidade c de reagir com uma molécula de B (por unidade de tempo); na presença NB moléculas do composto B, a probabilidade de reagir que tem cada molécula de A é cNB.1 Assim o número médio de reacções por unidade de tempo é cNANB, 1É claro que uma molécula terá maior probabilidade de reagir com as moléculas vizinhas do que com outras moléculas afastadas, mas vamos admitir que c é a probabilidade média e permanece constante 20 Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem sendo NA e NB o número de moléculas de A e B existentes nesse instante; este será também o aumento do numero de moléculas do composto C, NC, por unidade de tempo: dNC dt = cNANB (3.25) Em função das concentrações dos compostos A, B e C, a equação diferencial obtida é dx dt = k(a− x)(b− x) (3.26) onde x é a concentração do composto C e a e b as concentrações iniciais de A e de B. Este tipo de reacções são de segunda ordem. Exemplo 3.2 (Problema de evaporação) Uma esfera de naftaleno tem um raio inicial de 1 cm e depois de três meses observa-se que o raio diminuiu até 0,5 cm. Calcule quanto tempo tardará a esfera em evaporar-se completamente. O volume da esfera sólida que se evapora em cada instante é directamente proporcional à área da superfı́cie dV dt =−kA (3.27) onde V = 4πr3/3 é o volume da esfera, e A = 4πr2 a área da sua superfı́cie. Substituindo na equação diferencial, obtemos uma equação simples para o raio da esfera dr dt =−k (3.28) a sua solução mostra que o raio diminui linearmente e função do tempo: r = r0− kt (3.29) consequentemente, se o raio diminuiu a metade em três meses, tardará outros três meses a em chegar a ser zero.  3.6 Problemas 1. A análise quı́mica de uma viga de pinho retirada da tumba dum faraó Egipcio mostrou que o conteúdo de carbono 14 é 55% do existente num pinheiro vivo. Sabendo que a meia-vida do carbono 14 é 5580±45 anos, calcule a idade da tumba. 2. Segundo o Factbook da C.I.A., os dados demográficos para Portugal em Julho de 1993 foram os seguintes: população = 10 486 140 habitantes, taxa anual de natalidade = 11,59 por mil, taxa anual de mortalidade = 9,77 por mil e taxa anual de migração = 1,8 por mil. Admitindo que as três taxas permanecem constantes entre 1993 e 1997, faça uma estimativa da população de Portugal em Julho de 1997. 3. No problema anterior admita que as taxas de natalidade e migração sejam constantes até ao ano 2000, enquanto a taxa de mortalidade é directamente proporcional à população (modelo logı́stico). Calcule qual seria neste modelo a população em Julho do ano 2000 (a constante de proporcionalidade da taxa de mortalidade calcula-se fácilmente a partir dos dados iniciais). Capı́tulo 4 Equações lineares de ordem 2 e superior Uma equação diferencial linear de ordem n tem a forma geral a0(x)y(n) +a1(x)y(n−1) + . . .+an−1(x)y′+an(x)y = g(x) (4.1) onde a0 é diferente de zero (se não fosse, terı́amos uma equação de ordem n−1). Por simplicidade estudaremos a equação de ordem 2, mais os resultados obtidos serão facilmente generalizados ao caso de ordem n. Dividindo os dois lados da equação linear de segunda ordem por a0, obtém-se a forma padrão y′′+ p(x)y′+q(x)y = f (x) (4.2) 4.1 Existência e unicidade da solução Teorema 2 Se as funções p(x), q(x) e f (x) são contı́nuas num intervalo (a,b), existe uma única solução da equação linear y′′+ p(x)y′+q(x)y = f (x) (4.3) no intervalo (a,b), que verifica as condições iniciais y(c) = A y′(c) = B (4.4) para quaisquer números A, B e c (c dentro do intervalo (a,b)). Em contraste com o teorema de Picard para equações de primeira ordem, o intervalo onde se verificam as condições de existência e unicidade é exactamente o mesmo intervalo onde a solução é válida; portanto, neste caso as condições do teorema de existência e unicidade são condições suficientes e necessárias. No caso geral de ordem n, as condições iniciais serão o valor da função e das primeiras n−1 derivadas num ponto c, e as condições de existência e unicidade serão a continuidade das n + 1 funções que aparecem na forma padrão da equação. 4.2 Solução geral das equações lineares Dadas duas soluções particulares da equação linear, a diferença entre elas é solução da equação homogénea associada y′′+ p(x)y′+q(x)y = 0 (4.5) 24 Equações lineares de ordem 2 e superior De maneira recı́proca, qualquer soma de uma solução da equação linear mais uma solução da equação homogénea associada, é também solução da equação linear. Assim a solução geral pode ser obtida a partir de uma única solução particular, yp, da equação mais a solução geral da equação homogénea associada, yh yg = yp + yh (4.6) Para resolver uma equação linear começamos por resolver a equação linear homogénea associ- ada e depois encontramos uma solução particular yp. 4.3 Equações lineares homogéneas A forma geral da equação linear homogénea de segunda ordem é y′′+ p(x)y′+q(x)y = 0 (4.7) dadas duas soluções particulares y1 e y2, qualquer combinação linear das duas soluções c1y+ c2y (4.8) é também solução. Consequentemente as soluções da equação formam um espaço vectorial. Para determinar a solução geral bastará com determinar uma base do espaço vectorial, ou seja um conjunto com o número máximo possı́vel de soluções particulares linearmente independentes. A continuação veremos como determinar se duas soluções são linearmente independentes. 4.4 Independência linear entre funções Diz-se que duas funções f (x) e g(x) são linearmente dependentes se existem duas constantes C1 e C2 (pelo menos uma de elas diferente de zero) tal que C1 f +C2g = 0 (4.9) para qualquer valor de x. A derivada da expressão anterior é C1 f ′+C2g′ = 0 (4.10) Para cada valor de x, as duas últimas equações são um sistema linear. O determinante do sistema é W [ f ,g] = ∣∣∣∣ f gf ′ g′ ∣∣∣∣ (4.11) e designa-se Wronskiano das funções f e g. Se o Wronskiano for diferente de zero num intervalo, as duas constantes serão nulas e as funções linearmente independentes no intervalo. Realmente também existem casos em que as funções são linearmente independentes e o Wronskiano é nulo em alguns pontos isolados, mas esses casos não aparecem no estudo das soluções das equações lineares, como veremos na seguinte secção. 4.5 Solução geral das equações lineares homogéneas 25 4.5 Solução geral das equações lineares homogéneas Teorema 3 Se y1 e y2 são duas soluções particulares da equação linear homogénea y′′+ p(x)y′+q(x)y = 0 (4.12) num intervalo (a,b), e se num ponto x0 dentro do intervalo o Wronskiano das duas soluções é diferente de zero, então o Wronskiano será diferente de zero em qualquer outro ponto no intervalo (a,b) e as soluções serão linearmente independentes no intervalo. Uma combinação linear das duas soluções é também solução; as condições iniciais para essa solução serão C1y1(c)+C2y2(c) = A (4.13) C1y′1(c)+C2y ′ 2(c) = B (4.14) para quaisquer valores iniciais A e B existe sempre solução única C1 e C2, já que o determinante deste sistema linear é exactamente o Wronskiano das duas soluções, o qual é diferente de zero. Qualquer solução particular pode ser obtida a partir de uma combinação linear das duas soluções yg = C1y1 +C2y2 (4.15) sendo esta a solução geral. 4.6 Método de d’Alembert O método de d’Alembert permite transformar uma equação diferencial linear de ordem n numa outra equação linear de ordem n−1, a partir de uma solução particular conhecida. No caso das equações lineares homogéneas de segunda ordem, este método permite calcular a solução geral a partir de uma solução particular. Se y1 é solução particular da equação linear homogénea y′′+ p(x)y′+q(x)y = 0 (4.16) a substituição y = vy1 (4.17) conduz a uma equação de primeira ordem para a função v′ dv′ dx = 2y′1 y1 v′+ pv′ (4.18) considerando como variável independente a função v′, esta é uma equação linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando o método introduzido no Capı́tulo 2 para obter v′. A primitiva de v′ dá a função v, que multiplicada por y1 conduz à solução geral da equação 4.16. Exemplo 4.1 Sabendo que y1 é solução da equação diferencial dada, encontre a solução geral (x2 +1)y′′−2xy′+2y = 0 y1(x) = x (4.19) 28 Equações lineares de ordem 2 e superior 4.8 Equação de Euler Uma outra equação linear homogénea que pode ser facilmente resolvida é a chamada equação de Euler ax2y′′+bxy′+ cy = 0 (4.37) Neste caso a solução será alguma função cuja primeira derivada multiplicada por x e segunda derivada multiplicada por x ao quadrado sejam linearmente dependentes da função original. Uma função que tem esta propriedade é a função y = xr (4.38) em que r é qualquer constante real. Por substituição na equação diferencial obtemos ar(r−1)xr +brxr + cxr = 0 (4.39) esta relação deverá ser válida em todos os pontos onde y é solução e portanto ar(r−1)+br + c = 0 (4.40) Este é o polinómio caracterı́stico e cada raiz dela conduz a uma solução particular. Considere- mos os 3 casos: 4.8.1 Raı́zes reais diferentes Obtém-se duas soluções particulares. Pode-se mostrar que o Wronskiano das duas soluções correspondentes é não nulo e portanto a solução geral é; yg = C1xr1 +C2xr2 (4.41) 4.8.2 Raı́zes reais iguais A única raiz do polinómio caracterı́stico é r = a−b 2a (4.42) e a única solução particular obtida é y1 = xr (4.43) A solução geral obtém-se por meio do método de d’Alembert y = vy1 =⇒ v′′ = ( −2r x − b ax ) v′ (4.44) substituindo o valor da raiz r equação 4.42) obtemos a seguinte equação de variáveis separáveis dv′ dx =−v ′ x (4.45) separando variáveis e integrando encontramos a função v′ v′ = C1 x v = C1 ln |x|+C2 (4.46) A solução geral da equação de Euler é yg = (C1 ln |x|+C2)xr (4.47) 4.9 Problemas 29 4.8.3 Raı́zes complexas Uma das raı́zes é r = α+ iβ e a correspondente solução é complexa. As partes real e imaginária dessa solução serão soluções reais. Para separar a parte real e imaginária usamos o seguinte método x(α+ iβ) == xα eln |x iβ| = xα e iβ ln |x| = xα [cos(β ln |x|+ i sin(β ln |x|)] (4.48) A solução geral é a uma combinação linear das partes real e imaginárias (as quais são linear- mente independentes) yg = xα [ C1 cos(β ln |x|+C2 sin(β ln |x|) ] (4.49) 4.9 Problemas 1. Forma normal. Demonstre que a substituição y(x) = u(x)F(x), onde F(x)≡ exp ( −1 2 Z p(x)dx ) transforma qualquer equação linear homogénea de segunda ordem y′′+ p(x)y′+q(x)y = 0 na chamada forma normal: u′′+g(x)u = 0 Redução da ordem. Mostre que a função y1(x) é solução da equação diferencial e determine a solução geral 2. y′′+ 2y′ x + y = 0 y1 = sinx x 3. xy′′−2(x+1)y′+4y = 0 y1 = e2x 4. (x2 +1)y′′−2xy′+2y = 0 y1 = x Resolva os seguintes problemas de valores iniciais 5. y′′+3y′+2y = 0 y(0) = 1, y′(0) = 0 6. y′′−a2y = 0 y(0) = 1, y′(0) = 0 7. y′′−4y′+13y = 0 y(0) = 0, y′(0) = 1 8. 16y′′−8y′+ y = 0 y(1) = 0, y′(1) = 4 √ e 9. x2y′′−2xy′+2y = 0 y(2) = 1, y′(2) = 2 10. x2y′′+3xy′+5y = 0 y(1) = 0, y′(1) = 2 11. (x−1)2y′′−4(x−1)y′+4y = 0 y(0) = 0, y′(0) =−3 30 Equações lineares de ordem 2 e superior Resolva os seguintes problemas de condições fronteira 12. y′′−16y = 0 y(0) = 3, y(1/4) = 3e 13. y′′+ y = 0 y(0) = 1, y(π) = 0 Encontre a solução geral das seguintes equações 14. y′′′−3y′′+2y′ = 0 15. x3y′′′−2x2y′′− xy′+9y = 0 5.1 Método dos coeficientes indeterminados 33 5.1.4 Exclusão de soluções da equação homogénea Nos três exemplos anteriores, a solução procurada foi uma combinação linear de algumas funções linearmente independentes com tantos coeficientes indeterminados quantas funções houver. Com- parando os coeficientes de cada função encontra-se uma equação linear por cada coeficiente. No entanto, se alguma das funções independentes fosse também solução da equação homogénea correspondente, a equação obtida não terá solução, como podemos ver no seguinte exemplo y′′−3y′−4y = e−x (5.19) usando o método do primeiro exemplo y = Ae−x =⇒ y′′−3y′−4y = (A+3A−4A)e−x = 0 (5.20) a solução particular neste caso tem a forma y = Axe−x (5.21) onde A pode ser determinado por substituição na equação, já que neste caso a função anterior não é solução da equação homogénea (se fosse, terı́amos multiplicado mais uma vez por x). 5.1.5 Produtos de polinómios, exponenciais e seno ou co-seno O método de coeficientes indeterminados pode ser usado também quando o lado direito for um produto dos três primeiros casos; por exemplo a equação y′′−6y′+9y = (2+ x)e3x cos(2x) (5.22) A solução particular tem a forma y = (A+Bx)e3x cos(2x)+(C +Dx)e3x sin(2x) (5.23) mas se o lado direito fosse, por exemplo y′′−6y′+9y = (2+ x)e 3x (5.24) nesse caso a solução teria a forma y = (Ax2 +Bx3)e3x +(Cx2 +Dx3)e3x (5.25) Foi preciso multiplicar os dois polinómios duas vezes por x já que as funções e3x xe3x (5.26) são soluções da equação homogénea correspondente. O método dos coeficientes indeterminados é útil no caso de equações de coeficientes constantes ou equações de Euler e quando o lado direito tenha a forma geral de alguma das funções conside- radas acima. Para outros tipos de equações lineares será preciso usar outros métodos como, por exemplo, o método de variação de parâmetros que veremos numa secção posterior. 34 Equações lineares não homogéneas Exemplo 5.1 Encontre a solução do seguinte problema de valores iniciais y′′+4y′+4y = cos(2x) y(π) = 0 y′(π) = 1 (5.27) O polinómio caracterı́stico é r2 +4r +4 = (r +2)2 = 0 (5.28) existe uma única raiz, repetida, de maneira que a solução geral da equação homogénea é yh = C1 e−2x +C2xe−2x (5.29) uma solução particular da equação não homogénea terá a forma yp = Acos(2x)+Bsin(2x) (5.30) derivando e substituindo na equação diferencial, é possı́vel calcular os coeficientes indeterminados A e B −8Asin(2x)+8Bcos(2x) = cos(2x) (5.31) O que implica A = 0 e B = 1/8. A solução geral é y = (C1 +C2x)e−2x + 1 8 sin(2x) (5.32) a sua derivada é y′ = (−2C1 +C2−2C2x)e−2x + 1 4 cos(2x) (5.33) As condições iniciais dadas são y(π) = (C1 +πC2)e−2π = 0 (5.34) y′(π) = (−2C1 +C2−2πC2)e−2π + 1 4 = 1 (5.35) multiplicando as duas equações por exp(2π), obtém-se o seguinte sistema de equações lineares[ 1 π −2 1−2π ][ C1 C2 ] = [ 0 3 4 e 2π ] (5.36) e a solução do problema de valor inicial é y = 3 4 (x−π)e2(π−x) + 1 8 sin(2x)  (5.37) 5.2 Principio de sobreposição As soluções de uma equação diferencial não homogénea não constituem um sub-espaço vectorial, pois uma combinação linear de duas soluções não é necessariamente solução da equação. No entanto existe uma propriedade de linearidade importante, chamada principio de sobreposição. Consideremos, por exemplo, a equação de segunda ordem y′′+ p(x)y′+q(x)y = f (x) (5.38) 5.3 Método de variação de parâmetros 35 com uma solução y1, e a equação y′′+ p(x)y′+q(x)y = g(x) (5.39) com outra solução y2. É fácil conferir que para quaisquer constantes A e B Ay1 +By2 (5.40) É solução da equação y′′+ p(x)y′+q(x)y = A f (x)+Bg(x) (5.41) Para apreciar a utilidade deste principio na resolução de equações diferenciais consideremos o seguinte exemplo y′′+ y′+2y = 5x+3ex (5.42) a função y = x+A é solução de: y′′+ y′+2y = 1+2(x+A) = 2x+A+1 (5.43) portanto, y = x−1 é solução da equação com lado direito igual a 2x. Para a exponencial temos y = ex =⇒ y′′+ y′+2y = 4ex (5.44) o lado direito da equação inicial é 5(2x) 2 + 3(4ex) 4 (5.45) e aplicando o princı́pio de sobreposição uma solução será 5 2 (x−1)+ 3 4 ex (5.46) 5.3 Método de variação de parâmetros Este método é válido para qualquer equação linear, e não apenas para equações com coeficientes constantes. No entanto é preciso primeiro conhecer a solução geral da equação homogénea correspondente. Consideremos uma equação linear geral de segunda ordem y′′+ p(x)y′+q(x)y = f (x) (5.47) Se a solução da equação homogénea for y = C1y1 +C2y2 (5.48) admitimos que a solução geral da equação é y = u1y1 +u2y2 (5.49) onde u1 e u2 são duas funções. É de salientar que qualquer função pode ser escrita na forma anterior e incluso as funções u não são únicas embora sejam difı́ceis de calcular; no entanto o método de variação de parâmetros conduz a um sistema linear que pode ser resolvido facilmente. Como temos 38 Equações lineares não homogéneas É uma equação de Euler e, portanto, tem soluções particulares da forma y = xr (5.74) por substituição na equação diferencial homogénea obtém-se o polinómio caracterı́stico r(r−1)(r−2)−3r(r−1)+6r−6 = 0 (5.75) (r−1) [ r(r−2)−3r +6 ] = 0 (5.76) (r−1)(r−2)(r−3) = 0 (5.77) existem três raı́zes reais diferentes,r = 1, r = 2 e r = 3, a solução geral da equação homogénea será yh = C1x+C2x2 +C3x3 (5.78) usando o método de variação de parâmetros, admitimos que a solução da equação não homogénea é y = u1x+u2x2 +u3x3 (5.79) Para determinar as três funções u, serão precisas além da equação diferencial, mais duas condições arbitrárias: xu′1 + x 2u′2 + x 3u′3 = 0 (5.80) u′1 +2xu ′ 2 +3x 2u′3 = 0 (5.81) com estas condições as derivadas de y são y′ = u1 +2xu2 +3x2u3 (5.82) y′′ = 2u2 +6xu3 (5.83) y′′′ = 2u′2 +6xu ′ 3 +6u3 (5.84) e depois de substituir na equação diferencial e simplificar, chegamos à equação 2u′2 +6xu ′ 3 = 5 x2 (5.85) as três condições para determinar as funções u podem ser escritas na forma matricial x x2 x31 2x 3x2 0 2 6x  v′1v′2 v′3 =  00 5/x2  (5.86) As derivadas das três funções ui obtêm-se através da regra de Cramer e as suas primitivas permitem encontrar a solução geral.  5.5 Problemas Encontre a solução geral das seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados 1. y′′+ y′−2y = 3−6x 5.5 Problemas 39 2. y′′− y = xsinx 3. y′′−4y′+4y = xe2x Encontre a solução geral das seguintes equações pelo método de variação de parâmetros 4. y′′+ y′ = e−x 5. y′′+4y = tg(2x) 6. x2y′′+ xy′−4y = x2 + x4 Sabendo que y1(x) e y2(x) são soluções linearmente independentes da equação homogénea corres- pondente, encontre uma solução particular da equação não homogénea 7. (1− x)y′′+ xy′− y = 2(x−1)2e−x y1 = x, y2 = ex 8. y′′+ y′ x + ( 1− 1 4x2 ) y = 1√ x y1 = sinx√ x , y2 = cosx√ x 40 Equações lineares não homogéneas 6.4 Equações de diferenças lineares com coeficientes constantes 43 6.3.1 Independência linear entre sucessões Diz-se que duas sucessões {xn} e {zn} são linearmente independentes se a condição Axn +Bzn = 0 para qualquer n (6.15) implica que as constantes A e B sejam ambas nulas. O determinante (Casoratiano) Cn = ∣∣∣∣ xn znxn+1 zn+1 ∣∣∣∣ (6.16) será nulo para qualquer n se as duas sucessões forem linearmente dependentes. Pode-se mostrar também (não o vamos fazer cá) que o Casoratiano de duas soluções de uma equação de diferenças linear homogénea não é nulo para nenhum valor de n, se as soluções são linearmente independentes. Assim, basta mostrar que o Casoratiano não é nulo para algum valor de n, para mostrar que duas soluções são linearmente independentes. Com n soluções particulares linearmente independentes, pode-se obter a solução única de uma equação de ordem n com quaisquer condições iniciais. A solução geral é uma combinação linear das n soluções particulares. 6.4 Equações de diferenças lineares com coeficientes constantes As equações de diferenças lineares, homogéneas e com coeficientes constantes, resolvem-se em forma análoga às equações diferenciais da mesma denominação. Consideremos o caso de segunda ordem ayn+2 +byn+1 + cyn = 0 (6.17) onde a, b e c são constantes. Existem soluções particulares da forma yn = rn (6.18) como podemos conferir por substituição na equação de diferenças arn+2 +brn+1 + crn = 0 (6.19) no caso r = 0 obviamente temos a solução trivial {0,0,0, . . .}. Se r não for nula, dividimos a equação anterior por rn e obtemos o polinómio caracterı́stico: ar2 +br + c = 0 (6.20) cada raiz desse polinómio conduz a uma solução particular. As duas raı́zes da equação quadrática são p = −b+ √ b2−4ac 2a q = −b− √ b2−4ac 2a (6.21) Existem três casos conforme a natureza das raı́zes: 6.4.1 Raı́zes reais diferentes . A solução geral é a combinação linear das duas soluções obtidas a partir das duas raı́zes yn = Apn +Bqn (6.22) 44 Equações de diferenças lineares homogéneas 6.4.2 Raı́zes reais repetidas p = q =− b 2a (6.23) a única solução obtida a partir do polinómio caracterı́stico é yn = pn (6.24) Para construir a solução geral precisamos de uma segunda solução linearmente independente da primeira, obtida a partir do seguinte teorema. Teorema 4 Se o polinómio caracterı́stico da equação de diferenças ayn+2 +byn+1 + cyn = 0 (6.25) tem uma única raiz real p, a sucessão yn = npn (6.26) é solução da equação. Demonstração: Substituindo a sucessão 6.26 no lado esquerdo da equação de diferenças e reagrupando termos, obtemos a(n+2)pn+2 +b(n+1)pn+1 + cnpn = (ap2 +bp+ c)npn +(2ap+b)pn+1 (6.27) o termo dentro dos primeiros parêntesis é zero, já que p é raiz do polinómio caracterı́stico; o termo nos segundos parêntesis é também zero já que, a raiz p é igual a−b/(2a). O resultado é zero, como pretendı́amos demonstrar.  A solução geral é uma combinação linear das duas soluções particulares yn = (A+Bn)pn (6.28) 6.4.3 Raı́zes complexas p = a+ ib q = a− ib (6.29) onde a e b são números reais. A sucessão yn = (a+ ib)n (6.30) é uma solução complexa da equação de diferenças. As partes real e imaginária de qualquer solução são também soluções da equação. Teremos então que calcular a parte real e imaginária da sucessão anterior; para isso escrevemos o número complexo p na forma polar p = r eiθ r = √ a2 +b2 tgθ = b a (6.31) o termo geral da sucessão complexa pode agora ser calculado facilmente e a formula de Euler é usada para separar a parte real da imaginária yn = (a+ ib)n = rn e inθ = rn [ cos(nθ)+ i sin(nθ) ] (6.32) A parte real e imaginária são duas soluções linearmente independentes da equação de diferenças e a solução geral será yn = rn [ Acos(nθ)+Bsin(nθ) ] (6.33) 6.5 Equações de diferenças incompletas 45 6.5 Equações de diferenças incompletas Uma equação da forma ayn+2 +byn = 0 (6.34) é designada incompleta já que não aparece o termo de ordem n+1. Com n igual a zero pode-se obter y2 em função de y0; com n = 2 calcula-se y4 a partir de y2 e assim sucessivamente para qualquer ordem par. Os termos de ordem ı́mpar podem ser obtidos a partir de y1. A solução da equação são assim duas sucessões independentes com termos de ordem par e ı́mpar. Isto sugere que em vez de procurarmos soluções da forma yn = rn (6.35) procuremos soluções yn = rm (6.36) em que m é a parte inteira de n/2. Substituindo na equação de diferenças, e para r diferente de zero, obtemos arm+1 +brm = 0 =⇒ r =−b a (6.37) A solução serão as duas sequências y2m = y0rm y2m+1 = y1rm (6.38) onde m = 0,1,2, . . . Consideremos uma equação incompleta de terceira ordem ayn+3 +byn = 0 (6.39) onde não aparecem os termos de ordem (n+1) e (n+2)- Começando com y0 calculam-se todos os termos de ordem múltiplo de 3; a partir de y1 calculam-se os termos de ordem (1 módulo 3) e os termos de ordem (2 módulo 3) dependem de y2. A forma geral de cada uma dessas 3 sequências é yn = rm (6.40) onde m é a parte inteira de n/3. A raiz r calcula-se igual que no caso da equação incompleta de segunda ordem: r =−b a (6.41) A solução geral é constituı́da pelas três sucessões y3m = y0rm y3m+1 = y1rm y3m+2 = y2rm (6.42) 6.6 Equações redutı́veis a equações de coeficientes constantes Alguns tipos de equações de diferenças, lineares, de coeficientes variáveis podem ser reduzidas a equações com coeficientes constantes. Consideremos um exemplo: a fn+1yn+1 +b fnyn = 0 (6.43) 48 Equações de diferenças lineares homogéneas Os dois factores lineares que aparecem na equação, podem ser escritos na forma fn+1/ fn usando factoriais n+1 = (n+1)! n! n+4 = (n+4)! (n+3)! (6.62) Substituindo na equação de diferenças e re-agrupando termos obtemos (n+1)! (n+4)! yn+1 +2 n! (n+3)! yn = 0 (6.63) usando a substituição an = n! (n+3)! yn (6.64) obtemos uma equação de coeficientes constantes para a sucessão an: an+1 +2an = 0 (6.65) A equação caracterı́stica tem uma única raiz λ =−2 e, assim, a solução geral é an = a0(−2)n =⇒ yn = a0 (n+3)!(−2)n n! (6.66) Para n = 0 obtém-se (y0 = 6a0 = 2) e, portanto, a0 = 1/3 yn = (n+3)!(−2)n 3n! (6.67) 6.8 Problemas Resolva as seguintes equações de diferenças 1. yn+2 +3yn+1 +2yn = 0 y0 = 1, y1 = 0 2. yn+2 +6yn+1 +9yn = 0 y0 = 1, y1 = 1 3. yn+2−4yn+1 +13yn = 0 y0 = 0, y1 = 1 4. yn+2−2yn+1 +4yn = 0 y0 = 0, y1 = 1 5. en+2yn+2−5en+1yn+1 +6enyn = 0 6. (n+1)yn+1− (n−3)yn = 0 y0 = 1 7. (n+1)(n+2)yn+2− (n+3)yn = 0 y0 = 2, y1 = 1 8. yn+3 +8yn = 0 y0 = 1, y1 = 1, y2 = 0 9. yn+3− (n+1)yn = 0 10. A sucessão {Fn}= {1,1,2,3,5,8, . . .}, em que cada termo é igual à soma dos dois anteriores, é chamada sucessão de Fibonacci. (a) Escreva a equação de diferenças e os valores iniciais que definem a sucessão de Fibo- nacci. 6.8 Problemas 49 (b) Demonstre que φ≡ (1+ √ 5)/2≈ 1,618 e −1/φ são raı́zes do polinómio caracterı́stico da equação encontrada na alı́nea anterior. (c) Calcule o termo geral Fn da sucessão de Fibonacci e demonstre que Fn+1/Fn é igual a φ no limite n −→ ∞. O número φ representava na tradição grega a relação perfeita que deveria existir entre os lados de um rectângulo para se obter o melhor efeito estético (relação áurea). 50 Equações de diferenças lineares homogéneas 7.2 Método das séries 53 7.2.1 Equação de Airy Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos dos capı́tulos anteriores e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy: y′′ = xy (7.16) O polinómio P é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analı́tica em x = 0 e poderá ser escrita como uma série de McClaurin: y(x) = ∞ ∑ n=0 anxn (7.17) A segunda derivada é: y′′(x) = ∞ ∑ n=0 n(n−1)anxn−2 (7.18) e substituindo na equação diferencial ∞ ∑ n=0 n(n−1)anxn−2− ∞ ∑ n=0 anxn+1 = 0 (7.19) para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o ı́ndice n, dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial ∞ ∑ n=−3 (n+3)(n+2)an+3xn+1− ∞ ∑ n=0 anxn+1 = 0 (7.20) Na primeira série os dois primeiros termos (n =−3 e n =−2) são nulos e o terceiro termo (n =−1) pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde n = 0, podendo ser agrupada à segunda série: 2a2 + ∞ ∑ n=−3 [(n+3)(n+2)an+3−an]xn+1 = 0 (7.21) no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é 2a2 e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com n = 0,1,2, . . . Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto x, é necessário que todos os coeficientes sejam nulos: 2a2 = 0 (7.22) (n+3)(n+2)an+3−an = 0 (n = 0,1,2, . . .) (7.23) Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças. A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2. Como a2 = 0, os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capı́tulo anterior: para n = 3m, definindo um = a3m obtemos: 9(m+1)(m+2/3)um+1−um = 0 (7.24) 54 Método das séries em termos de factoriais e funções gama temos: (m+1)(m+2/3) = (m+1)!Γ(m+5/3) m!Γ(m+2/3) (7.25) Usando a substituição: xm = m!Γ(m+2/3)um (7.26) a Equação 7.24 transforma-se numa equação de coeficientes constantes: 9xm+1− xm = 0 (7.27) A solução pode agora ser obtida facilmente: xm = x0 (−9)m (7.28) a3m = um = (−1)m Γ(2/3) m!Γ(m+2/3)9m a0 (7.29) Para calcular a sequência correspondente a n = 3m + 1, procedemos em forma semelhante. Em função de vm = a3m+1, a fórmula de recorrência (Equação 7.23) é uma equação de primeira ordem: 9(m+1)(m+4/3)vm+1− vm = 0 (7.30) e com a substituição zm = m!Γ(m+4/3)vm (7.31) a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes: 9zm+1− zm = 0 (7.32) com solução: zm = z0 (−9)m (7.33) a3m+1 = vm = (−1)m Γ(4/3)a1 m!Γ(m+4/3)9m (7.34) Finalmente, substituiamos an na série de McClaurin para obter a solução da equação diferencial: y(x) = a0 ∞ ∑ m=0 (−1)m Γ(2/3) m!Γ(m+2/3)9m x3m +a1x ∞ ∑ m=0 (−1)m Γ(4/3) m!Γ(m+4/3)9m x3m (7.35) onde a0 e a1 são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para y e y′ em x = 0). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de McClaurin de alguma função conhecida. Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy. 7.3 Método de Frobenius 55 7.3 Método de Frobenius Quando o ponto x = 0 é um ponto singular da equação diferencial, a solução y não é analı́tica em x = 0 e não pode ser escrita na forma de uma série de McClaurin. No entanto, em alguns casos existe uma constante r tal que y/xr é uma função analı́tica: y(x) = xr f (x) ( f analı́tica em x = 0) (7.36) e a série de McClaurin de f sim existe. Para saber em que casos isso acontece é preciso identificar a que tipo de singularidade corresponde x = 0. 7.3.1 Pontos singulares regulares Os pontos singulares da equação diferencial P(x)y′′+Q(x)y′+R(x)y = 0 (7.37) são os pontos x0 onde P(x0) = 0 (7.38) Se os seguintes limites existem: A = lim x→x0 xQ(x) P(x) B = lim x→x0 x2R(x) P(x) (7.39) diz-se que o ponto x0 é um ponto singular regular. Se x = 0 for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma solução da forma y(x) = xr f (x) = ∞ ∑ n=0 anxn+r (7.40) A função f (x) é analı́tica em x = 0 e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que f (0) é diferente de zero (se f (0) for nula, factoriza-se x, e redefinem-se r e f ficando f (0) diferente de zero). Isso implica que a constante a0 seja também diferente zero: a0 = lim x→0 y xr = f (0) 6= 0 (7.41) As derivadas y′ e y′′ são y′ = ∞ ∑ n=0 (n+ r)anxn+r−1 (7.42) y′′ = ∞ ∑ n=0 (n+ r−1)anxn+r−2 (7.43) Para calcular o valor do ı́ndice r primeiro observamos que lim x→0 x1−ry′ = ra0 (7.44) lim x→0 x2−ry′′ = r(r−1)a0 (7.45) 58 Método das séries un = (−1)nu0 ⇒ an = (−1)n (2n+1)! a0 (7.71) a série de potências correspondente é (com a0 = 1) y2 = ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n+1)! xn+1/2 = sin(x1/2) (7.72) A solução geral é uma combinação linear das duas soluções particulares y1 e y2.  7.4 Solução em séries em pontos singulares Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries de potências. No entanto, em alguns casos é possı́vel encontrar apenas uma solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por meio de séries de potências. Teorema 5 (Frobenius) Se r1 e r2 são duas raı́zes da equação indicial (em x = 0) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em x = 0, existem três casos, a depender dos valores de r1 e r2: 1. Se r1− r2 for diferente de zero e diferente de um número inteiro, cada raiz conduz a uma solução diferente. 2. Se r1 = r2, é possı́vel obter uma única solução y1 a partir do método de Frobenius. A segunda solução terá a forma: y2(x) = ∞ ∑ n=0 bnxn+r1 + y1 ln x (7.73) onde a sucessão bn deverá ser obtida por substituição de y2 na equação diferencial. 3. Se r1− r2 for um número inteiro, existirá uma solução y1 com a forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será: y2(x) = ∞ ∑ n=0 bnxn+r1 + cy1 ln x (7.74) onde c é uma constante. Nos casos em que c = 0, a segunda solução tem também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o método de Frobenius é possı́vel encontrar as duas soluções y1 e y2 linearmente independentes. Quando c não é nula, o método de Frobenius permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser encontrada por substituição da forma geral de y2 na equação diferencial. Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de Frobenius, a solução geral será: y(x) = C1y1(x)+C2y2(x) (7.75) Em alguns casos as condições fronteira exigem que y seja finita na origem o qual implica C2 = 0, se r2 < 0 ou r2 = r1, já que nos dois casos a segunda solução é divergente na origem. Se r1− r2 é um inteiro e o método de Frobenius conduz a uma única solução y1, C2 será também nula e não será preciso calcular y2. 7.4 Solução em séries em pontos singulares 59 Exemplo 7.2 Encontre a solução geral da equação: xy′′+3y′− x2y = 0 (7.76) O ponto x = 0 é ponto singular. Os dois limites: A = lim x→0 3x x = 3 B = lim x→0 −x4 x = 0 (7.77) existem e, portanto, x = 0 é ponto singular regular. A equação indicial é: r(r−1)+3r = r(r +2) = 0 (7.78) com raı́zes r1 = 0 e r2 = −2. Como a diferença entre as raı́zes é um número inteiro, provavel- mente o método de Frobenius dará apenas uma das duas soluções linearmente independentes. Se existirem duas soluções com a forma usada no método de Frobenius, estas aparecerão na solução correspondente à raiz menor r =−2. Assim, começamos por considerar o caso r =−2: y = ∞ ∑ n=0 anxn−2 (7.79) y′ = ∞ ∑ n=0 (n−2)anxn−3 (7.80) y′′ = ∞ ∑ n=0 (n−2)(n−3)anxn−4 (7.81) Substituindo na equação diferencial obtemos: ∞ ∑ n=0 [(n−2)(n−3)anxn−3 +3(n−2)anxn−3−anxn] = 0 (7.82) −a1x−2 + ∞ ∑ n=0 [(n+3)(n+1)an+3−an]xn = 0 (7.83) consequentemente, a1 = 0 e: (n+3)(n+1)an+3−an = 0 (n = 0,1,2, . . .) (7.84) A solução da fórmula de recorrência são três sucessões independentes. A sucessão correspon- dente a n = 3m+1 é nula, já que a1 = 0. Com n = 3m e um = a3m obtemos a equação: 9(m+1)(m+1/3)um+1−um = 0 (7.85) usando factoriais e funções gama temos: 9(m+1)!Γ(m+1+1/3)um+1−m!Γ(m+1/3)um = 0 (7.86) se definirmos: vm = m!Γ(m+1/3)um (7.87) 60 Método das séries obtemos: 9vm+1− vm = 0 ⇒ vm = v0 9m (7.88) a3m = um = Γ(1/3)a0 9mm!Γ(m+1/3) (7.89) Substituindo n = 3m+2 e a3m+2 = xm na Equação 7.84 obtemos: 9(m+1)(m+5/3)xm+1− xm = 0 (7.90) usando factoriais e funções gama temos: 9(m+1)!Γ(m+1+5/3)xm+1−m!Γ(m+5/3)xm = 0 (7.91) se definirmos: zm = m!Γ(m+5/3)xm (7.92) obtemos: 9zm+1− zm = 0 ⇒ zm = z0 9m (7.93) a3m+2 = xm = Γ(5/3)a2 9mm!Γ(m+5/3) (7.94) As duas sucessões encontradas correspondem às duas soluções linearmente independentes. Assim, o método de Frobenius conduz à solução geral: y = ∞ ∑ m=0 a3mx3m−2 + ∞ ∑ m=0 a3m+2x3m (7.95) = a0 ∞ ∑ m=0 Γ(1/3)x3m−2 9mm!Γ(m+1/3) +a2 ∞ ∑ m=0 Γ(5/3)x3m 9mm!Γ(m+5/3)  (7.96) 7.5 Problemas Resolva, usando o método das séries, as seguintes equações diferenciais. Compare os resultados com as respectivas soluções analı́ticas 1. (1− x2)y′−2xy = 0 2. y′− y = 1+ x2 3. y′′−3y′+2y = 0 4. y′′− y = x Determine a solução das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem 5. y′′− xy′+ y = 0 6. y′′+ xy = 0 7. x(1− x)y′′+ 1+ x 2 y′− 1 2 y = 0 Capı́tulo 8 Transformadas de Laplace 8.1 Definição da transformada de Laplace A transformada de Laplace de uma função f (t) é uma outra função F(s) num domı́nio de valores reais s, definida pelo integral: F(s) = ∞Z 0 f (t)e−st dt (8.1) Igual que no caso da derivação, uma forma rápida de calcular a transformada de uma função é por meio de algumas regras simples. A transformada inversa de uma função F(s) é a função f (t) cuja transformada de Laplace seja igual a F(s). 8.1.1 Condições de existência da transformada de Laplace Para que a transformada de Laplace de f (t) exista, é preciso que f (t) verifique as seguintes duas propriedades: 1. A função deverá ser parcelarmente contı́nua, isto é, f (t) poderá ter alguns pontos isolados onde é descontı́nua, mas será contı́nua em cada intervalo entre dois pontos de descontinui- dade. 2. A função f (t) deve ser uma função de ordem exponencial: existe um número real a tal que o limite lim t→∞ = | f (t)|e−at (8.2) existe. O domı́nio da transformada de Laplace de f (t) será s > a. Usaremos a seguinte notação para indicar a transformada de Laplace da função f (t) L{ f (t)} (8.3) e a função obtida depois de transformar, será representada pela mesma letra usada para a função, mas em maiúsculas L{g(t)}= G(s) (8.4) 64 Transformadas de Laplace 8.2 Propriedades da transformada de Laplace 8.2.1 Linearidade Para quaisquer duas funções f (t) e g(t), e duas constantes a e b, verifica-se L{a f (t)+bg(t)}= aL{ f (t)}+bL{g(t)}= aF(s)+bG(s) (8.5) consequentemente, a transformada inversa também é um operador linear: L−1{aF(s)+bG(s)}= a f (t)+bg(t) = aL−1{F(s)}+bL−1{G(s)} (8.6) 8.2.2 Derivada da Transformada dF ds = d ds ∞Z 0 f (t)e−st dt =− ∞Z 0 t f (t)e−st dt = L{t f (t)} (8.7) derivando n vezes obtemos L{tn f (t)}= (−1)n d nF dsn (8.8) 8.2.3 Transformada da Derivada Integrando por partes: L{ f ′}= ∞Z 0 f ′ e−st dt = f e−st ∣∣∣∣∣ ∞ 0 + s ∞Z 0 f e−st dt (8.9) o último integral é a transformada de f , definida em s > a. Para s > a o limite do primeiro termo, quando t for infinito, é zero já que f é de ordem exponencial a L{ f ′}= sL{ f}− f (0) (8.10) A transformada de derivadas de ordem superior calcula-se aplicando a mesma propriedade várias vezes, por exemplo, a transformada da segunda derivada é igual a: L{y′′}= sL{y′}− y′(0) = s[sL{y}− y(0)]− y′(0) = s2Y (s)− sy(0)− y′(0) (8.11) 8.2.4 Deslocamento em s L{eat f (t)}= ∞Z 0 f e(a−s)t dt = F(s−a) (8.12) 8.3 Transformadas de Funções Elementares 65 8.3 Transformadas de Funções Elementares A transformada de t p, onde p é qualquer número real, é: L{t p}= ∞Z 0 t p e−st dt (8.13) usando a mudança de variável u = st, o integral transforma-se numa função gama: L{t p}= ∞Z 0 (u/s)p e−u du s = s−(p+1) ∞Z 0 up e−u du = Γ (p+1) sp+1 (8.14) em particular, quando p for um número inteiro positivo n, L{tn}= n! sn+1 (8.15) e para n = 0 L{1}= 1 s (8.16) Aplicando a propriedade de deslocamento em s, podemos calcular a transformada da função exponencial L{eat}= L{1}(s−a) = 1 s−a (8.17) e usando a propriedade da derivada da transformada L{t eat}=− d ds ( 1 s−a ) = 1 (s−a)2 (8.18) O mesmo resultado podia ter sido obtido a partir da transformada de t, usando a propriedade de deslocamento em s. As transformadas do seno e do co-seno podem ser calculadas substituindo a = ib na Equação 8.17 e usando a fórmula de Euler L{e ibt}= L{cos(bt)+ i sin(bt)}= 1 s− ib = s+ ib s2 +b2 (8.19) comparando as partes reais e imaginárias, concluı́mos: L{cos(bt)}= s s2 +b2 (8.20) L{sin(bt)}= b s2 +b2 (8.21) 68 Transformadas de Laplace Para representar funções descontı́nuas é conveniente definir a função degrau unitário (também conhecida por função de Heaviside): u(t−a) = { 0 t < a 1 t ≥ a (8.40) Se a < b, a função: u(t−a)−u(t−b) (8.41) é igual a 1 no intervalo a < t < b e zero fora do intervalo. Assim, uma função definida em forma diferente em diferentes intervalos, por exemplo, f (t) = { f1(t) a≤ t < b f2(t) c≤ t < d (8.42) pode ser escrita na forma compacta: f (t) = [u(t−a)−u(t−b)] f1(t)+ [u(t− c)−u(t−d)] f2(t) (8.43) facilitando o cálculo da sua transformada de Laplace, por meio da propriedade que veremos na secção que se segue. 8.8 Deslocamento no domı́nio do tempo A função: u(t−a) f (t−a) (8.44) onde u(t−a) é a função degrau unitário, representa à função f (t) deslocada uma distância a no eixo do tempo t, sendo nula para t < a. A sua transformada de Laplace calcula-se facilmente, em função da transformada de f : L{u(t−a) f (t−a)} = ∞Z a f (t−a)e−st dt = ∞Z 0 f (r)e−s(r+a) dr = e−as ∞Z 0 f (r)e−sr dr E obtemos a propriedade de deslocamento em t: L{u(t−a) f (t−a)}= e−asF(s) (8.45) Esta propriedade é útil para calcular transformadas de funções com descontinuidades. Uma outra forma equivalente é a seguinte: L{u(t−a) f (t)}= e−as L{ f (t +a)} (8.46) 8.9 Impulso unitário 69 Exemplo 8.1 Resolva o problema de valores iniciais: y′′+3y′+2y = { t t < 1 −t 1≤ t (8.47) y(0) = y′(0) = 0 Começamos por escrever o lado direito da equação na forma compacta: y′′+3y′+2y = [1−u(t−1)]t− tu(t−1) = t−2tu(t−1) (8.48) A transformada de Laplace do lado esquerdo é: L{y′′+3y′+2y}= (s2 +3s+2)Y (s) (8.49) Usando a propriedade de deslocamento em t, a transformada do lado direito é: L{t−2tu(t−1)}= 1 s2 −2e−s L{t +1}= 1 s2 −2 e −s s −2 e −s s2 (8.50) Igualando as transformadas dos dois lados da equação diferencial, podemos obter facilmente Y : Y = 1−2e−s s2(s+1)(s+2) −2 e −s s(s+1)(s+2) (8.51) Usando decomposição em fracções parciais: 1 s(s+1)(s+2) = 1 2s − 1 s+1 + 1 2(s+2) (8.52) 1 s2(s+1)(s+2) = 1 2s2 − 3 4s + 1 s+1 − 1 4(s+2) (8.53) obtemos: Y = 1 2s2 − 3 4s + 1 s+1 − 1 4(s+2) + e−s ( 1 2s − 1 s2 − 1 2(s+2) ) (8.54) e a transformada inversa é: y(t) = t 2 − 3 4 + e−t − 1 4 e−2t +u(t−1) ( 1 2 − (t−1)− 1 2 e−2(t−1) ) (8.55) 8.9 Impulso unitário Em fı́sica uma força impulsiva é uma força f (t) que actua durante um pequeno intervalo de tempo ∆t. O aumento total da quantidade de movimento, devido à força f (t), é igual ao impulso: I = t0+∆tZ t0 f (t)dt (8.56) 70 Transformadas de Laplace Uma função de impulso unitário é uma função f (t) que produz um impulso igual a 1: t0+∆tZ t0 f (t)dt = 1 (8.57) Um exemplo é a função: u(t− t0)−u(t− t0−∆t) ∆t (8.58) constante no intervalo t0 ≤ x < t0 +∆t. Consideremos uma sucessão de impulsos unitários fn com intervalos ∆tn decrescentes. Por exemplo, as funções fn = n[u(t− t0)−u(t− t0−1/n)] (8.59) onde u é a função degrau unitário. Neste exemplo cada função fn é igual a n no intervalo de t entre a e a+1/n, e zero fora dele. O intervalo de duração do impulso é ∆tn = 1/n e a função fn é um impulso unitário. A medida que n aumenta, o gráfico da função fn é cada vez mais alto, e dentro de um intervalo mais pequeno. O limite de uma sucessão de impulsos unitários com intervalos decrescentes, aproximando-se para zero, é designado função delta de Dirac δ(t− t0) = lim n→∞ fn(t) (8.60) a função δ é nula em qualquer ponto diferente de t0, infinita em t0 mas o seu impulso é igual a 1. A função delta de Dirac não é realmente uma função mas sim um funcional (limite de funções), e daı́ que o seu integral possa ser diferente de zero enquanto que a função é nula em qualquer ponto diferente de t0. Uma propriedade importante da função delta de Dirac é o teorema que se segue. Teorema 6 Se f (t) é uma função contı́nua em t0, ∞Z −∞ f (t)δ(t− t0)dt = f (t0) (8.61) Para resolver equações diferenciais onde apareçam termos impulsivos, será útil conhecer a transformada de Laplace; para a calcular substituiremos a função delta pelo limite da sucessão de impulsos unitários (8.59) L{δ(t− t0)}= lim n→∞ L {n[u(t− t0)−u(t− t0−1/n)]}= lim n→∞ n s [ e−t0s− e−(t0+1/n)s ] (8.62) e, portanto, L{δ(t− t0)}= e−t0s (8.63) As propriedades da transformada de Laplace e as transformadas das funções que temos calculado neste capı́tulo encontram-se resumidas na tabela 8.1. 8.10 Convolução 73 Esta é uma equação diferencial linear, de coeficientes constantes, não homogénea. Calculando a transformada de Laplace nos dois lados da equação, obtemos: (s+a)Y = y0 + y1 e−t1s + y2 e−t2s (8.69) onde Y é a transformada de y. Y = y0 + y1 e−t1s + y2 e−t2s s+a (8.70) e calculando a transformada inversa encontramos a solução do problema y(t) = y0 e−at + y1 u(t− t1)e−a(t−t1) + y2 u(t− t2)e−a(t−t2) (8.71) A figura 8.2 mostra o gráfico da função y(t).  t y y1 t1 t2 y2 Figura 8.2: Decaimento do medicamento no sangue do paciente. 8.10 Convolução A transformada de Laplace de um produto de duas funções não é igual ao produto das transfor- madas de Laplace das duas funções. No entanto, existe uma operação entre funções que, quando transformada, dá o produto das transformadas das duas funções. Essa operação entre funções é designada convolução, e joga um papel importante no cálculo de transformadas inversas, como veremos. O produto de convolução entre duas funções f (t) e g(t) define-se da seguinte forma f ∗g = tZ 0 f (r)g(t− r)dr (8.72) Teorema 7 A transformada de Laplace do produto de convolução entre duas funções f e g, é igual ao produto das transformadas de Laplace das duas funções. 74 Transformadas de Laplace Demonstração: A partir das definições da transformada de Laplace e do produto de convolução, obtemos L{ f ∗g}= ∞Z 0 tZ 0 f (r)g(t− r)e−st dr dt (8.73) o integral em r pode ser estendido até infinito, se multiplicarmos por uma função degrau unitário que anule a parte desde t até infinito L{ f ∗g}= ∞Z 0 ∞Z 0 f (r)g(t− r)u(t− r)e−st dr dt (8.74) trocando a ordem dos dois integrais, obtemos L{ f ∗g}= ∞Z 0 f (r)  ∞Z 0 g(t− r)u(t− r)e−st dt  dr (8.75) O termo entre parêntesis quadrados é a transformada de Laplace da função g, deslocada em t: g(t− r)u(t− r) (8.76) que é igual à transformada de Laplace de g, multiplicada pela exponencial de −sr. Assim, obtemos o resultado L{ f ∗g}= G(s) ∞Z 0 f (r)e−sr dr (8.77) que é igual ao produto das transformadas de Laplace das duas funções, como pretendı́amos demonstrar: L{ f ∗g}= F(s)G(s)  (8.78) O teorema anterior também implica, em forma inversa, que a transformada inversa de Laplace de um produto de funções é igual ao produto de convolução entre as transformadas inversas das duas funções. O teorema de convolução é útil no cálculo de transformadas inversas de funções complicadas que possam ser escritas como o produto entre funções simples. O produto de convolução entre funções verifica as propriedades comutativa, associativa e distributiva em relação à soma de funções. Exemplo 8.3 Calcule a transformada inversa da função F(s) = a s(s2 +a2) Podemos escrever a função F como o produto entre duas funções G(s) = 1 s H(s) = a s2 +a2 (8.79) as transformadas inversas de G e H obtêm-se a partir da tabela 8.1 g(t) = 1 h(t) = sin(at) (8.80) 8.11 Resolução de equações integro-diferenciais 75 e a transformada inversa de F é igual ao produto de convolução de g e h f (t) = 1∗ sin(at) = tZ 0 sin(ar)dr = 1− cos(at) a  (8.81) No cálculo do produto de convolução entre g e h, o termo dentro do integral pode ser escrito como g(r)h(t− r) ou g(t− r)h(r), usando a propriedade comutativa; convém sempre examinar as duas possibilidades para seleccionar a que seja mais fácil de primitivar. 8.11 Resolução de equações integro-diferenciais Algumas equações que combinem derivadas com integrais podem ser resolvidas por meio da transformada de Laplace, quando o integral possa ser escrito como um integral de convolução entre funções. Exemplo 8.4 Encontre a solução da equação integro-diferencial dy dt = 1− tZ 0 y(t− v)e−2v dv (8.82) com condição inicial y(0) = 1. O integral no lado direito da equação é um produto de convolução: dy dt = 1− y∗ e−2t (8.83) Transformando os dois lados da equação obtemos sY −1 = 1 s − Y s+2 (8.84) donde se obtem a função Y : Y = s+2 s(s+1) = 2 s − 1 s+1 (8.85) e a solução da equação é a transformada inversa y(t) = 2− e−t  (8.86) 8.12 Problemas Aplicando transformadas de Laplace, resolva as seguintes equações 1. y′′+ y′−2y = 3 y(0) = 0,y′(0) = 1 2. y′′+4y′+4y = e−2t y(0) = 0,y′(0) = 0 78 Transformadas de Laplace Capı́tulo 9 Equações de diferenças lineares não homogéneas No capı́tulo 6 estudamos métodos para a resolução de equações de diferenças lineares homogéneas, e vimos que existe uma grande semelhança entre a resolução de equações de diferenças lineares e a resolução de equações diferenciais lineares. Seguindo a analogia, veremos neste capı́tulo que no caso das equações de diferenças existe um método análogo ao método da transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais. 9.1 Transformada Z A transformada Z define como construir uma função a partir de uma sucessão. Assim, cada sucessão é transformada numa função; isso permitirá transformar equações de diferenças em equações algébricas que em alguns casos podem ser resolvidas facilmente, como veremos. A transformada Z de uma sucessão {y0,y1,y2, . . .} é uma função definida por meio da série: y0 + y1 z + y2 z2 + y3 z 3 + . . . (9.1) onde z é uma variável real1. O domı́nio da variável z onde a série é convergente dependerá da sucessão. Usando uma notação mais compacta, escrevemos a transformada da sucessão {yn} da seguinte forma Z{yn}= ∞ ∑ n=0 yn zn (9.2) e ainda usaremos uma outra notação: y, que representa a função obtida após transformar a sucessão {yn}. Consideremos um exemplo: a sucessão {1,1,1, . . .} com todos os termos iguais a 1, isto é, yn = 1. Usando a definição da transformada Z obtemos y(z) = 1+ 1 z + 1 z2 + . . . = ∞ ∑ n=0 ( 1 z )n (9.3) 1O domı́nio da variável z pode ser estendido aos números complexos, mas para os objectivos deste capı́tulo não será preciso. 80 Equações de diferenças lineares não homogéneas que é uma série geométrica; se |1/z|< 1, a série converge para y(z) = 1 1− 1z = z z−1 (9.4) Outra transformada Z que pode ser calculada usando a série geométrica é a transformada da sucessão com termo geral yn = an, onde a é uma constante. Usando a definição da transformada obtemos uma série geométrica y(z) = 1+ a z + a2 z2 + . . . = ∞ ∑ n=0 ( a z )n (9.5) Assim, para |z|> |a| Z{an}= z z−a (9.6) 9.2 Propriedades da transformada Z Usando os dois exemplos da secção anterior e algumas propriedades da transformada Z, podemos calcular as transformadas de outras sucessões mais complicadas. 9.2.1 Linearidade da transformada Z A primeira propriedade da transformada Z que estudaremos é a sua linearidade, isto é, dadas duas sucessões quaisquer {xn} e {yn}, e duas constantes a e b, verifica-se que Z{axn +byn}= aZ{xn}+bZ{yn}= ax+by (9.7) Esta propriedade pode ser demonstrada facilmente a partir da definição da transformada Z, já que as séries convergentes também verificam a propriedade de linearidade. 9.2.2 Derivada da transformada Z No domı́nio onde a transformada Z está definida, a série que a representa (equação (9.2) converge uniformemente, e pode ser derivada termo por termo dy dz =− ∞ ∑ n=0 nyn zn+1 =−1 z ∞ ∑ n=0 nyn zn (9.8) esta última série é a transformada Z da sucessão nyn; assim, temos obtido o seguinte resultado Z{nyn}=−z dy dz (9.9) Se conhecermos a transformada de yn, poderemos calcular a transformada de nyn a partir da derivada da transformada conhecida. 9.3 Resolução de equações de diferenças lineares não homogéneas 83 9.3 Resolução de equações de diferenças lineares não homogéneas A transformada Z é útil para resolver equações de diferenças lineares, de coeficientes constantes, não homogéneas. Consideremos um exemplo com valores iniciais: yn+2 +3yn+1 +2yn = 3n y0 = 1 y1 = 0 (9.20) Usando a expressão que obtivemos para a transformada de {yn+1}, podemos escrever Z{yn+1} = zy− z (9.21) Z{yn+2} = zZ{yn+1}− zy1 = z2y− z2 (9.22) e consultando a tabela 9.1 vemos que Z{3n}= z z−3 (9.23) Assim, a transformada da equação de diferenças será (z2 +3z+2)y− z2−3z = z z−3 (9.24) e daı́ obtemos y = z2 +3z (z+1)(z+2) + z (z+1)(z+2)(z−3) (9.25) O cálculo da transformada inversa é feito em forma análoga as transformadas inversas de Laplace, usando expansão em fracções parciais, mas deixando de fora um factor z no numerador, que será necessário manter em todas as fracções parciais para poder usar a tabela 9.1. Consequentemente, as fracções que deverão ser expandidas são: z+3 (z+1)(z+2) = 2 z+1 − 1 z+2 (9.26) 1 (z+1)(z+2) = 1 5(z+2) − 1 4(z+1) + 1 20(z−3) (9.27) multiplicando cada fracção parcial pelo factor z que deixamos de fora, obtemos o lado direito da equação (9.25) y = 7z 4(z+1) − 4z 5(z+2) + z 20(z−3) (9.28) e usando a tabela 9.1, encontramos a solução do problema de valores iniciais yn = 7 4 (−1)n− 4 5 (−2)n + 3 n 20  (9.29) Exemplo 9.1 (População mundial de baleias) Admita que a população actual de baleias no mundo é 1000 e que cada ano o aumento natural (nascimentos e mortes naturais) da população é de 25%. Admita também que o número de baleias abatidas pelos pescadores cada ano é de 300 e que está tendência vai se manter nos próximos anos. Calcule a população, Pn (onde n é o número de anos a partir do ano actual) durante os próximos anos. 84 Equações de diferenças lineares não homogéneas Se no ano n a população de baleias fosse Pn, o aumento da população durante esse ano, devido a nascimentos e mortes naturais, seria 0,25Pn. O aumento (ou diminuição) da população durante esse ano seria 0,25Pn−300 (9.30) mas por outro lado o aumento da população durante o perı́odo n também deverá ser igual a Pn+1−Pn (9.31) combinando estas duas expressões obtemos uma equação de diferenças Pn+1−Pn = 0,25Pn−300 (9.32) se n = 0 representa o ano actual, a condição inicial necessária para resolver a equação de diferenças é P0 = 1000 (9.33) Para resolver a equação podemos usar a transformada Z zp−1000z− p = 0,25 p− 300z z−1 (9.34) onde p(z) é a transformada da sucessão Pn. A equação anterior é uma equação algébrica que se resolve facilmente para p p = 1000z z−1,25 − 300z (z−1)(z−1,25) = 1000z z−1,25 −1200z(z−1)− (z−1,25) (z−1)(z−1,25) = − 200z z−1,25 + 1200 z−1 a transformada inversa é Pn = 1200−200 ( 5 4 )n (9.35) obviamente a população não pode ser negativa e portanto a expressão anterior só poderá ser válida para alguns valores de n tais que 1200−200 ( 5 4 )n ≥ 0 (9.36)( 5 4 )n ≤ 6 (9.37) n ln 5 4 ≤ ln 6 =⇒ n≤ 8,03 (9.38) logo a solução do problema é Pn = { 1200−200(1,25)n 0≤ n≤ 8 0 n > 8  (9.39) 9.4 Problemas 85 9.4 Problemas Resolva as seguintes equações de diferenças 1. yn+2−3yn+1 +2yn = 1 2. yn+2 + yn+1−2yn = 3 y0 = 0,y1 = 1 3. yn+2 +4yn+1 +4yn = (−2)n y0 = 0,y1 = 0 4. yn+1−2yn = exp(−bn) 5. yn+2−2yn+1 +4yn = 2n y0 = 0,y1 = 0 6. yn+2 +4yn = 1 3n y0 = 1,y1 = 0 7. yn+2− yn = n Encontre as transformadas Z das seguintes sucessões 8. {1,0,0, . . .} yn = δn,0 9. {0,0,1,1, . . .} yn = 1−δn,0−δn,1 10. yn = nsin(ωn) 11. Os números {Tn}= {1,3,6,10,15, . . .} são chamados números triangulares, pois podem ser obtidos geométricamente contando o número de pontos nos triângulos da sequência na figura seguinte T1 = 1 T2 = 3 T3 = 6 T4 = 10 1. Determine o problema de valor inicial que define os números triangulares. 2. Encontre a forma geral Tn de qualquer número triangular. Nos problemas 12 e 13 encontre uma equação de diferenças para as seguintes somas Sn (compare Sn+1 com Sn). Resolva a equação de diferenças usando a condição inicial S1 para obter uma fórmula geral para Sn 12. Sn = 1+23 +33 + · · ·+n3 13. Sn = 2+4+6+ · · ·+2n