Lista1-2011 - MAT2455, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Baixe Lista1-2011 - MAT2455 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! MAT2455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exerćıcios - 1o. semestre de 2011 1. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) ∫∫ R(2y 2 − 3xy3)dxdy, onde R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3}. Resp. (a) −5858 . (b) ∫∫ R x sin y dxdy, onde R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ π 6 }. Resp. (b) 15 4 (2− √ 3). (c) ∫∫ R 1 x+y dxdy, onde R = [1, 2]× [0, 1]. Resp. (c) ln 27 16 . 2. Determine o volume do sólido limitado pela superf́ıcie z = x √ x2 + y e os planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0. Resp. 415(2 √ 2− 1). 3. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9− y2 e pelo plano x = 2. Resp. 36. 4. Calcule as integrais iteradas∫ 1 0 ∫ 1 0 x− y (x+ y)3 dydx e ∫ 1 0 ∫ 1 0 x− y (x+ y)3 dxdy. Resp.− 12 e 1 2 . As respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique. 5. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) ∫∫ D xy dxdy, onde D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ √ x}. Resp. (a) 112 . (b) ∫∫ D(x 2 − 2xy) dxdy, onde D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, √ x ≤ y ≤ 2− x}. Resp. (b) −1942 . (c) ∫∫ D e x/y dxdy, onde D = {(x, y) : 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}. Resp. (c) 12e 4 − 2e. (d) ∫∫ D x cos y dxdy, onde D é a região limitada por y = 0, y = x 2, x = 1. Resp. (d) (1− cos 1)/2. (e) ∫∫ D 4y 3 dxdy, onde D é a região limitada por y = x− 6 e y2 = x. Resp. (e) 5003 . (f) ∫∫ D xy dxdy, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro (0, 0) e raio 1. Resp. (f) 18 . (g) ∫∫ D(x 2tgx+ y3 + 4) dxdy, onde D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 2}. Resp. (g) 8π. 6. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos: (a) S é limitado superiormente pelo parabolóide z = x2 + y2 e sua projeção no plano xy é a região limitada por y = x2 e x = y2. Resp. (a) 635 . (b) S é limitado superiormente por z = xy e sua projeção no plano xy é o triângulo de vértices (1, 1), (4, 1) e (1, 2). Resp. (b) 318 . (c) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ 2y = 2. Resp. (c) 16(11 √ 5− 27) + 92 arcsen( 2 3). (d) S é limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y + z = 1. Resp. (d) 16 . (e) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = z, x = 0 e z = 0. Resp. (e) 13 . (f) S é limitado pelos cilindros x2 + y2 = a2 e y2 + z2 = a2, onde a > 0. Resp. (f) 163 a 3. 1 7. Escreva as duas integrais iteradas correspondentes à integral dupla ∫∫ D f(x, y) dx dy, onde D é a região do plano limitada pelas curvas y = −x2 + x+ 2 e x− 2y + 1 = 0. 8. Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração: (a) ∫ 1 0 ∫ 3 3y e x2 dxdy (b) ∫ 3 0 ∫ 9 y2 y cos(x 2) dxdy (c) ∫ 1 0 ∫ π/2 arcsin y cosx √ 1 + cos2 x dxdy. Resp. (a) (e9 − 1)/6, (b) 14 sin 81, (c) (2 √ 2− 1)/3. 9. Calcule as integrais: (a) ∫∫ R x dxdy, onde R é o disco de centro na origem e raio 5. (b) ∫∫ R xy dxdy, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x 2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 25. (c) ∫∫ R 1√ x2+y2 dxdy, onde R é a região interior à cardioide r = 1 + sin θ e exterior à circunferência r = 1. (d) ∫∫ D(x 2 + y2) dxdy, onde D é a região limitada pelas espirais r = θ e r = 2θ, com 0 ≤ θ ≤ 2π. (e) ∫∫ D(e −x2−y2) dxdy, onde D é a região limitada pelo semićırculo x = √ 4− y2 e o eixo y. Resp. (a) zero, (b) 6098 , (c) 2, (d) 24π 5 (e) π2 (1− e −4). 10. Determine o volume da região interior à esfera x2 + y2 + z2 = 4a2 e exterior ao cilindro x2 + y2 = 2ax, com a > 0. Resp. 16a 3 3 ( 4 3 + π) 11. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade δ, nos seguintes casos: (a) D = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} e δ(x, y) = x2. (b) D é o triângulo de vértices (0, 0), (2, 1), (0, 3) e δ(x, y) = x+ y. (c) D é a região do primeiro quadrante limitada pela parábola y = x2 e a reta y = 1 e δ(x, y) = xy. (d) D é a região limitada pela parabola y2 = x e a reta y = x− 2 e δ(x, y) = 3. (e) D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ sinx, 0 ≤ x ≤ π} e δ(x, y) = y. Resp. (a) 23 , (0, 1 2), (b) 6, ( 3 4 , 3 2), (c) 1 6 , ( 4 7 , 3 4), (d) 27 2 , ( 8 5 , 1 2) (e) π 4 , ( π 2 , 16 9π ). 12. Determine os momentos de inércia Ix, Iy e I0 das lâminas descritas nos itens (c) e (d) do exerćıcio anterior. Resp. (c) 110 , 1 16 , 13 80 , (d) 189 20 , 1269 28 , 1917 35 . 13. (a) Calcule a massa de D = {(x, y) : (x − 2y + 3)2 + (3x + 4y − 1)2 ≤ 100}, com função densidade δ(x, y) = x− 2y + 18. Resp. 150π. (b) Calcule o centro da massa de D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ r2}, com função densidade δ(x, y) = (x− r)2 + y2. Resp. (− r3 , 0). (c) Calcule o momento de inércia I0 com relação a origem de D = {(x, y) : x2 + y2 ≥ 1, x 2 a2 + y 2 b2 ≤ 1}, onde a > 1, b > 1 e função densidade δ(x, y) = 1. Resp. ab(a2 + b2)π4 − π 2 . 14. Calcule ∫∫ D √ (x− 1)2 + y2 dxdy sendo D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0}. Resp. 169 . 2