Baixe aulas Est Probab e outras Notas de aula em PDF para Administração Empresarial, somente na Docsity! Estatística - aulasEstProbab.doc 05/08/05 Noções sobre Probabilidade Introdução Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e também como calcular medidas que descrevem características específicas destes dados. Mas além de apresentar dados e realizar determinados cálculos em cima desses dados, também é interessante poder fazer algum tipo de inferência. Imagine que um pesquisador anotou a idade e a pressão arterial de seus pacientes. Com esses dados, ele pode montar tabelas e gráficos, realizar as medidas desejadas como médias e desvios padrões, além de traçar a reta que dá a variação da pressão arterial em função da idade. Mas este pesquisador também gostaria de estender suas conclusões a outros pacientes, além daqueles que examinou. Então, este pesquisador gostaria de fazer inferência. Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem o conhecimento de probabilidade, embora, consciente ou inconscientemente, a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em situações de incerteza. A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento. Por exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cara ou coroa. A probabilidade nos indicará uma medida de quão provável é a ocorrência de determinado evento. São várias situações em que é desejável se ter uma medida (avaliação numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro: lançamento de um produto, evolução de uma doença, fazer uma previsão do número de internações em um período, chover amanhã à tarde etc. Experiência aleatória Considere uma experiência onde os resultados sejam imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, em cada repetição dessa experiência é impossível prever, com absoluta certeza, qual o resultado que será obtido; além disso, a ocorrência de um deles exclui a ocorrência dos demais. Como exemplo, imagine o lançamento de um dado. Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Você não pode prever qual o valor que sairá na próxima E Nemer 1 / 15 Estatística - aulasEstProbab.doc 05/08/05 jogada do dado. Outro ponto importante é que a ocorrência de um valor exclui a ocorrência dos demais pois é impossível você tirar dois valores em uma única jogada do dado. Chama-se a uma experiência desse tipo de experiência aleatória, e seus resultados, que são mutuamente exclusivos, são chamados eventos simples. Espaço Amostral O conjunto de todos os eventos simples (resultados mutuamente exclusivos) de uma experiência aleatória é chamado de espaço amostral S. Como exemplo de espaços amostrais, temos: o lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6} o lançamento de uma moeda: S = {c, k}, onde c=cara e k=coroa Medidas de Probabilidades Na definição clássica de probabilidade, tomamos um espaço amostral finito S = {a1,a2,a3...,an}, no qual os pontos amostrais ai (i=1,2, ..., n) podem ter a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, são considerados equiprováveis. Então, todo subconjunto A do espaço amostral diz-se um evento, sendo sua probabilidade dada por: possíveiscasosdenúmero Aeventoaofavoráveiscasosdenúmero n mAP ==)( ou seja, a probabilidade de um evento é definida como o quociente do número m de casos que lhe são favoráveis, pelo número n de resultados possíveis. Por exemplo, se um dado é não viciado, espera-se que as várias faces sejam equiprováveis, ou seja, que qualquer das faces do dado tenha a mesma probabilidade de sair quanto às outras. Assim, temos que a probabilidade de sair o número 5 em um lançamento de dado, ou seja P(5), é calculada da seguinte forma: o Número de casos favoráveis ao evento 5 = 1 (pois só existe uma face do dado com o número 5); o Número de casos possíveis = 6 (pois existem seis números que podem sair visto que o dado tem seis faces: 1,2,3,4,5 ou 6). Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas E Nemer 2 / 15 Estatística - aulasEstProbab.doc 05/08/05 Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é: A ∩ B = ∅, então: )()()( BPAPBAP +=∪ Essa regra pode ser estendida para n eventos mutuamente exclusivos: A1, A2, A3, ..., An. Assim: )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP +++=∪∪ KK Fica mais fácil entender o teorema da soma com a ajuda de exemplos. Suponha, então, que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha. Retira-se uma bola da urna ao acaso. Qual a probabilidade de ter saído bola colorida, isto é, azul ou vermelha? Ora, a probabilidade de sair bola azul é: %2525,0 4 1)( ou possíveiscasosdenúmero azulbolaeventoaofavoráveiscasosdenúmeroazulP === E a probabilidade de sair bola vermelha é: %2525,0 4 1)( ou possíveiscasosdenúmero vermelhabolaeventoaofavoráveiscasosdenúmerovermelhaP === Então, a probabilidade de sair bola colorida, isto é, azul ou vermelha, é dada pela soma: %505,0 4 1 4 1)()()( ouvermelhaPazulPvermelhaouazulP =+=+= Imagine, agora, que uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás? Como um baralho tem 52 cartas, das quais 13 são de espadas e quatro são ases, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás é dada pela soma 52 4 52 13)( +=ásouespadasP E Nemer 5 / 15 Estatística - aulasEstProbab.doc 05/08/05 Mas esta resposta estaria errada, porque existe uma carta, o ás de espadas, que é tanto ás como espadas. Então, o ás de espadas teria sido contado duas vezes. A probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás de espadas é dada por: %77,30 52 16 52 1 52 4 52 13)()()()( ==−+=∩−+=∪ ásespadasPásPespadasPásespadasP Recapitulando, agora fica mais fácil entender o teorema da soma. Se os eventos A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B. Logo, escreve-se que: )()()( BPAPBAP +=∪ Se A e B podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada pela probabilidade de A, mais a probabilidade de B, menos a probabilidade de A e B. Escreve-se: )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ iv. Probabilidade de um evento complementar Se Ā é o evento complementar de A, então: )(1)( APAP −= Como exemplo, considere retirar uma carta qualquer exceto copas de um baralho de 52 cartas. A probabilidade de se retirar uma carta qualquer do baralho é dada por: %1001 52 52)( ou possíveiscasosdenúmero qualquercartaeventoaofavoráveiscasosdenúmeroqualquercartaP === obs: nesse caso, o evento A é igual a S, assim: P(A)=P(S)=1 A probabilidade de se retirar uma carta de copas do baralho é dada por: E Nemer 6 / 15 Estatística - aulasEstProbab.doc 05/08/05 52 13)( == possíveiscasosdenúmero copasdecartaeventoaofavoráveiscasosdenúmerocopasP Se A ={carta de copas}, então Ā = {qualquer carta exceto copas}. Logo, temos que: )(1)()(1)( copasdecartaPcopasexcetocartaqualquerPAPAP −=∴−= Logo, temos que: %7575,0 4 3 52 39 52 13 52 52 52 131)( oucopasexcetocartaqualquerP ===−=−= Multiplicando probabilidades e independência estatística Dois eventos estão estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. Assim, no lançamento de uma moeda por duas vezes, a probabilidade de obter uma cara, ou coroa, no segundo lance, não é afetada pelo resultado do primeiro lance. No caso do lançamento de duas moedas, existem quatro possibilidades, isto é: S = {cc, ck, kc, kk}, onde c= cara e k=coroa. Cada resultado é igualmente provável e a qualquer um pode ser atribuída a probabilidade de ¼. A probabilidade de obter uma seqüência particular de sucessos, por exemplo, duas caras, pode ser calculada como o produto das probabilidades associadas com os acontecimentos em cada lance, separadamente, assim: 4 1 2 1 2 1)()()( =×=×= CPCPCCP Logo, dados dois eventos independentes, A e B, a probabilidade da ocorrência conjunta é definida pela regra de multiplicação: )()()().( BPAPBAPBAP =∩= Essa regra é válida para n eventos independentes: A1, A2, A3, ..., Na, desde que as condições para a multiplicação de probabilidades sejam satisfeitas para todas as combinações de dois ou mais eventos, isto é, E Nemer 7 / 15 Estatística - aulasEstProbab.doc 05/08/05 Como um outro exemplo, suponha que um dado foi jogado. Qual é probabilidade de ocorrido um 5? Como um dado tem seis faces, a probabilidade de ter ocorrido a face com o número 5 é: %67,161667,0 6 15:)5( ou possíveiscasosdenúmero faceeventoaofavoráveiscasosdenúmeroP === Imagine, agora, que o mesmo dado foi jogado e já se sabe que ocorreu face com número ímpar. Qual é a probabilidade de ter ocorrido a face 5? Note que a resposta a esta pergunta é diferente da resposta dada à pergunta anterior. Se saiu face com número ímpar, só podem ter ocorrido os números:1, 3 ou 5. Logo, a probabilidade de ter ocorrido 5 é: Sejam A = {face 5} e B = {número ímpar}, e: i) como existe somente uma face 5 no dado e que também é número ímpar, logo: 6 1)( =∩ BAP ii) como existem três faces ímpares em um dado, temos que: 6 3)( =BP Logo, o resultado é: %33,333333,0 3 1 6 3 6 1 )( )( )( )()/( ou BP BAP BP BAPBAP ===∩=⋅= Logo, observe que a probabilidade de ocorrer determinado evento pode ser modificada quando se impõe uma condição. Como mostra o exemplo, a probabilidade de ocorrer 5 no jogo de um dado é 16,67%, mas, sob a condição de ter ocorrido face com número ímpar, a probabilidade de ocorrer 5 é 33,33%. E Nemer 10 / 15 Estatística - aulasEstProbab.doc 05/08/05 Tendo estudado probabilidade condicionada, e para entender melhor a idéia de eventos independentes, imagine que um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo e se pergunte: a) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda? b) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda sabendo que ocorreu face 6 no dado? Na tabela abaixo estão os eventos que podem ocorrer quando se jogam um dado e uma moeda ao mesmo tempo. Dado Moeda Cara Coroa 1 Cara;1 Coroa;1 2 Cara;2 Coroa;2 3 Cara;3 Coroa;3 4 Cara;4 Coroa;4 5 Cara;5 Coroa;5 6 Cara;6 Coroa;6 Dos doze eventos possíveis e igualmente prováveis apresentados na tabela acima, seis correspondem à saída de cara na moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda é: %505,0 12 6)( ou possíveiscasosdenúmero caraeventoaofavoráveiscasosdenúmerocaraP === Para obter a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que saiu 6 no dado, observe a última linha da tabela anterior. Dos dois eventos que correspondem à saída de 6 no dado, um corresponde à saída de cara na moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que ocorreu 6 no dado, é: %505,0 2 1)( ou possíveiscasosdenúmero caraeventoaofavoráveiscasosdenúmerocaraP === Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair cara na moeda) não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 6 no dado). Diz-se, então, que esses eventos são independentes. Por definição, dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não é modificada pela ocorrência do outro. Quando se E Nemer 11 / 15 Estatística - aulasEstProbab.doc 05/08/05 jogam um dado e uma moeda, o resultado que ocorre na moeda não depende do que ocorre no dado. Então, esses eventos são independentes. Na área biológica existem vários exemplos de “eventos dependentes” e de “eventos independentes”. Assim, “olhos claros” e “cabelos claros” são eventos dependentes porque a probabilidade de uma pessoa ter olhos claros é maior se a pessoa tem cabelos claros. Já “olhos claros” e “idade avançada” são eventos independentes, porque a probabilidade de uma pessoa ter olhos claros não aumenta (ou diminui) com a idade. ii. Regra geral da multiplicação de probabilidades A partir da definição de probabilidade condicionada, é possível enunciar a regra geral de multiplicação de probabilidades: “a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicionada do outro, dado o primeiro”. )/()()/()()()( BAPBPABPAPBAPBAP ==∩=⋅ A regra geral da multiplicação, estendida aos eventos A, B e C, é: )/()/()()( BACPABPAPCBAP ∩=∩∩ A probabilidade P(A ∩ B ∩ C) pode assumir seis diferentes formas, uma das quais foi dada acima. Uma outra forma é mostrada abaixo. Como exercício, você pode obter as outras quatro formas. )/()/()()( CABPACPAPCBAP ∩=∩∩ Como exemplo, imagine uma urna contendo três bolas brancas e oito pretas. Uma bola é retirada ao acaso e não reposta: então outra bola é retirada. Qual e probabilidade de ambas serem pretas? A primeira bola, sendo preta, influi sobre a probabilidade de obter uma segunda bola preta: os dois eventos não são estatisticamente independentes, logo: E Nemer 12 / 15