Apostila parte 1

Apostila parte 1

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1º Bimestre Versão: 1.0 Data: 03/03/9 página: 1

1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos.

Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de zero.

1.1) Sistematização dos Conjuntos Numéricos

Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais demonstrando as propriedades.

- Conjunto dos Números Naturais (N) Propriedades:

4) Seja S ⊂ N com as propriedades: a) 1 ∈ S.

b) ∀ s ∈ S → s+1 ∈ S. Logo, S = N (Princípio da Indução) Assim tem-se: N = {1,2,3,...} A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em relação a adição e a multiplicação.

Exemplo: Sejam a, b ∈ N x = a + b e x = a.b São equações que têm solução em N.

Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.

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- Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, existe (-a) tal que a + (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero. Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.

- Conjunto dos Números Racionais (Q) Q é um conjunto numérico formado por números da forma qp, onde p e q ∈ Z e q ≠ 0. Esses

Exemplo: 2,3 ; 0,3; 2,2323...

números racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos.

O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação x 2 = a

Demonstração que Q∉2:

• O quadrado de um número par é par: 2.n onde n é inteiro.

• O quadrado de um número ímpar é ímpar: 12n+

Demonstração por contradição: Suponha que 22aQaQ2=∈∃∴∈

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• m, n ≠ 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares Se m é par m = 2.k, então:

O que contradiz a hipótese logo Q∉2.

Exemplos de números não racionais: 2,3791...;2;pi;e.

- Conjunto dos Números Reais (R) É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais.

- Conjunto dos Números Irracionais (Q’)

É o conjunto dos números tais que a equação ax2 = tem sempre solução quando a é um número racional positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não periódicos.

Propriedades dos Números Reais: 1) Lei comutativa da adição

∀ x, y ∈ R → x + y = y + x

2) Lei comutativa da multiplicação ∀ x, y ∈ R → x . y = y . x

3) Lei associativa da adição ∀ x, y, z ∈ R → (x + y) + z = x + (y + z)

4) Lei associativa da multiplicação ∀ x, y, z ∈ R → (x . y) . z = x . (y . z)

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5) Lei da existência do elemento neutro da adição ∃ o 0 ∈ R / x + 0 = x : ∀ x ∈ R

6) Lei da existência do elemento neutro da multiplicação

7) Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição ∀ x ∈ R , ∃ (-x) ∈ R / x + (-x) = 0

8) Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação

9) Lei distributiva da multiplicação em relação a adição ∀ x, y, z ∈ R → x (y + z) = x.y + x.z

10) Lei do fechamento da adição ∀ x, y ∈ R → x + y ∈ R

1) Lei do fechamento da multiplicação ∀ x, y ∈ R → x . y ∈ R

12) Lei do cancelamento em relação a adição ∀ x, y, z ∈ R se x + z = y + z x = y

13) Lei do cancelamento em relação a multiplicação

∀ x, y, z ∈ R e z ≠ 0 se x . z = y . z x = y

14) Lei da tricotomia

x > y oux < y ou x = y
x > 0ou x < 0 ou x = 0

∀ x, y ∈ R, vale uma e somente uma das afirmações: Obs.: fazendo y = 0, temos:

15) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição ∀ x, y, z ∈ R se x + z > y + z x > y

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16) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação ∀ x, y, z ∈ R e z > 0 se x > y x . z > y . z

Obs.: se z < 0 : x > y x . z < y . z

17) Lei da transitividade ∀ x, y, z ∈ R se x > y e y > z x > z

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