Baixe integral de linha e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! Capítulo 5 INTEGRAIS 5.1 Integrais sobre Trajetórias Sejam f : R3 −→ R e γ : [a, b] −→ R3 uma parametrização da curva C de classe C1, tais que f ◦ γ : [a, b] → R é uma função contínua. Definição 5.1. A integral de f ao longo de γ é denotada e definida por: ∫ C f = ∫ b a f(γ(t)) ‖γ′(t)‖ dt A definição é valida se γ éC1 por partes ou f ◦γ é contínua por partes. De fato, subdividamos o intervalo original num número finito de subintervalos fechados tal que f(γ) ‖γ′‖ é uma função contínua em cada subintervalo. Consideremos a = t0 < t1 < ........ < tn = b a partição tal que γi é a restrição de γ ao subintervalo Ii = [ti, ti+1]. Denotando por Ci = γi(Ii), temos: ∫ C f = ∫ C1 f + ∫ C2 f + . . . . . . + ∫ Cn f. Esta integral é a generalização natural do comprimento de arco para curvas. Se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z), a integral de linha é o comprimento de arco da curva C . ∫ C 1 = ∫ b a ‖γ′(t)‖dt. Se C é uma curva plana parametrizada por γ e f(x, y) ≥ 0, a integral de f ao longo de γ representa a área da "cerca"de base C e altura f ◦ γ, em cada (x(t), y(t)) ∈ γ. 123 124 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS γ f(γ ) z y x Figura 5.1: "Cerca"de base C . Exemplo 5.1. [1] Calcule ∫ γ f se γ(t) = (t2, t3, 0) tal que t ∈ [−1, 1] e f(x, y, z) = 1 + x y z. f(γ(t)) = f(t2, t3, 0) = 1, γ′(t) = (2 t, 3 t2, 0) e ‖γ′(t)‖ = t √ 4 + 9 t2, logo: ∫ γ f = ∫ 1 −1 t √ 4 + 9 t2 dt = 26 √ 13 − 16 27 . Figura 5.2: Exemplo [1]. [2] Calcule ∫ γ f se γ(t) = (t, 3 t, 2 t) tal que t ∈ [1, 3] e f(x, y, z) = y z. f(γ(t)) = f(t, 3 t, 2 t) = 6 t2, γ′(t) = (1, 3, 2) e ‖γ′(t)‖ = √ 14, logo: ∫ γ f = 6 √ 14 ∫ 3 1 t2 dt = 52 √ 14. [3] Calcule ∫ γ f se γ(t) = (1, 2, t2) tal que t ∈ [0, 1] e f(x, y, z) = e √ z . f(γ(t)) = f(1, 2, t2) = et, γ′(t) = (0, 0, 2 t) e ‖γ′(t)‖ = 2 t; logo: ∫ γ f = 2 ∫ 1 0 t et dt = 2. 5.2. INTEGRAIS DE LINHADE CAMPOS DE VETORES 127 é uma boa aproximação do trabalho total realizado pela força F para deslocar a partícula; então, é natural definir o trabalho realizado por F para deslocar a partícula ao longo deC de γ(a) = A até γ(b) = B por: W (F ) = lim |∆ti|→0 n ∑ i=1 F (γi) · γ ′ i ∆ti, que é a integral de Riemann da função contínua (F ◦ γ)(t) no intervalo [a, b]; então: W (F ) = ∫ b a F (γ(t)) · γ′(t) dt, se o limite existe. É possível provar que se o limite existe, independe da escolha da partição e da parametrização. Sejam F : A ⊂ Rn −→ Rn um campo de vetores contínuo e γ : [a, b] −→ Rn uma parame- trização da curva C de classe C1 tal que γ ( [a, b] ) ⊂ A e F ◦ γ : [a, b] −→ Rn seja uma função contínua. Definição 5.2. A integral de linha de F ao longo de C é denotada e definida por: ∫ C F = ∫ b a F (γ(t)) · γ′(t) dt onde F (γ(t)) · γ′(t) é o produto escalar em Rn dos vetores F (γ(t)) e γ′(t). A definição é valida se F ◦ γ é contínua por partes. A integral de linha de F ao longo de C poder ser calculada como uma integral de trajetória para uma f apropriada. De fato, seja ~t(t) o vetor tangente unitário a γ(t), que suporemos não nulo para todo t; então: f(γ(t)) = F (γ(t)) ·~t(t) = F (γ(t)) · γ ′(t) ‖γ(t)‖ , que é a componente de F tangente à curva, ou equivalentamente, a componente de F é a projeção de F sobre o vetor tangente unitário à curva; logo: ∫ C F = ∫ b a ( F (γ(t)) · γ ′(t) ‖γ(t)‖ ) ‖γ′(t)‖ dt. Notações É comum usar as seguintes notações: No Espaço Sejam F1, F2 e F3 as componentes do campo F e a curva γ(t) = (x(t), y(t), z(t)); então: F (γ(t)) · γ′(t) = F1(γ(t)) dx dt + F2(γ(t)) dy dt + F3 (γ(t)) dz dt ; logo: ∫ C F = ∫ C F1 dx + F2 dy + F3 dz = ∫ b a F1(t) dx + F2(t) dy + F3(t) dz 128 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS No Plano De forma análoga obtemos: ∫ C F = ∫ C F1 dx + F2 dy Se γ : [a, b] −→ Rn é uma parametrização de uma curva fechada, então é comum denotar a integral de linha de um campo F ao longo de γ como: ∮ C F Em Eletromagnetismo, ∮ C F é chamada de circulação do campo F ao longo da curva C . Exemplo 5.2. [1] Calcule ∫ C F se F (x, y) = (x2, x y) e C é a curva definida por x = y2 ligando os pontos (1,−1) e (1, 1). 1 -1 1 Figura 5.5: Exemplo [1]. A parametrização da parábola C é γ(t) = (t2, t),−1 ≤ t ≤ 1; seu vetor tangente é γ′(t) = (2 t, 1), F (γ(t)) = (t4, t3) e F (γ(t)) · γ′(t) = 2 t5 + t3; então: ∫ C F = ∫ 1 −1 (2 t5 + t3) dt = 0. [2] Calcule ∫ C F se F (x, y) = ( −y x2 + y2 , x x2 + y2 ) e C é um arco de círculo de raio 3, do ponto (3, 0) até (3 √ 3 2 , 3 2 ) . Resolvamos os sistemas: { 3 cos(t) = 3 3 sen(t) = 0 e      3 cos(t) = 3 √ 3 2 3 sen(t) = 3 2 . 5.2. INTEGRAIS DE LINHADE CAMPOS DE VETORES 129 Logo, t = 0 e t = π 6 . Então, a parametrização da curva é: γ(t) = (3 cos(t), 3 sen(t)), 0 ≤ t ≤ π 6 : x y Figura 5.6: Exemplo [2]. O vetor tangente a γ é γ′(t) = 3 (−sen(t), cos(t)), F (γ(t)) = 1 3 (−sen(t), cos(t)); logo temos que F (γ(t)) · γ′(t) = 1; então: ∫ C F = ∫ π 6 0 dt = π 6 . [3] Calcule ∫ C cos(z) dx + ex dy + ey dz, se C é dada por: γ(t) = (1, t, et), 0 ≤ t ≤ 2. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2. 2 4 6 Figura 5.7: γ do exemplo [3]. Temos dx dt = 0, dy dt = 1 e dz dt = et, logo: ∫ C cos(z) dx + ex dy + ey dz = ∫ 2 0 (0 + e + e2 t)dt = 2 e + e4 2 − 1 2 . 132 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS Figura 5.11: Gráficos de C+ e C−, respectivamente. No espaço: Figura 5.12: Gráficos de C+ e C−, respectivamente. Exemplo 5.3. [1] SejaC o segmento de reta ligando a origem e o ponto (1, 1); entãoC pode ser parametrizado por: γ : [0, 1] −→ R2 tal que γ(t) = (t, t). Fazendo h(t) = 1 − t, então γ−(t) = γ(h(t)) = (1 − t, 1 − t), γ−(0) = (1, 1) e γ−(1) = (0, 0) 1 1 1 1 Figura 5.13: Gráficos de C+ e C−, respectivamente. 5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 133 [2] Seja C o círculo unitário; então C pode ser parametrizado por: γ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π]; fazendo h(t) = 2π − t, então: γ−(t) = γ(h(t)) = (cos(2π − t), sen(2π − t)) = (cos(t),−sen(t)). Note que γ′(t) = (−sen(t), cos(t)) e γ′−(t) = (−sen(t),−cos(t)). Figura 5.14: Gráficos de C+ e C−, respectivamente. A escolha de um sentido para o vetor tangente a uma curva é chamada orientação da curva; logo, toda curva diferenciável tem duas possíveis orientações. De fato, Seja C uma curva dife- renciável parametrizada por γ = γ(t), t ∈ [a, b]. Podemos definir o campo (contínuo) tangente unitário, por: T (p) = γ′(t) ‖γ′(t)‖ , onde γ(t) = p, t ∈ (a, b) e tal que lim t→a+ T (p) e lim t→b− T (p) existem. No caso de uma curva fechada, estes limites devem ser iguais. −T também é uma orientação de C ; por continuidade, temos que uma curva possui duas ori- entações possíveis. As mudanças de orientação são refletidas na integral de linha. Teorema 5.1. Sejam F um campo de vetores, C uma curva de classe C1 com parametrização γ tal que F ◦ γ é contínua e σ uma reparametrização de C . 1. Se σ preserva orientação e σ(I) = L, então: ∫ C F = ∫ L F 2. Se σ inverte orientação, então: ∫ C F = − ∫ L F 134 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS Em particular: ∫ C F = − ∫ C− F Prova: Por hipotese, existe h tal que γ = σ ◦ h; então γ′(t) = σ′(h(t)) · h′(t). Logo: ∫ C F = ∫ b a F (γ(t)) · γ′(t) dt = ∫ b a (F (σ(h(t))) · σ′(h(t)))h′(t) dt; fazendo a mudança de variáveis s = h(t), temos: ∫ C F = ∫ h(b) h(a) (F (σ(s)) · σ′(s)) ds. Dependendo de h preservar ou inverter a orientação, provamos o teorema. Logo, a integral de linha depende do campo e da parametrização da curva. Proposição 5.1. 1. Linearidade: Sejam a, b ∈ R, F, G campos de vetores e C uma curva de classe C1; então: ∫ C aF + bG = a ∫ C F + b ∫ C G 2. Aditividade: Se C admite uma decomposição em n curvas Ci, i = 1....n, então: ∫ C F = n ∑ i=1 ∫ Ci F As provas destas propriedades seguem da definição de integral de linha. Proposição 5.2. Seja F um campo gradiente com potencial f , de classe C1 e C uma curva de classe C1 que liga os pontos P e Q; então: ∫ C F = f(Q) − f(P ) A integral dos campos gradientes não depende da curva que liga os pontos P e Q, somente depende dos pontos. Em particular: ∮ C F = 0 Prova: Seja γ uma parametrização de classe C1 de C tal que γ(a) = P , γ(b) = Q e H(t) = f(γ(t)); pela regra da cadeia, H ′(t) = ∇f(γ(t)) · γ′(t). Utilizando o teorema fundamental do cálculo: ∫ C F = ∫ b a ∇f(γ(t)) · γ′(t) dt = ∫ b a H ′(t) dt = H(b) − H(a) = f(Q) − f(P ). 5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 137 1 -1 1 Figura 5.18: Exemplo [5]. Devemos calcular: ∫ C F = ∫ C+ 1 F + ∫ C+ 2 F + ∫ C+ 3 . C1 é o segmento de reta ligando (0, 0) e (1,−1) e é parametrizado por x(t) = t e y(t) = −t, t ∈ [0, 1]; logo, dx = dt e dy = −dt. Então: ∫ C+ 1 F = ∫ 1 0 [ 1 t + 2 − 1 3 − t ] dt = 0. C2 é o segmento de reta ligando (1,−1) e (1, 1) e é parametrizado por x(t) = 1 e y(t) = 2 t − 1, t ∈ [0, 1]; logo, dx = 0 e dy = 2 dt. Então: ∫ C+ 2 F = ∫ 1 0 dt t + 1 = ln(2). C3 é o segmento de reta ligando (1, 1) e (0, 0); consideremos C−3 que liga (0, 0) e (1, 1) e é parametrizado por x(t) = t e y(t) = t, t ∈ [0, 1]; logo, dx = dt e dy = dt. Assim: ∫ C3 F = − ∫ C− 3 F = − ∫ 1 0 [ 1 t + 2 + 1 t + 3 ] dt = −ln(2). Então: ∫ C F = ln(2) − ln(2) = 0. [6] Seja F (x, y, z) = (x2 + y,−y z, x z2). Calcule ∫ C F , onde C e formada pelos segmentos de retas C1, C2 e C3 que ligam os pontos (0, 0, 0) a (1, 0, 0); (1, 0, 0) a (1, 1, 0) e (1, 1, 0) a (1, 1, 1), respectivamente. 138 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS Figura 5.19: Exemplo [6]. Parametrizamos a curva C = C1 ∪ C2 ∪ C3 por γ, β, η : [0, 1] −→ R2, onde γ(t) = (t, 0, 0), β(t) = (1, t, 0) e η(t) = (1, 1, t). Por outro lado γ′(t) = (1, 0, 0), β′(t) = (0, 1, 0) e η′(t) = (0, 0, 1); F (γ(t)) = (t2, 0, 0), F (β(t)) = (1 + t, 0, 0) e F (η(t)) = (2,−t, t2); então: ∫ C F = 2 ∫ 1 0 t2 dt = 2 3 . [7] Calcule ∫ C F , onde F (x, y, z) = (x, y, z) e C é a curva obtida pela interseção das superfícies x2 + y2 − 2 y = 0 e z = y. -2 -1 0 1 2 x -1 0 1 2 y -1 0 1 2 z Figura 5.20: Exemplo [7]. A superfície definida por x2 + y2 − 2 y = 0 é um cilindro circular reto de raio igual a 1; de fato, x2 + y2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1 e z − y = 0 é um plano passando pela origem. A interseção é a solução do sistema: { x2 + y2 − 2 y = 0 y = z, donde obtemos a curva fechada x2 + (z − 1)2 = 1. O campo F é conservativo, com potencial f(x, y, z) = 1 2 (x2 + y2 + z2); logo: ∮ C F = 0. 5.4. APLICAÇÃO 139 5.4 Aplicação Seja F um campo de vetores contínuo que representa a força que move uma partícula ao longo de uma curva C de classe C2, parametrizada por γ = γ(t), t ∈ [a, b] e tal que γ(a) = A e γ(b) = B. Pela segunda lei de Newton, a força F agindo ao longo de C é dada por: F (γ(t)) = m γ′′(t), ondem é a massa da partícula; logo o trabalho realizado pela partícula é: W = ∫ C F = ∫ b a m γ′′(t) · γ′(t) dt = m 2 ∫ b a d dt ( γ′(t) · γ′(t) ) dt = m 2 ∫ b a d dt ‖γ′(t)‖2 dt, aplicando o teorema fundamental do cálculo: W = m 2 ( ‖γ′(b)‖2 − ‖γ′(a)‖2 ) . A energia cinética de uma partículaQ demassam é dada porK(Q) = m 2 ‖v′(t)‖2, onde v = v(t) é a velocidade da partícula; logo, (3) W = K(B) − K(A). Se F é um campo gradiente, isto é, F = ∇f , para alguma f de classe C1, a energia potencial de uma partícula Q é P (Q) = −f(Q); logo, F = −∇P ; então: (4) W = ∫ C F = − ∫ C ∇P = − ( P (B) − P (A) ) . De (3) e (4), temos: P (A) + K(A) = P (B) + K(B). Logo, se uma partícula se move de um pontoA ao ponto B, com um campo de força conserva- tivo, a soma da energia potencial e da cinética permanece constante. Isto é conhecido como lei da conservação da energía mecânica. O resulatado anterior pode ser estendido para sistemas compostos por um número N de partículas como gases, fluidos, etc. 5.5 Exercícios 1. Calcule ∫ C f , onde: (a) f(x, y) = 2x y2 e C é parametrizada por γ(t) = (cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤ π 2 . (b) f(x, y) = x2 + y2 e C é o círculo x2 + y2 = 4 de A = (2, 0) a B = (0, 2). (c) f(x, y) = x2 + y2 e C é a reta que liga os pontosA = (2, 0) a B = (0, 2). (d) f(x, y) = x2 − y2 x2 + y2 e C é o círculo x2 + y2 = 4 de A = (2, 0) a B = (−1, √ 3).