Optica Moderna

Optica Moderna

(Parte 1 de 7)

ÓÓptica Modernaptica Moderna Fundamentos e aplicaFundamentos e aplicaççõesões

SSéérgio C. rgio C. ZilioZilio

Prefácio

Este é um texto destinado à introdução dos conceitos básicos da óptica moderna, elaborado para estudantes de física ou engenharia elétrica. Seu enfoque principal está voltado para a óptica física, onde fenômenos ondulatórios, tais como difração e interferência, são abordados. Entretanto, no Cap. 2 são introduzidos alguns tópicos de óptica geométrica, onde o caráter ondulatório da luz é ignorado. A apresentação destes conceitos é importante, pela analogia que historicamente foi realizada entre a equação de Schrödinger e a equação das ondas eletromagnéticas, via óptica geométrica.

Na exposição do material admite-se que o aluno já tenha conhecimentos de eletromagnetismo e que possua algumas noções de física matemática. No final do Cap. 2, quando se faz a analogia entre a óptica geométrica e a mecânica clássica, são necessários conhecimentos relativos ao formalismo de Hamilton-Jacobi. Cada capítulo apresenta inicialmente os conceitos básicos, seguidos por uma lista de problemas propostos. No capítulo final são sugeridas demonstrações a serem realizadas pelo professor para a melhor fixação das idéias apresentadas.

Tais demonstrações podem ser realizadas com um instrumental relativamente barato, acessível a qualquer instituição ministrando cursos ao nível de graduação.

O texto começa fazendo uma introdução do desenvolvimento das idéias na área de óptica. Isto é interessante para se localizar os tópicos que veremos nos capítulos subseqüentes dentro de certo contexto histórico. Nos capítulo seguinte tratamos da propagação dos raios (óptica de raios), mas depois o texto detém-se no assunto central, a óptica ondulatória. Inicialmente discute-se no Cap. 3 a equação que descreve as ondas eletromagnéticas, suas soluções e propriedades. O Cap. 4 trata da fase do campo eletromagnético e alguns efeitos lidados a ela, porém sem exaurir o assunto. O conceito de fase será utilizado freqüentemente nos capítulos subseqüentes.

No Cap. 5 daremos atenção à natureza vetorial do campo elétrico e introduziremos o conceito de polarização. Ênfase é dada à dedução das equações de Fresnel pela sua utilidade e importância histórica. Em seguida são apresentados vários dispositivos e técnicas que permitem alterar a polarização da luz e muitas vezes controlar sua intensidade. Estes efeitos são de grande importância em aplicações que envolvem o chaveamento da luz, como por exemplo, em comunicações ópticas.

O fenômeno de interferência é abordado no Cap. 6. Nele são discutidos o princípio da superposição, e as interferências de dois feixes e múltiplos feixes. Interferômetros de grande aplicação prática, tais como o de Michelson, Mach-Zehnder e Fabry-Perot são discutidos em detalhes.

Um outro assunto tratado, a teoria de películas, é de grande interesse prático, pois permite o cálculo do efeito de um conjunto de filmes finos dielétricos sobre o espectro de transmissão, ou reflexão, de espelhos multicamadas, filtros interferenciais e revestimentos anti-refletores. Para a observação de padrões de interferência, faz-se em geral necessário que haja coerência na luz utilizada. Este tópico é tratado no Cap. 7. O Cap. 8 refere-se ao fenômeno de difração. Inicialmente introduzimos a formulação matemática que resulta na fórmula de Fresnel- Kirchhoff. Os casos de difração de Fraunhofer e Fresnel são discutidos e a aplicação em redes de difração é apresentada. Neste capítulo também procuramos tratar tópicos de interesse prático tais como, microscopia por contraste de fase e óptica difrativa (óptica de Fourier).

Estes oito capítulos compõem o núcleo central de um curso de óptica básico, que deve ser conhecido por profissionais que trabalham nesta área. Nos capítulos finais procuramos complementar alguns conceitos já introduzidos e abordar tópicos mais específicos. Apresentamos no Cap. 9 um modelo clássico para a interação da radiação com a matéria, para em seguida discutir os princípios de funcionamento do laser. É apresentado o modelo semi-clássico da interação da radiação com a matéria (Cap. 10), discutimos cavidades ópticas (Cap. 1), ação laser (Cap. 12) e regimes de operação de um laser (Cap. 13). Finalmente, introduzimos alguns conceitos de óptica não linear (Cap. 14), óptica de cristais (Cap. 15) e guiamento de luz (Cap. 16).

1.1 Considerações preliminares1
1.2 Desenvolvimentos iniciais2
1.3 Óptica ondulatória versus corpuscular4
1.4 Ressurgimento da teoria ondulatória6
1.5 Ondas eletromagnéticas e luz8
1.6 A relatividade restrita12
1.7 A óptica quântica13
Bibliografia14

1. Uma visão histórica

2.1 Introdução15
2.2 Propagação de luz em meios homogêneos16
2.3 Propagação de luz em meios não homogêneos17
2.4 A lei de Snell generalizada19
2.5 O princípio de Fermat2
2.6 A equação dos raios26
2.7 A função eikonal29
2.8 Analogia entre a mecânica clássica e a óptica geométrica32
2.9 Obtenção da equação de Schrödinger35
2.10 O potencial óptico38
Bibliografia41
Problemas41

2. Óptica de raios

3.1 Introdução ao conceito de ondas43
3.2 Ondas eletromagnéticas45
3.3 Ondas harmônicas unidimensionais4 7
3.4 Ondas planas e esféricas50

3. Ondas eletromagnéticas Índice

3.5 Ondas gaussianas54
3.6 Propagação do feixe gaussiano59
3.7 Formulação matricial da óptica geométrica60
3.7 Vetor de Poynting. Intensidade62
Bibliografia64
Problemas64
4.1 Velocidades de fase e de grupo. Dispersão67
4.2 Efeito Doppler. Aplicações astronômicas72
4.3 Alargamento de linhas espectrais74
4.4 Óptica relativística75
4.5 Modulação eletro -óptica de freqüência79
4.6 Auto-modulação de fase82
Bibliografia84
Problemas84
5. Polarização das ondas eletromagnéticas
5.1 Polarização linear87
5.2 Polarização elíptica8
5.3 Polarização circular91
5.4 Lâminas de quarto de onda e meia onda91
5.5 Obtenção de luz linearmente polarizada92
5.6 Equações de Fresnel94
5.7 Polarização por reflexão total interna103
5.8 Matrizes de Jones105
5.9 Atividade óptica109
5.10 Efeito Faraday112
5.1 Isoladores ópticos13
5.12 Efeito Pockels115
5.13 Efeitos Kerr e Cotton -Mouton116
5.14 Chaveamento eletro -óptico117
Bibliografia118
6.1 Princípio da superposição121
6.2 Interferência por divisão da frente de onda124
6.3 Interferência por divisão de amplitudes134
6.4 Interferômetro de Fabry -Pérot136
6.5 Analisador de espectro óptico139
6.6 Teoria de películas140
Bibliografia144
Problemas145
7.1 Introdução147
7.2 Coerência temporal149
7.3 Resolução espectral de um trem de ondas finito152
7.4 Coerência espacial155
7.5 Medidas de diâmetros de estrelas158
Bibliografia159
Problemas160

7. Coerência

8.1 Princípio de Huygens161
8.2 Fórmula de Fresnel - Kirchhoff163
8.3 Princípio de Babinet168
8.4 Difração de Fraunhofer169
8.5 Difração por uma abertura circular173
8.6 Rede de difração175
8.7 Padrões de difração de Fresnel177
8.8 Óptica de Fourier183
8.9 Microscopia por contraste de fase187
8.10 Holografia189
Bibliografia191

iv

9.1 Modelo do oscilador harmônico195
9.2 Dispersão cromática do índice de refração197
9.3 Absorção201
9.4 Espalhamento202
9.5 Forças radiativas sobre átomos neutros204
Bibliografia207
Problemas20 8

9. Interação luz-matéria: tratamento clássico

10.1 Introdução209
10.2 Emiss ões espontânea e estimulada211
10.3 A susceptibilidade atômica215
10.4 Os coeficientes A e B de Einstein218
10.5 O coeficiente de ganho220
10.6 Alargamentos homogêneo e não homogêneo221

10. Interação luz-matéria: tratamento semi-clássico

2
10.8 Espectroscopia de saturação226
Bibliografia228
Problemas228

10.7 Saturação de ganho em meios com alargamentos homogêneo e não homogêneo

1.1 Introdução231
1.2 Álgebra de cavidades ópt icas232
1.3 Freqüências de ressonância2 37
1.4 Perdas em cavidades ópticas2 39
Bibliografia240
Problemas241

1. Cavidades ópticas

12.1 Condição de limiar243
12.2 Freqüências de oscilação244

12. Ação laser 12.3 Potência de saída do laser..................................................................................246

12.4 Considerações finais250
Bibliografia252
Problemas252
13.1 Introdução255
13.2 Regimes multimodos e monomodo257
13.3 Regime de modos travados…2 58
13.4 Obtenção do regime de modos travados…260
13.5 Q-switching263
Bibliografia268
Problemas268

13. Regimes de operação de um laser

14.1 Propagação de luz em meios anisotrópicos269
14.2 Elipsóide de índices27 0
14.3 Propagação de uma onda plana num meio anisotrópico272
14.4 Superfície normal275
Bibliografia280
Problemas280
15.1 Guias de ondas metálicos281
15.2 Guias de ondas dielétricos2 89
Bibliografia294
Problemas294
16.1 Introdução295
16.2 Modelo do oscilador não harmônico296
16.3 Aproximação da variação lenta da amplitude298
16.4 Geração de soma de freqüências301
Bibliografia306

16. Óptica não linear Problemas............................................................................................................306 vi

16.1 Óptica geométrica297
16.2 Ondas eletromagnéticas302
16.3 Polarização das ondas eletromagnéticas306
16.4 Interferência313

Uma visão histórica 1

Uma visão histórica

1.1 Considerações preliminares

A área de óptica é um campo de estudos fascinante. De maneira simplificada, podemos dizer que ela é o ramo da Física que estuda a propagação da luz e sua interação com a matéria. Em muitas áreas da ciência e tecnologia, o entendimento de determinados conceitos pode ser difícil porque seus efeitos não são facilmente visualizados. Na óptica, entretanto, o simples uso de um laser permite a visualização de um dado efeito como função de vários parâmetros, facilitando o aprendizado. Isto se deve principalmente à coerência, monocromaticidade e colimação da luz proveniente deste instrumento, que permitem a observação de fenômenos tais como interferência e difração, nos quais a natureza ondulatória da luz se manifesta claramente. Entretanto, para se chegar ao desenvolvimento deste dispositivo, e de vários outros que são importantes no nosso cotidiano, um longo caminho foi percorrido e este percurso gerou um histórico bastante rico. Alguns aspectos que merecem destaque estão ligados às idéias sobre a natureza da luz e aos caminhos paralelos que a óptica e o eletromagnetismo trilharam durante séculos. Para se entender um pouco estes fatos, faremos, no transcorrer desta seção, uma breve revisão histórica do desenvolvimento dos conceitos principais ligados à óptica.

Um outro fato importante para o qual deve-se chamar a atenção refere-se à analogia existente entre a óptica física e a mecânica quântica. No estado estacionário, ambas são descritas pela mesma equação de ondas e assim, vários fenômenos que se observa num laboratório de óptica podem ser usados para um melhor entendimento da mecânica quântica. Apenas como exemplo, o princípio da incerteza de Heisenberg pode ser

S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações

2 Uma visão histórica verificado num experimento de difração de luz por uma fenda, como veremos no Cap. 8. Similarmente, outros fenômenos nos quais a matéria comporta-se de forma ondulatória encontra seu análogo na óptica física. Desta forma, o aprendizado da mecânica quântica torna-se mais simples com o auxílio da óptica.

1.2 Desenvolvimentos iniciais

Antes do século XVII existia pouco embasamento teórico para os fenômenos ópticos observados. Eram conhecidos alguns elementos tais como lentes e espelhos, mas a teoria descrevendo seu princípio de funcionamento não estava sedimentada. A primeira grande evolução da óptica ocorreu durante o século XVII, quando houve um desenvolvimento significativo da sua formulação matemática, possibilitando a explicação dos fenômenos observados até então. Nas duas primeiras décadas foram introduzidos os sistemas ópticos que combinam duas lentes. O primeiro deles, o telescópio refrativo, foi patenteado em 1608 por Hans Lippershey (1587-1619), um holandês fabricante de óculos. Seu dispositivo utilizava uma ocular côncava, conforme esquematizado na Fig. 1.1. Ouvindo falar desta invenção, Galileo Galilei (1564-1642) construiu seu próprio telescópio e em 1610 descobriu as luas de Júpiter, os anéis de Saturno e a rotação do Sol. Estas descobertas popularizaram este instrumento óptico e a configuração que utiliza a ocular côncava leva hoje o nome de telescópio Galileano. O telescópio com ocular convexa, também mostrado na Fig. 1.1, foi introduzido por Johannes Kepler (1571-1630), que o utilizou para fazer importantes observações astronômicas, que se tornaram conhecidas como as leis de Kepler. O telescópio Kepleriano tornou-se mais difundido por possibilitar maior tolerância na acomodação visual.

telescópio Galileano (ocular côncava)

telescópio Kepleriano (ocular convexa)

Fig. 1.1 - Tipos de telescópios refrativos. S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações

Uma visão histórica 3

O segundo tipo de sistema óptico que combina duas lentes é o microscópio. Ele foi inventado provavelmente pelo holandês Zacharias Janssen (1588-1632) por volta de 1609, na versão possuindo ocular côncava. É interessante notar que a invenção deste instrumento ocorreu praticamente ao mesmo tempo que a do telescópio. O microscópio com ocular convexa foi introduzido logo a seguir por Francisco Fontana (1580-1656).

Além do desenvolvimento tecnológico destes instrumentos refrativos de duas lentes, começou-se neste período a elaboração da formulação matemática que permite o cálculo da propagação dos raios. Em seu livro Dioptrice, de 1611, Kepler apresenta a lei de refração para pequenos ângulos, estabelecendo que os ângulos de incidência e refração são proporcionais. Esta aproximação, chamada de paraxial, possibilitou o tratamento matemático de sistemas ópticos simples, compostos de lentes finas. Neste mesmo trabalho, ele introduz de forma pioneira o conceito de reflexão total interna. Apesar deste sucesso inicial, podemos dizer que a maior contribuição para o desenvolvimento da óptica nesta primeira metade do século XVII deveu-se a Willebrord Snell (1591-1626), que em 1621 introduziu a lei da refração (lei dos senos). O conhecimento desta lei deu origem à óptica aplicada moderna, permitindo o cálculo de sistemas ópticos mais complexos, não tratáveis pela aproximação paraxial introduzida por Kepler. A lei de Snell foi deduzida pela primeira vez em 1637, por René Descartes (1596-1650), que lançou mão de uma formulação matemática baseada em ondas de pressão num meio elástico. Aparentemente, esta foi a primeira vez em que a luz foi tratada como onda.

Uma outra dedução interessante da lei de Snell foi realizada por

Pierre de Fermat (1601-1665) em 1657, utilizando o princípio do tempo mínimo. Anteriormente a Fermat, Heron, de Alexandria, havia introduzido o princípio da menor distância, que previa que os raios andariam sempre em linha reta, que é a menor distância entre dois pontos. Com o princípio de Fermat, existe a possibilidade do raio executar uma trajetória curva se o meio não for homogêneo. Abordaremos este ponto com maiores detalhes no próximo capítulo, apresentando inclusive outras formulações matemáticas além daquela baseada no princípio de Fermat.

S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações

4 Uma visão histórica

1.3 Óptica ondulatória versus corpuscular

Na segunda metade do século XVII, descobertas interessantes foram realizadas e novos conceitos foram introduzidos. O fenômeno de difração foi descoberto por Francesco Maria Grimaldi (1618-1663), através da observação de bandas de luz na sombra de um bastão iluminado por uma pequena fonte. Em seguida, Robert Hooke (1635-1703) refez os experimentos de Grimaldi sobre difração e observou padrões coloridos de interferência em filmes finos. Ele concluiu, corretamente, que o fenômeno observado devia-se à interação entre a luz refletida nas duas superfícies do filme e propôs que a luz originava-se de um movimento ondulatório rápido no meio, propagando-se a uma velocidade muito grande. Surgiam assim as primeiras idéias da teoria ondulatória, ligadas às observações de difração e interferência que eram conhecidas no caso das ondas sobre uma superfície de águas calmas.

Contribuições relevantes para a óptica foram feitas por Isaac

Newton (1642-1727). Em 1665 ele realizou experimentos de dispersão num prisma, que o levou à conclusão da composição espectral da luz branca. Também introduziu a teoria corpuscular que afirmava que “a luz é composta de corpos muito pequenos, emitidos por substâncias brilhantes”. Esta sua afirmação foi provavelmente baseada no fato de que raios de luz se propagam em linhas retas num meio homogêneo e daí a analogia com o movimento retilíneo que uma partícula descreve quando não existe força agindo sobre ela. A teoria corpuscular explicava, por exemplo, a formação de sombras, de imagens geradas por uma lente, etc.. Nesta época Newton aceitava as duas teorias, tanto a corpuscular como a ondulatória. A dispersão de luz por um prisma era explicada por ele com sendo devida à excitação de ondas no meio, por corpúsculos de luz; cada cor correspondia a um modo normal de vibração, sendo que a sensação de vermelho correspondia às vibrações mais longas, enquanto que o violeta, às mais curtas. Com o passar do tempo, Newton inclinou-se para a teoria corpuscular, provavelmente devido à dificuldade de se explicar a propagação retilínea da luz através de ondas que se estendiam em todas as direções. Newton também introduziu o telescópio por reflexão em 1668, para contornar os problemas de aberração cromática existentes nos telescópios por refração. Ele acreditava que estas aberrações presentes nas lentes jamais poderiam ser evitadas, o que se provou não ser verdade com a introdução do dubleto acromático no século XVIII.

S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações

Uma visão histórica 5

Christiaan Huygens (1629-1695), contemporâneo de Newton, inclinava-se para a interpretação ondulatória da natureza da luz. Esta concepção explicava certos fenômenos, como por exemplo, a interferência e a difração dos raios de luz. Ele estendeu a teoria ondulatória com a introdução do conceito das ondas secundárias (princípio de Huygens), com as quais deduziu as leis da reflexão e refração. Fez ainda várias outras contribuições importantes, como por exemplo, estabelecendo que a velocidade de propagação da luz variava inversamente com uma propriedade do material, denominada índice de refração (v ∝ 1/n). A dupla refração da calcita também foi descoberta por ele.

Independente da natureza corpuscular ou ondulatória da luz, um dado importante a ser obtido era sua velocidade de propagação. Muitos acreditavam que ela se propagava instantaneamente, com velocidade infinita. Porém, em 1676, Dane Ole Christensen Römer (1644-1710) sugeriu a medida da velocidade da luz pela verificação do intervalo entre eclipses da lua Io, de Júpiter, que se move praticamente no mesmo plano que este planeta se move em torno do Sol. A realização destas medidas, baseadas no princípio mostrado na Fig. 1.2, demonstrou que embora muito grande, a velocidade da luz é finita. Observando-se o diâmetro aparente de Júpiter, era possível saber como a distância deste à Terra, r(t), mudava com o tempo. Como o intervalo entre duas eclipses consecutivas variava com o tempo, associou-se esta variação à velocidade de propagação finita da luz, de acordo com Δτ = Δr/c, de onde se obteve c ≈ 2.3x108 m/s.

(Parte 1 de 7)

Comentários