Notação Indicial, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Baixe Notação Indicial e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! A-1 Apêndice A NOTAÇÃO INDICIAL A notação indicial é uma forma compacta de se representar e manipular sistemas de equações, combinações lineares e somatórios. Foi introduzida por Einstein para denotar grandezas em espaços de dimensão superior a 3. Embora vários conceitos em Mecânica do Cont́ınuo possam ser introduzidos empregando a notação indicial, limita-se o seu uso neste texto. De forma geral, ao se empregar ı́ndices, pode haver uma confusão entre a definição do conceito e a sua representação em notação indicial. Por exemplo, um vetor v é dado pela diferença de pontos do espaço euclidiano, enquanto a representação em notação indicial é indicada como vi. Logo, a definição de vetor é independente da sua representação em notação indicial. No entanto, em várias situações, a notação indicial é bastante útil, como por exemplo ao se trabalhar com equações constitutivas de materiais. Neste texto, emprega-se a notação direta para a definição de conceitos, sendo a notação indicial usada apenas para ilustrar e operar sobre os conceitos já definidos. Basicamente, deve-se definir o conceito de notação indicial, o significado de ı́ndices repetidos e livres e as operações empregando estes ı́ndices. A.1 Definição de Notação Indicial Um conjunto de variáveis x1, x2, . . . , xn é geralmente denotado como xi (i = 1, 2, . . . , n). Quando escrito isoladamente, o śımbolo xi indica qualquer uma das variáveis x1, x2, . . . , xn. O intervalo de variação do ı́ndice i (i = 1, 2, . . . , n) deve ser sempre dado. Este ı́ndice pode ser denotado como um subscrito ou sobrescrito, ou seja, xi ou x i são ambos válidos. Um sistema de notações usando ı́ndices é denominado notação indicial. A.2 Convenção de Somatório Considere a equação de um plano no sistema de referência cartesiano tridimensional com eixos x1, x2, x3 a1x1 + a2x2 + a3x3 = p, (A.1) sendo a1, a2, a3 e p constantes. Usualmente, a expressão anterior é escrita como ax+ by + cz = d. A notação indicial permite escrever as expressões numa forma compacta. Desta maneira, denotam-se as expressões como em (A.1). Essa equação pode ser escrita em termos do seguinte somatório 3∑ i=1 aixi = p. (A.2) A.2. Convenção de Somatório A-2 Introduzindo a convenção de somatório, denota-se a equação anterior como aixi = p. (A.3) A convenção é a seguinte: a repetição de um ı́ndice num termo representará um somatório com respeito a esse ı́ndice no seu intervalo de variação. O intervalo de variação de um ı́ndice é o conjunto de números inteiros de 1 a n. Em geral, na Mecânica do Cont́ınuo, n será 1, 2 ou 3 respectivamente para problemas uni, bi e tridimensionais. Como este ı́ndice é empregado apenas para uma soma é chamado ı́ndice falso ou repetido, pois o śımbolo usado no somatório se torna indiferente no resultado final. Assim, por exemplo aixi pode ser denotado como ajxj sem alterar o significado da expressão. Um ı́ndice que não é somado é denominado ı́ndice livre e indica o número de equações associado ao termo em notação indicial. Observe os exemplos a seguir, onde i e k representam ı́ndices livres, enquanto j é um ı́ndice repetido. Exemplo A.1 Expandir a expressão bijcj dada em notação indicial para i, j = 1, 2, 3. Neste caso, j é um ı́ndice repetido pois aparece duas vezes no termo bijcj. Aplica-se então a convenção do somatório, ou seja, bijcj = 3∑ j=1 bijcj = bi1c1 + bi2c2 + bi3c3. Por sua vez, i é um ı́ndice não-repetido ou livre e seu intervalo de variação também é de 1 a 3. Cada valor de i corresponderá a uma equação. Logo, tomando a expressão anterior vem que i = 1 → b11c1 + b12c2 + b13c3, i = 2 → b21c1 + b22c2 + b23c3, i = 3 → b31c1 + b32c2 + b33c3. Portanto, bijcj representa as 3 equações seguintes bijcj =  b11c1 + b12c2 + b13c3 b21c1 + b22c2 + b23c3 b31c1 + b32c2 + b33c3 . Verifica-se ainda que as 3 expressões anteriores indicam o produto de uma matriz [B] por um vetor {c}, ou seja, bijcj = [B]{c} =  b11 b12 b13b21 b22 b23 b31 b32 b33   c1 c2 c3  . 2 Exemplo A.2 Expandir a expressão αijβjk em notação indicial para i, j, k = 1, 2, 3. Observa-se que j é um ı́ndice repetido e aplica-se a convenção do somatório, ou seja, αijβjk = 3∑ j=1 αijβjk = αi1β1k + αi2β2k + αi3β3k. Neste caso, i e k são ı́ndices livres e para cada ı́ndice deve-se expandir 3 equações resultando num total de 9 equações. Considerando o ı́ndice i inicialmente vem que αi1β1k + αi2β2k + αi3β3k =  α11β1k + α12β2k + α13β3k α21β1k + α22β2k + α23β3k α31β1k + α32β2k + α33β3k . A.3. Delta de Kronecker A-5 Como i e j são ı́ndices livres no termo δij e ambos variam de 1 a 3, tem-se um total de 9 valores dados segundo a definição de δij por δ11 = δ22 = δ33 = 1, (A.5) δ12 = δ21 = δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = 0. (A.6) Em notação matricial, tem-se δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23 δ31 δ32 δ33  =  1 0 00 1 0 0 0 1  , ou seja, o delta de Kronecker se reduz à matriz identidade de ordem 3, podendo ser denotado como [δij ] = [I]. Exemplo A.5 Empregando-se as convenções da notação indicial e os valores dados em (A.5), mostrar as seguintes propriedades do delta de Kronecker. 1. δii = 3. Neste caso, i é um ı́ndice repetido e aplicando a convenção do somatório δii = 3∑ i=1 δii = δ11 + δ22 + δ33 = 1 + 1 + 1 = 3. 2. δimam = ai. Verifica-se que i é um ı́ndice livre. Variando-se i de 1 a 3, tem-se 3 equações. Já m é um ı́ndice repetido e aplica-se a convenção do somatório. Portanto δimam =  ∑3 m=1 δ1mam = δ11a1 + δ12a2 + δ13a3 = a1∑3 m=1 δ2mam = δ21a1 + δ22a2 + δ23a3 = a2∑3 m=1 δ3mam = δ31a1 + δ32a2 + δ33a3 = a3 = ai. 3. δimTmj = Tij. Os ı́ndices i e j são livres enquanto m é um ı́ndice repetido. Logo, expandindo o ı́ndice livre i e aplicando a convenção do somatório para m vem que δimTmj =  ∑3 m=1 δ1mTmj = δ11T1j + δ12T2j + δ13T3j = T1j∑3 m=1 δ2mTmj = δ21T1j + δ22T2j + δ23T3j = T2j∑3 m=1 δ3mTmj = δ31T1j + δ32T2j + δ33T3j = T3j = Tij . Em particular δimδmj = δij e δimδmjδjn = δimδmn = δin . (A.7) 4. δijδji = 3. Observa-se que i e j são ı́ndices repetidos e deve-se aplicar a convenção do somatório, ou seja, δijδji = 3∑ i,j=1 δijδji = 3∑ i=1 3∑ j=1 δijδji = 3∑ j=1 δ1jδj1 + δ2jδj2 + δ3jδj3 = (δ11δ11 + δ21δ12 + δ31δ13) + (δ12δ21 + δ22δ22 + δ32δ23) + (δ13δ31 + δ23δ32 + δ33δ33). A.4. SÍmbolo de Permutação A-6 Substituindo os valores dados em (A.5), tem-se que δijδji = 3. (A.8) 5. Se e1, e2, e3 são vetores unitários perpendiculares entre si, o produto interno ou escalar 1 destes vetores pode ser escrito como ei · ej = δij . (A.9) 2 A.4 Śımbolo de Permutação A Figura A.2 ilustra os ı́ndices i, j, k e 1, 2, 3 ordenados nos sentidos horário e anti-horário. Utilizam-se estes ı́ndices para definir o śımbolo de permutação eijk da seguinte forma e123 = e231 = e312 = 1 1, 2, 3 no sentido horário e213 = e132 = e321 = −1 1, 2, 3 no sentido anti-horário eijk = 0 nos demais casos . (A.10) Em outras palavras, o termo eijk se anula sempre que os valores de quaisquer dois ı́ndices coincidem, como por exemplo e112 = 0. Por sua vez, eijk = 1 quando os subscritos permutam na ordem 1, 2, 3, ou seja, no sentido horário. Finalmente, eijk = −1 caso a permutação seja no sentido horário. (a) 123 em sen- tido horário. (b) 123 em sentido anti- horário. (c) ijk em senti- do horário. (d) ijk em senti- do anti-horário. Figura A.2: Śımbolo de permutação. Como exemplo de aplicação, considere o determinante |A| de uma matriz [A] |A| = ∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a11a32a23 − a21a12a33 − a31a22a13. A equação anterior pode ser denotada como |A| = eijkai1aj2ak3 = 3∑ i,j,k=1 eijkai1aj2ak3 = 3∑ i=1 3∑ j=1 3∑ k=1 eijkai1aj2ak3, (A.11) 1Ver SeçãoB.1. A.4. SÍmbolo de Permutação A-7 sendo i, j, k ı́ndices livres e eijk o śımbolo de permutação. O delta de Kronecker e o śımbolo de permutação estão associados pela identidade (ver exerćıcio resolvido A.3) eijmeklm = δikδjl − δilδjk, (A.12) como pode ser comprovado manipulando-se os ı́ndices. Exemplo A.6 Mostrar que as seguintes relações expressas em notação indicial são válidas. 1. eijkejki = 6. Neste caso, i, j e k são ı́ndices repetidos e aplicando a convenção do somatório eijkejki = 3∑ i,j,k=1 eijkejki = 3∑ i=1 3∑ j=1 3∑ k=1 eijkejki = 3∑ i=1 3∑ j=1 eij1ej1i + eij2ej2i + eij3ej3i Lembrando a definição (A.10) do śımbolo de permutação, tem-se que eijk é igual a zero quando pelo menos dois ı́ndices são iguais (por exemplo, e112 = e212 = e211 = 0). Logo, na expressão anterior o somatório em j para cada termo do lado direito se reduz a 3∑ i,j=1 eij1ej1i = 3∑ i=1 ei11e11i + ei21e21i + ei31e31i = 3∑ i,ji=1 ei21e21i + ei31e31i, 3∑ i,j eij2ej2i = 3∑ i ei12e12i + ei22e22i + ei32e32i = 3∑ i=1 ei12e12i + ei32e32i, 3∑ i,j=1 eij3ej3i = 3∑ i=1 ei13e13i + ei23e23i + ei33e33i = 3∑ i=1 ei13e13i + ei23e23i. Portanto, somando as 3 expressões anteriores eijkejki = 3∑ i=1 ei21e21i + ei31e31i + ei12e12i + ei32e32i + ei13e13i + ei23e23i. De forma análoga, expandindo o somatório em i e mantendo apenas os termos não-nulos do śımbolo de permutação (ver definição (A.10)) vem que eijkejki = e321e213 + e231e312 + e312e123 + e132e321 + e213e132 + e123e231 = (−1)(−1) + (1)(1) + (1)(1) + (−1)(−1) + (−1)(−1) + (1)(1) = 6. 2. eijkajak = 0. De forma análoga ao caso anterior, i é um ı́ndice livre enquanto j e k são ı́ndices repetidos. Logo, expandindo i, empregando a convenção do somatório para i e j e a definição (A.10), tem-se que a expressão eijkajak é equivalente a eijkajak =  ∑3 j,k=1 e1jkajak = e123a2a3 + e132a3a2 = a2a3 − a3a2 = 0∑3 j,k=1 e2jkajak = e213a1a3 + e231a3a1 = a1a3 − a3a1 = 0∑3 j,k=1 e3jkajak = e312a1a2 + e321a2a1 = a1a2 − a2a1 = 0 . Logo, como resultado final tem-se que eijkajak = 0. A.6. Notações de diferenciação A-10 A.5.3 Fatoração Considere a seguinte expressão Tijnj − λni = 0, a qual define um problema de autovalor do tensor Tij, como será visto posteriormente. Verifica-se que na expressão anterior i e j são, respectivamente, ı́ndices livre e repetido. Em particular, empregam-se estes dois ı́ndices para o termo n. Para uniformizar os ı́ndices em n e fatorar a expressão, colocando o termo nj em evidência, emprega-se o delta de Kronecker de tal forma que ni = δijnj. Logo, verifica-se que Tijnj − λδijnj = 0→ (Tij − λδij)nj = 0. Observa-se que a expressão anterior pode ser denotada matricialmente como ([T ]− λ[I]){n} = {0}, ou seja, tem-se a forma padrão de um problema de autovalor. De forma geral, para se fatorar um termo denotado em notação indicial, deve-se compatibilizar os ı́ndices empregando o delta de Kronecker ou o śımbolo de permutação. A.5.4 Contração A operação de igualar dois ı́ndices distintos e somar os mesmos é conhecida como contração. Por exemplo, Tii é a contração de Tij , ou seja, Tii = T11 + T22 + T33. Considere a equação constitutiva de um material elástico linear isotrópico Tij = λθδij + 2µEij , a qual será discutida posteriormente. Logo, a contração Tii de Tij é dada por Tii = λθδii + 2µEii. Lembrando-se que δii = 3, obtém-se Tii = 3λθ + 2µEii. A.6 Notações de diferenciação As operações de derivação (gradiente, divergente e rotacional4) também podem ser representadas via notação indicial. Observe os seguintes exemplos, respectivamente, para as derivadas total e parcial de u du dxi = u,i , (A.19) ∂u ∂xi = u,i . (A.20) Considerando uma função u = u(aj(xi)), emprega-se a regra da cadeia para obter a derivada ∂u ∂xi da função u com relação a xi, ou seja, ∂u ∂xi = u,i = ∂u ∂aj ∂aj ∂xi = u,j aj ,i . (A.21) 4Ver Seção??. A.7. ExercÍcios Resolvidos A-11 Considerando uma função escalar a = a(xi), o seu gradiente em notação indicial é denotado como ∇a = ∂a ∂x1 e1+ ∂a ∂x2 e2+ ∂a ∂x3 e3 = a,i ei. (A.22) Por sua vez, o divergente de uma função vetorial u = u(xi) é expresso como divu =∇ · u =∂u1 ∂x1 + ∂u2 ∂x2 + ∂u3 ∂x3 = ui,i . (A.23) Finalmente, o rotacional de u é dado por ∇× u =eijk ∂uk ∂xj ei = eijkuk,j ei. (A.24) A.7 Exerćıcios Resolvidos Exerćıcio A.1 Considere as matrizes [ai] =  10 2  , [Bij] =  2 3 00 5 1 0 2 1  , [Cij] =  0 3 11 0 2 2 4 3  . Demonstrar a equivalência das seguintes expressões em notação indicial e em forma matricial. 1. Dji = Bij︸ ︷︷ ︸ (A) e [D] = [B]T︸ ︷︷ ︸ (B) . No termo (A), i e j são ı́ndices livres e expandindo os mesmos vem que D11 = B11 = 2, D12 = B21 = 0, D13 = B31 = 0, D21 = B12 = 3, D22 = B22 = 5, D23 = B32 = 2, D31 = B13 = 0, D32 = B23 = 1, D33 = B33 = 1. (i) Por sua vez, da equação (B) [D] = [B]T →  D11 D12 D13D21 D22 D23 D31 D32 D33  =  2 0 03 5 2 0 1 1  . (ii) Comparando-se os termos Dji em (i) e (ii), observa-se que são iguais, demonstrando a igualdade entre as expressões (A) e (B), ou seja, Dji = Bij é equivalente a [D] = [B] T . 2. bi = Bijaj︸ ︷︷ ︸ (A) e [b] = [B] [a]︸ ︷︷ ︸ (B) . Em (A), observa-se que i é um ı́ndice livre enquanto j é um ı́ndice repetido. Logo, expandindo i e aplicando a convenção do somatório para j, tem-se b1 = ∑3 j=1B1jaj = B11a1 +B12a2 +B13a3 = (2)(1) + (3)(0) + (0)(2) = 2, b2 = ∑3 j=1B2jaj = B21a1 +B22a2 +B23a3 = (0)(1) + (5)(0) + (1)(2) = 2, b3 = ∑3 j=1B3jaj = B31a1 +B32a2 +B33a3 = (0)(1) + (2)(0) + (1)(2) = 2. (i) A.7. ExercÍcios Resolvidos A-12 Da equação (B) [b] = [B] [a]→  b1b2 b3  =  2 3 00 5 1 0 2 1   10 2  =  (2)(1) + (3)(0) + (0)(2)(0)(1) + (5)(0) + (1)(2) (0)(1) + (2)(0) + (1)(2)  =  22 2  . (ii) Comparando-se os termos bi em (i) e (ii) observa-se que são iguais, demonstrando a igualdade entre as expressões (A) e (B), ou seja, bi = Bijaj e [b] = [B] [a]. 3. Dik = BijCjk︸ ︷︷ ︸ (A) e [D] = [B] [C]︸ ︷︷ ︸ (B) . Na equação (A), os ı́ndices i e k são livres os quais expandidos resultam em 9 equações. Aplicando a convenção de somatório ao ı́ndice j, tem-se D11 = B11C11 +B12C21 +B13C31 = (2)(0) + (3)(1) + (0)(2) = 3, D12 = B11C12 +B12C22 +B13C32 = (2)(3) + (3)(0) + (0)(4) = 6, D13 = B11C13 +B12C23 +B13C33 = (2)(1) + (3)(2) + (0)(3) = 8, D21 = B21C11 +B22C21 +B23C31 = (0)(0) + (5)(1) + (1)(2) = 7, D22 = B21C12 +B22C22 +B23C32 = (0)(3) + (5)(0) + (1)(4) = 4, D23 = B21C13 +B22C23 +B23C33 = (0)(1) + (5)(2) + (1)(3) = 13, D31 = B31C11 +B32C21 +B33C31 = (0)(0) + (2)(1) + (1)(2) = 4, D32 = B31C12 +B32C22 +B33C32 = (0)(3) + (2)(0) + (1)(4) = 4, D33 = B31C13 +B32C23 +B33C33 = (0)(1) + (2)(2) + (1)(3) = 7. . Efetuando a multiplicação [D] = [B] [C] indicada em (B) vem que [D] =  2 3 00 5 1 0 2 1   0 3 11 0 2 2 4 3  =  (2)(0) + (3)(1) + (0)(2) (2)(3) + (3)(0) + (0)(4) (2)(1) + (3)(2) + (0)(3)(0)(0) + (5)(1) + (1)(2) (0)(3) + (5)(0) + (1)(4) (0)(1) + (5)(2) + (1)(3) (0)(0) + (2)(1) + (1)(2) (0)(3) + (2)(0) + (1)(4) (0)(1) + (2)(2) + (1)(3)  =  3 6 87 4 13 4 4 7  . Comparando-se os termos Dik nas expressões anteriores, observa-se que são iguais, demonstransdo a igualdade entre as expressões (A) e (B), ou seja, Dik = BijCjk e [D] = [B] [C] . 2 Exerćıcio A.2 Considere os seguintes vetores e matrizes [ai] =  12 0  , [bi] =  02 3  , [Sij ] =  0 1 21 2 3 4 0 1  .