002 vetores e escalares

002 vetores e escalares

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

02. VETORES E ESCALARES2
UM POUCO DE TRIGONOMETRIA2
MÉTODO GEOMÉTRICO2
MÉTODO ANALÍTICO3
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES3
Multiplicação de um vetor por um escalar4
Produto escalar4
Produto vetorial5
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS7
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Prof. Romero Tavares da Silva

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02. Vetores e escalares

Algumas grandezas físicas ficam completamente definidas quando informamos um número e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa é 370C a informação está completa. A temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que a velocidade de um automóvel é de 50km/h não definimos completamente a informação. Não foi dito em que direção e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessa informação complementar - direção e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor.

Os vetores são representados por setas, e costuma-se representar um vetor com módulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de dois modos de representar os vetores, o método geométrico e o método analítico.

Um pouco de trigonometria

Vamos considerar um triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos b e c respectivamente. O teorema de Pitágoras diz que: a2 = b2 + c2

As funções seno e cosseno são definidas como:

αθ cossen == a αθ sencos == a

E do Teorema de Pitágoras, encontramos que: 1cossen 2 =+θ α ααθθθ sen coscottancos

ca

θ b

Método geométrico

A força é uma grandeza vetorial.

No método geométrico, a visualização dos vetores fica mais óbvia, mas não é adequado para a operações com diversos vetores.

Quando consideramos duas forças atuando sobre um dado corpo, o efeito resultante será igual à atuação de uma única força que seja a soma vetorial das duas forças mencionadas.

A soma desses dois vetores pode ser efetuada usando-se a regra do paralelogramo.

Método geométrico

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Método analítico

O método analítico consiste basicamente em definir um sistema de coordenadas cartesianas e decompor os vetores segundo as suas componentes nestes eixos.

Vamos considerar um sistema de coordenadas bidimensional, definido pelos eixos x e y , como mostrados na figura ao lado. O vetor a! tem compo- nentes cartesianas ax e ay que tem a forma:

ax = a . cosθ ay = a . senθ

Ou de maneira inversa:

xya a =θtan ay θ

axx

Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dado sistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:

onde jei são vetores unitários (ou versores) que apontam nas direções dos eixos x e y respectivamente e têm módulos iguais a um.

A soma de dois vetores será então definida como:

() () yx yx yx bajbaic bjbib e ajaia ondebac +++=⇒ yx bac e bac ondecjcic !

Multiplicação de vetores

As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, para expressar as relações que existem entre as diversas grandezas.

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Multiplicação de um vetor por um escalar

Sejam dois vetores a! e b! e um escalar k. Defi- nimos a multiplicação mencionada como:

O vetor ak! tem a mesma direção do vetor a! . Terá mesmo sentido se k for positivo e sentido contrário se k for negativo.

a! ak

Define-se o produto escalar de dois vetores a!

Produto escalar e b! como a operação:

onde ϕ é o ângulo formado pelos dois vetores.

Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeiro vezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Isso pode-se resumir na propriedade :

Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por uma força constante que atua ao longo de um percurso d:

Usando o conceito de vetor unitário encontramos que:

e de modo equivalente:

ij y
x

Podemos utilizar a decomposição de um vetor segundo as suas componentes cartesianas e definir o produto escalar:

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Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 5 e portanto:

zyx babababa ++=⋅ !!

Fica fácil perceber que:

Como ϕcosbaba=⋅ !! , temos que

.cos=ϕ , e assim poderemos calcular o ângulo entre os dois vetores, em função de suas componentes cartesianas:

zyxzyx zyx ba

Define-se o produto vetorial de dois vetores a!

Produto vetorial e b! como a operação:

e módulo c é definido como: ϕsenbac = onde c! é um vetor perpendicular ao plano defino pe- los vetores a! e b! e ϕ é o ângulo formado por esses dois últimos dois vetores.

Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força F! que atua em uma car- ga elétrica q que penetra com velocidade v! numa região que existe um campo magnéti- co B! :

ou ainda: F = q v B senϕ

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Usando a definição de produto vetorial, encon-

Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 6 tramos que:

z
ij y
x

kˆ De modo genérico, podemos definir o produto vetorial como:

e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitários, encontramos que:

Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode ser expresso como o determinante da matriz definida a seguir:

zyx zyx b a kji bac

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Solução de alguns problemas

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

02Quais são as propriedades dos vetores a! e b! tais que:

Para que c = a + b é necessário que θ = 0 pois c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

Portanto ba !!

Da equação acima, temos que:

Como para que c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 devemos ter

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

O vetor a! tem módulo de 3 unidades e está dirigido para Leste. O vetor b! está diri- gido para 350 a Oeste do Norte e tem módulo 4 unidades. Construa os diagramas vetoriais para a! + b! e b! - a! . Estime o módulo e a orientação dos vetores a! + b! e a! - b! a partir desse diagramas.

+== yxx bjbib b a y x x

OesteLeste

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Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 8 x bac bac cx = 3 - 2,29 = 0,71 cy = 3,27 x abd abd

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

32 Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpen- dicular á sua diferença.

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 39Mostre que num sistema de coordenadas destrógiro:

A definição de produto escalar é tal que: θcosbaba=⋅ !! , onde θ é o ângulo formado pelos vetores. Logo:

Os outros itens seguem-se como extensão desses anteriores.

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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

A soma de três vetores é igual a zero, como mostra a figura. Calcule: α b) ca !! ⋅= - a c cosθ = -a c (a/c) = - a2 c) cb !! ⋅ = - b c cosα = - b c (b/c) = - b2

Podemos concluir que:

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 46Para o problema anterior, calcule:

Suponhamos que o eixo z seja perpendicular ao pla- no definido pelos vetores a! e b! .

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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

47Produto escalar em função das coordenadas: Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como:

mostre que:

zyx babababa ++=⋅ !!

Por definição temos que:

Usando os resultados do problema 39, resolvido anteriormente, temos a resposta pedida.

zyx babababa ++=⋅ !!

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

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