003 movimento retilineo

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(Parte 1 de 2)

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

03. MOVIMENTO RETILÍNEO2
POSIÇÃO E DESLOCAMENTO2
VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA3
VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR3
ACELERAÇÃO4
ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL4
Exemplo:6
ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE7
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS8
158
1910
341
381
411
4312
4512
5413
5714
6114
6915
7815
7916

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03. Movimento retilíneo

Vivemos num mundo que tem com uma das principais característica o movimento.

Mesmo corpos que aparentemente estão em repouso, só estão neste estado em relação a um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo à nossa volta parece estar em repouso. E de fato, tudo está em repouso em relação ao nosso corpo. Mas não está em repouso em relação à Lua, ou ao Sol. Se estivéssemos deitado em uma cama de um vagão de um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos pareceriam parados, apesar desse conjunto se mover em relação aos trilhos. Daí concluirmos que movimento (ou repouso) é uma característica de um corpo em relação a um certo referencial específico

Quando um objeto real está em movimento, além de sua translação ele também pode tanto girar quanto oscilar. Se fôssemos sempre considerar essas características, o movimento de um corpo seria sempre um fenômeno bastante complicado de se estudar. Acontece, que em diversas situações o fenômeno mais importante é a translação. Desse modo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estudá-lo como o único existente.

Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o movimento de translação podem ser estudados como partículas, porque todas as partes do corpo com esse movimento descreverão a mesma trajetória.

Num estágio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matematicamente, uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal maneira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento.

Em resumo: vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que tenham apenas movimento de translação, e o caso mais simples será quando ele apresentar um movimento retilíneo.

Posição e deslocamento

A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu movimento. O seu movimento é completamente conhecido se a sua posição no espaço é conhecida em todos os instantes.

PQ
xixf

Vamos considerar que esse movimento componha-se de uma trajetória retilínea que tem como posição inicial o ponto P com coordenada xi no instante ti e posição final com coordenada xf no instante tf . O deslocamento ∆x é uma medida da dife- rença entre as posições inicial xi que a partícula ocupou e a sua posição final xf

∆x = xi - xf e o intervalo de tempo é expresso como:

∆t = tf - ti x Q xf

xiP α

ti tf t

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À medida que o intervalo de tempo ∆t diminui o ponto Q se aproxima do ponto P, na figura anterior. No limite quando ∆t → 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a reta que os une passa a coincidir com a própria tangente à curva no ponto Q , ou seja v = tanα . Assim, a velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico espaço versus tempo é a tangente à curva neste ponto específico.

Velocidade média e velocidade escalar média

A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua posição varia com o tempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofisticação dos nossos instrumentos de medida.

A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso:

t percorridadistânciav ∆

Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120km durou 1,5h nós dizemos que o percurso foi vencido com uma velocidade escalar média de 80km/h . Na vida cotidiana essa informação é suficiente para descrever uma viagem.

Já a velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o tempo necessário para esse evento.

t xv ∆

Para calcularmos a velocidade média da viagem entre as duas cidades, deveríamos saber a distância em linha reta entre elas. Essa distância seria o deslocamento, que foi definido anteriormente.

No movimento unidimensional percurso e deslocamento são conceitos praticamente idênticos, de modo que só existirá uma diferença marcante entre as velocidades média e escalar média nos movimentos bidimensional ou tridimensional. Percurso é a distância percorrida por uma partícula num certo intervalo de tempo; enquanto que deslocamento é a diferença entre as posições inicial e final da partícula no intervalo de tempo considerado.

Velocidade instantânea e velocidade escalar

A velocidade instantânea v nos dá informações sobre o que está acontecendo num dado momento.

Ela é definida como:

dtdxt xLimv t = ∆

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Como foi mencionado, a velocidade média representa o que aconteceu entre o início e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea em um dado momento representa o que aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantâneas de cada um dos momentos temos uma informação completa de como variou a velocidade ao longo de toda viagem.

A velocidade escalar é o módulo da velocidade é a velocidade sem qualquer indicação de direção e sentido.

No movimento retilíneo e uniforme a partícula se move com velocidade constante. A sua característica é que a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média. Portanto a equação que define este tipo de movimento é:

X = v t Aceleração

A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade varia com o tempo. Ela nos dá informações de como a velocidade está aumentando ou diminuindo à medida que o corpo se movimenta.

Para analisar a variação da velocidade durante um certo intervalo de tempo ∆t nós definimos a aceleração média deste intervalo como:

tv t v a if if ∆

Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo considerado, deveremos calcular a aceleração instantânea:

dtdvt va Limt = ∆

Quando um corpo em movimento está aumentando a sua velocidade temos que a sua aceleração será positiva pois:

t va

Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua aceleração será negativa.

Aceleração constante - um caso especial

O exemplo anterior do movimento de um automóvel que varia a sua velocidade é uma situação típica de translação com aceleração constante em alguns trechos e nula em outros.

Vamos considerar o movimento com velocidade constante de uma partícula, entre um instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0 a partícula se

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A velocidade média da partícula neste intervalo entre t0 e t é dada por:

onde a última igualdade é válida apenas para movimentos com aceleração constante, como esse caso específico.

Podemos colocar as equações anteriores com a seguinte forma que define x :

t v

Como a aceleração é constante, podemos usar a definição de aceleração média que é a própria aceleração constante neste caso presente:

v a −

Usando este valor de v na equação que define x , encontraremos:

t ttav t vxx e rearrumando os vários termos teremos:

Usando o valor de ( t - t0 ) na equação que define x encontraremos:

v x 0 v x

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Se estivéssemos considerando um movimento tridimensional, com aceleração constante nas três direções, poderíamos estender facilmente os resultados anteriores para as seguintes equações vetoriais:

rravv tavv tatvrr onde fizemos o instante inicial t0 = 0 . A última equação é conhecida como equação de Torricelli.

Exemplo:

Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta desenvolvendo uma velocidade de 15m/s quando resolve aumentá-la para 35m/s usando uma aceleração constante de 4m/s2 . Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve diminui-la para 5m/s usando uma aceleração constante de 10m/s2 .

Trace os gráficos de x versus t , v versus t e a versus t para o todo o movimento mencionado.

t a

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Tabela associada ao exemplo:

Intervalo Aceleração Velocidade Espaço 0 → 5sNulaConstanteReta ascendente

5s → 10sPositivaReta ascendenteParábola com concavidade voltada para cima

10s → 20sNulaConstanteReta ascendente

20s → 23sNegativaReta descendenteParábola com concavidade voltada para baixo

> 23sNulaConstanteReta ascendente

Aceleração de queda livre

Podemos particularizar o conjunto de equações vetoriais anteriormente deduzidas, para a situação do movimento de queda livre.

Para todos os efeitos práticos, um corpo que cai próximo à Terra, se comporta como se a superfície fosse plana e a aceleração da gravidade g fosse constante. Iremos usar valor de g =9,8m/s2 , e considerar o eixo z apontando para cima da superifície da Terra.

Para a aceleração, temos que:
Para o espaço percorrido, temos que:

Para a velocidade desenvolvida pela partícula, temos que:

v = v0 - gt

() 0202 2 zzgvv −−= Esta última equação é conhecida como equação de Torricelli.

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Solução de alguns problemas

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

15Dois trens trafegam, no mesmo trilho, um em direção ao outro, cada um com uma velocidade escalar de 30km/h . Quando estão a 60km de distância um do outro, um pássaro, que voa a 60km/h , parte da frente de um trem para o outro. Alcançando o outro trem ele volta para o primeiro, e assim por diante. (Não temos idéia da razão do comportamento deste pássaro.)

Vamos considerar d = 60km e d1 a distância que o trem da direita viaja enquanto o pássaro decola dele e atinge o tem da esquerda e t1 o tempo gasto nesta primeira viagem.. A velocidade de cada trem é v = 30km/h e a velocidade do pássaro é vp = 60km/h .

Para a primeira viagem do pássaro, temos: d

D1 d1

d = D1 + d1 = vpt1 + vt1 = ( vp + v )t1 pvv dt +

Para a segunda viagem, temos:

d2D2

p v

Para a terceira viagem, temos

D3 d3

d = 2d1 + 2d2 + ( d3 + D3 )

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Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 9 p v vt v vtt v vt v vt ou ainda p v vtt v vt v vtt +

Por outro lado, já mostramos que:

= h v dt

Podemos inferir então que:

− p N v pN v vtt

Concluímos que tN é o ene-ésimo termo de uma progressão geométrica cujo primeiro termo a1 = t1 = 40min e razão313 21 pvv vq .

a)Quantas viagens o pássaro faz de um trem para o outro, até a colisão?

As viagens do pássaro ficarão cada vez com um percurso menor até tornarem-se infinitesimais, por isso serão necessárias um número infinito de viagens de um trem para o outro.

b)Qual a distância total percorrida pelo pássaro? O tempo necessário para o percurso será a soma dos termos da progressão:

() q qaS e quando |q| < 1 e N tende a infinito:

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Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 10 vdv v v dv v t vtq aS p ou seja hv dt 1

Dp = vpt = 60km/h . 1h = 60km

Uma forma direta de resolver este problema, mas que no entanto perde-se todo o detalhamento dos acontecimentos, é calcular o tempo necessário para a colisão dos dois trens:

d = ( v + v ) t = 2vt ⇒ hv dt 1

Esse tempo t é aquele que o pássaro tem para as suas viagens, logo a distância percorrida será:

Dp = vp t = 60km

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

19Qual a posição final de um corredor, cujo gráfico velocidade x tempo é dado pela figura ao lado, 16 segundos após ter começado a correr?

A distância percorrida por uma partícula é a área abaixo da curva num gráfico v versus t . Podemos demonstrar a afirmação anterior de vários modos, por exemplo:

Método 1:

dtvdxd d = Área = A1 + A2 + A3 + A4 onde A1 é a área do triângulo que tem como base (0-2), A2 é a área do retângulo que tem com base (2-10) , A3 é a área do paralelogramo que tem como base (10- 12) e A4 é a área do retângulo que tem como base (1-16).

d = 100m v(m/s)

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Método 2: Usar as equações da cinemática diretamente para cada percurso, e calcular as distâncias correspondentes.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

34 A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se um car- ro, partindo do repouso, também pudesse imprimir essa aceleração, em quanto tempo atingiria a velocidade de 100km/h ? v = 100km/h =sm3600 sm sma t = 0,54s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

38Um jumbo precisa atingir uma velocidade de 360km/h para decolar. Supondo que a aceleração da aeronave seja constante e que a pista seja de 1,8km , qual o valor mínimo desta aceleração? v = 360km/h d = 1,8km v0 = 0 a = 36000 km/h2 = 2,7 m/s2 se g = 9,8m/s2 teremos a = 0,27 g

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

41Um carro a 97km/h é freiado e pára em 43m .

a)Qual o módulo da aceleração (na verdade, da desaceleração) em unidades SI e em unidades g ? Suponha que a aceleração é constante.

v0 = 96km/h = 26,7 m/s d = 43m v = 0 b)Qual é o tempo de frenagem? Se o seu tempo de reação treação , para freiar é de 400ms , a quantos "tempos de reação" corresponde o tempo de frenagem? v = v0 - at ∴ t = v0/a ou seja: t = 3,22s treação = 400ms = 400 . 10-3s = 0,4s

T = t + treação T= 3,62s

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Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

43Em uma estrada seca, um carro com pneus em bom estado é capaz de freiar com uma desaceleração de 4,92m/s2 (suponha constante).

a)Viajando inicialmente a 24,6ms , em quanto tempo esse carro conseguirá parar? v = v0 - at ∴ t = v0/a = 24,6/4,92 t = 5s v0 = 24,6 m/s v = 0 b)Que distância percorre nesse tempo? d = 61,5m c)Faça os gráficos x versus t e v versus t para a desaceleração.

x(t) = 24,6t - 2,46t2 em metrosv(t) = 24,6 - 4,92t em m/s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

45Os freios de um carro são capazes de produzir uma desaceleração de 5,2m/s2.

a)Se você está dirigindo a 140km/h e avista, de repente, um posto policial, qual o tempo mínimo necessário para reduzir a velocidade até o limite permitido de 80km/h ? v = v0 - at t = (v0 - v)/a = 16,8/5,2 t=3,2s v0 = 140km/h = 39,2m/s v = 80km/h = 2,4m/s a = 5,2m/s2 x(t) v(t)

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Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 13 b)Trace o gráfico x versus t e v versus t para esta desaceleração.

(Parte 1 de 2)

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