007 trabalho e energia cinetica

007 trabalho e energia cinetica

(Parte 1 de 2)

Versão preliminar 7 de setembro de 2002

07. TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA2
MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO COM FORÇA CONSTANTE2
TRABALHO EXECUTADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL2
Análise unidimensional3
Análise tridimensional4
TRABALHO REALIZADO POR UMA MOLA4
UMA PARTÍCULA EM QUEDA LIVRE6
ENERGIA CINÉTICA7
TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINÉTICA7
POTÊNCIA7
Potência média7
Potência instantânea8
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS9
049
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07. Trabalho e energia cinética

Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia. Se uma força executou um trabalho W sobre um corpo ele aumentou a energia desse corpo de W .

Esse definição, algumas vezes parece não estar de acordo com o nosso entendimento cotidiano de trabalho. No dia-a-dia consideramos trabalho tudo aquilo que nos provoca cansaço. Na Física se usa um conceito mais específico.

Movimento em uma dimensão com força constante

Se você carrega uma pilha de livros ao longo de uma caminho horizontal, a força

O trabalho realizado por uma força constante é definido como o produto do deslocamento sofrido pelo corpo, vezes a componente da força na direção desse deslocamento. que você exerce sobre os livros é perpendicular ao deslocamento, de modo que nenhum trabalho é realizado sobre os livros por essa força. Esse resultado é contraditório com as nossas definições cotidianas sobre força, trabalho e cansaço!

Trabalho executado por uma força variável

Para uma análise inicial, vamos considerar o gráfico do trabalho versus deslocamento para uma força constante que atua na direção do deslocamento.

Como foi definido anteriormente

W = F d que é a área debaixo da curva, ou seja o retângulo compreendido entre as posições inicial e final vezes o valor da força aplicada. Ou seja:

W = 40 . (3,8 - 2) = 72Joules

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Análise unidimensional

Quando está atuando sobre um corpo uma força variável que atua na direção do deslocamento, o gráfico da intensidade da força versus o deslocamento tem uma forma como a da figura ao lado.

O trabalho executado por essa força é igual a área abaixo dessa curva. Mas como calcular essa área se a curva tem uma forma genérica, em princípio?

Uma primeira aproximação para o cálculo dessa área seria dividir a área a ser calculada em pequenos retângulos, como esses pontilhados da figura ao lado.

A área abaixo da curva contínua seria aproximada pelo retângulo definido pela reta pontilhada. Se chamarmos o trabalho entre as posições 2 e 2,6 de δWi , teremos como aproximação para esse trabalho o produto da força F(xi) = 2,7 vezes o deslocamento δxi = 2,6 - 2,0 = 0,6 . Ou seja:

δWi = F(xi)δxi

O trabalho total, ao longo de todo o percurso considerado será a soma dos trabalhos de cada pequeno percurso:

W = ∑i δWi = ∑i F(xi)δxi

A aproximação da curva pelos retângulos vai ficar tanto mais próxima do real quanto mais subdivisões conside- rarmos. E no limite em que δxi for muito pequeno a aproximação será uma igualdade. Ou seja:

xxFLimW δ)(

A equação anterior é a própria definição de integral, e desse modo o trabalho executado por uma força variável entre uma posição inicial i e uma posição final f será:

i dxxFW )(

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Análise tridimensional

Vamos considerar uma força

)(rF !! que atua em um corpo de mas- sa m , ao longo de uma trajetória que vai do ponto inicial i até o ponto final f , ao longo de uma curva C onde a integração é considerada ao

i

longo da trajetória usada pelo corpo.

De modo geral a força é considerada como:

onde a integração é feita ao longo da curva C que define a trajetória do corpo.

Trabalho realizado por uma mola

Vamos analisar o movimento de um sistema composto por um bloco de massa m que está sobre uma superfície horizontal sem atrito, e tem preso a si uma mola. A outra extremidade da mola está fixa. Quando a mola está num estado relaxado ela não está distendida ou comprimida. Nessa situação ela não exerce força alguma no bloco.

Mola relaxada x = 0

Quando o bloco se desloca da posição relaxada ou de equilíbrio a mola exerce sobre ele uma força restauradora que para que ele retorne à posição de equilíbrio original. Quando o deslocamento é na parte positiva do eixo x a força restauradora aponta para o sentido negativo desse eixo, e quando o deslocamento se dá na parte negativa do eixo x a força restauradora aponta para o sentido positivo desse eixo.

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Quando o deslocamento do bloco é muito pequeno em comparação à dimensão da mola podemos considerar o que é chamado de pequenas oscilações, e neste caso podemos dizer que a força restauradora é proporcional ao deslocamento do bloco em relação à sua posição de equilíbrio. essa aproximação é também conhecida como Lei de Hooke, e pode ser expressa do seguinte modo:

onde chamamos k de constante elástica da mola. Mola distendida

x = 0

Se o bloco se deslocou na parte positiva do eixo x , temos que xir=! e portanto a força aponta para o sentido negativo do eixo: ixkFˆ −=

Mola comprimida

x = 0

Se o bloco se deslocou na parte negativa do eixo x , temos que xirˆ −=! e por- tanto a força aponta para o sentido positivo do eixo: ixkF=! .

O trabalho realizado pela mola para levar o corpo de uma posição inicial até uma posição final será:

() rdrkrdFW fi f i

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Como o deslocamento se dá no eixo x , temos que:

= dxxrdr dxird logo, o trabalho realizado pela mola será xf i

Quando uma partícula se movimenta sob a ação

Uma partícula em queda livre da gravidade, esta é a única força que nela atua. Quando a partícula estiver subindo, o desloca- mento elementar rd! e a força peso têm sentidos contrá- rios, logo o trabalho executado pela força peso entre as posições inicial e final será:

fi f i if dymgdyjjmgW ˆ

Wif = - mg ( yf - yi )

yfinal

Partícula subindo

início

Quando a partícula estiver descendo, o desloca- mento elementar rd! e a força peso têm mesmo sentido, logo o trabalho executado pela força peso entre as posições inicial e final será:

fi f i if dymgdyjjmgW ˆ

Wif = mg ( yf - yi )

yinício

Partícula descendo final

Quando a partícula está subindo a força peso executa uma trabalho negativo, e como conseqüência diminui a energia cinética da partícula. Por outro lado, quando a partícula está descendo a força peso executa uma trabalho positivo, e como conseqüência aumenta a energia cinética da partícula.

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Energia cinética

Define-se a energia cinética de uma partícula de massa m que viaja com velocidade v , como:

Mostraremos adiante que o trabalho realizado pela resultante de forças que atua em uma corpo é igual à variação da sua energia cinética, ou seja:

Wif = ∆K = Kf - Ki

Teorema do trabalho - energia cinética

Considere uma partícula de massa m que se move sob a ação de uma resultante de forças F . O trabalho W realizado por esta força dobre a partícula será:

fif i dxmadxxFW )( mas, por outro lado

() () ( )dvmvdtdtdvdt dxmdtdtdxdt dvmdxdt

Considerando que

Potência

A potência mede a capacidade de um sistema produzir (ou absorver) energia. Ela é a razão entre a energia produzida (ou absorvida) e o intervalo de tempo necessário para essa produção (ou absorção).

Dependendo do nosso interesse ou dos nossos instrumentos podemos desejar medir a potência média ou potência instantânea.

Potência média

Nos dá a medida da energia produzida (ou absorvida) W num certo intervalo de tempo t .

t WP =

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Potência instantânea

Nos dá a medida da energia produzida (ou absorvida) num intervalo de tempo muito pequeno, daí instantânea. É útil quando queremos acompanhar a produção (ou absorção) de energia de maneira precisa.

dtdWt vFPdt

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Solução de alguns problemas

Capítulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

04Um objeto de 102kg está inicialmente movendo-se em linha reta com uma velocidade de 53m/s . Se ele sofre uma desaceleração de 2m/s2 até ficar imóvel:

a)Qual a intensidade da força utilizada?

Decompondo as forças segundo eixos cartesianos, encontramos:

maF

v0v = 0

Logo: F = ma = 204N b)Qual a distância que o objeto percorreu antes de parar? a v dadvv 2 c)Qual o trabalho realizado pela força de desaceleração? Podemos calcular o trabalho de duas maneiras equivalentes:

∴ W = - 143.259Joules

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Capítulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

09A figura ao lado mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso P . Suponha que o atrito seja desprezível e que as duas polias de baixo, às quais está presa a carga, pesem juntas 20N . Uma carga de 840N deve ser levantada 12m .

a)Qual a força mínima F! necessária para levantar a carga?

Ao puxar a corda exercendo a forçaN! , executaremos um certo trabalho W

. Ao elevar o peso P , o conjunto de roldanas executará, também, um certo trabalho. Esses dois trabalhos serão iguais, pois a energia em questão é aquela que fornecemos ao atuar com a força F! . A força mínima que o con- junto de roldanas deve fazer atuar sobre o corpo para elevá-lo com velocidade constante de uma altura H é igual ao peso do corpo, logo:

W = P H Para elevar o corpo de uma altura H , deveremos puxar a corda ( com F! ) de um comprimento L , logo:

W = F L e como esses trabalhos são iguais:

Para descobrir qual a relação entre H e L deste problema, vamos fazer uma analogia com outros tipos de arranjos de roldanas.

F = PF
F = P/2F
F = P/3F

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No arranjo mais simples, o da esquerda da figura anterior, temos 1 corda e um tirante. No arranjo seguinte temos 2 cordas e um tirante e no terceiro arranjo temos 3 cordas e um tirante. No nosso problema temos 4 cordas e um tirante, logo:

H = L/4 F = P/4 = ( 840 + 20)/4= 215N b)Qual o trabalho executado para levantar a carga até a altura de H = 12m ?

W = P H = (840 + 20) 12 = 10.320Joule c)Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? L = 4H = 48m d)Qual o trabalho executado pela força F! para realizar esta tarefa?

W = F L = 10.320Joules

Capítulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

11Uma arca de 50kg é empurrada por uma distância de 6m , com velocidade constante, numa rampa com inclinação de 300 por uma força horizontal constante. O coeficiente de atrito cinético entre a arca e a rampa é 0,20 .

a)Calcule o trabalho realizado pela força aplicada.

Como a arca se move com velocidade constante, a aceleração é nulo e portanto:

Decompondo as forças, encontramos:

0sen 0cos

x

aF! d

F = Fa - P senθ = µC N + P senθ Mas Fa = µC N , logo

F = P ( senθ + µC cosθ )

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Cap 07 romero@fisica.ufpb.br 12 b)Calcule o trabalho realizado pelo peso da arca.

dPWP

!! ⋅== - P d senθ = - 1.470Joules c)Calcule o trabalho realizado pela força de atrito.

dFW a

!! ⋅== - Fa d = µC N d= µC P d cosθ = -509,2

É fácil perceber que é nulo o trabalho executado pela resultante de forças. Podemos mostrar isso de diversas maneiras:

O trabalho executado pela normal é nulo pois ela é perpendicular ao vetor deslocamento.

WR = ∆K = 0

Capítulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

17Qual o trabalho realizado por uma força jixF32+=! (em Newtons) , onde x está em metros, que é exercida sobre uma partícula enquanto ela se move da posição

(em metros) ? ri = ( 2, 3 ) rf = ( -4 , -3 )

Como não foi mencionada a trajetória, podemos escolher diversos percursos para a partícula entre os pontos inicial e final. Vamos calcular o trabalho usando duas trajetórias: a reta que une os dois pontos e uma parábola que passa por eles. Como já foi dito anteriormente:

a)Vamos considerar inicialmente a trajetória retilínea y(x) = x + 1

A imposição da trajetória no cálculo da integral acontece quando usamos na força e nas diferenciais a dependência y(x) definida pela trajetória.

dxdx dyxyxFdxxyxFrdF yx

Teremos desse modo, todo o integrando como função de x .

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Neste problema:

e 1=

logo b)Vamos considerar inicialmente a trajetória parabólica y = - x2/2 + 5 .

Neste problema:

e xdx

Não foi por acaso que o resultado do trabalho executado entre dois pontos, por essa força, não dependeu da trajetória. Existe uma categoria de forças - chamadas forças conservativas - para as quais o trabalho entre dois pontos só depende desses pontos. De modo geral, uma força ),(trF !! é conservativa quando o seu rotacional é nulo, ou seja:

Capítulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

26Uma força única age sobre um corpo que está se movendo em linha reta. A figura a seguir mostra o gráfico da velocidade em função do tempo para esse corpo. Determine o sinal (positivo ou negativo) do trabalho realizado pela força sobre o corpo nos intervalos AB , BC, CD e DE

ABNeste intervalo a curva é uma reta, que passa pela origem, e portanto a velocidade é uma função crescente do tempo até atingir um certo valor v0 , e tem a forma:

v = a1 t

O movimento é unidimensional e a velocidade é crescente, logo a força atua na direção do deslocamento e desse modo:

v
BC
A D t
0t1 t2 t3 t4

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BCNeste intervalo a velocidade é constante v0 , logo a aceleração é nula e portanto a força resultante também é nula. Consequentemente o trabalho da força resultante será nulo:

WBC = 0

CDNeste intervalo a velocidade é decrescente, iniciando o intervalo com valor v0 e terminando com velocidade nula. A forma funcional é do tipo:

v = v0 - a2 ( t - t2 ) onde a2 > 0 . O movimento é unidimensional e a velocidade é decrescente, logo a força atua na direção contrária ao deslocamento e desse modo:

DENeste intervalo o corpo começa a recuar, com a mesma aceleração a2 do intervalo anterior.

v = - a2 ( t - t3 )

O módulo da velocidade aumenta e ela assume valores negativos cada vez maiores. Ao contrário do item anterior, o corpo está sendo acelerado e temos força e deslocamento no mesmo sentido.

Capítulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

27Uma mangueira de incêndio é desenrolada puxando-se horizontalmente uma de suas extremidades ao longo de uma superfície sem atrito com velocidade constante de 2,3m/s . A massa de 1m de mangueira é 0,25kg .Qual a energia cinética fornecida para desenrolar 12m de mangueira?

A força F! é uma força variável porque à medida que a mangueira é desenrolada uma maior parte dela passa a se movimentar em contato com o solo e atritando-se com ele. Como o atrito vai aumentado a força externa deve aumentar para que a mangueira desenrolada tenha velocidade constante.

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