008 conservação da energia

008 conservação da energia

(Parte 1 de 2)

Versão preliminar 10 de setembro de 2002

08. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA2
FORÇAS CONSERVATIVAS E NÃO-CONSERVATIVAS3
TRABALHO E ENERGIA POTENCIAL4
FORÇAS CONSERVATIVAS - ENERGIA MECÂNICA4
Energia potencial elástica5
Energia potencial gravitacional5
CÁLCULO DA TRAJETÓRIA A PARTIR DO POTENCIAL6
USANDO A CURVA DA ENERGIA POTENCIAL6
FORÇAS NÃO CONSERVATIVAS9
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS10
710
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08. Conservação da energia

Quando exigimos das pessoas que moram em nossa casa que apaguem a luz ao sair de um aposento, não deixem a televisão ligada à noite enquanto dormem, fechem bem a torneira para que não fique pingando, ou, ainda, abaixem a chama do gás quando a água ferveu, estamos demonstrando preocupação com o desperdício! Desperdício significa que algo útil foi jogado fora sem ter sido aproveitado - foi desperdiçado.

A água da torneira que pinga vai embora pelo ralo e a gente nem percebe. E uma água nova entra na caixa d’água, em substituição àquela que foi desperdiçada! Agora pare e pense em quantas vezes você já ouviu alguém dizendo esta frase, bastante conhecida: “Nada se perde, tudo se transforma.” Essa frase é de Lavoisier, um famoso cientista francês do século 18. Podemos entender esta frase, por exemplo, quando colocamos água numa panela e a aquecemos, podemos ver que a água vai evaporando e o seu nível na panela vai diminuindo. Isso não significa que a água é perdida mas que está se transformando em vapor d’água!

E a água que escorre pelo ralo, também se transforma? Podemos pensar em termos de utilidade, isto é, a água que estava na caixa-d’água era útil, mas, depois que se foi pelo ralo, perdeu sua utilidade. Se quisermos utilizar novamente a água que se foi, teremos que pagar à companhia de água e esgoto, para que trate mais água e que esta seja enviada pelo encanamento até a nossa caixa-d’água! Ou seja, haverá um custo na reutilização da água que já foi utilizada.

No nosso dia-a-dia, usamos muito a expressão “desperdício de energia”, que se refere ao desperdício dos vários tipos de energia, como, por exemplo: - Energia térmica: quando deixamos uma geladeira aberta, haverá um custo para que seu interior se esfrie novamente. - Energia elétrica: banhos de chuveiro elétrico demorados geram enorme consumo de eletricidade, que também terá um custo. - Energia química: carros mal regulados consomem mais do que o normal, aumentando assim o gasto de combustível.

Todas essas transformações, cuja energia não pode ser reaproveitada, são chamadas de transformações. Ou seja, é impossível pegar o frio que sai da geladeira enquanto a porta está aberta e colocá-lo de volta dentro da geladeira. É impossível pegar a eletricidade que foi usada no chuveiro elétrico e colocá-la de volta no fio. É impossível usar o gás que saiu do escapamento de um automóvel, para encher novamente o tanque de gasolina!

A maioria das transformações de energia são do tipo irreversível. Isso significa que a energia útil se transformou num outro tipo de energia e não pode ser reutilizada.

Uma pequena parte das transformações são do tipo reversível, ou seja, a energia pode ser transformada em outra forma de energia e depois voltar a ser o que era. Um sistema que tem essa propriedade é chamado de sistema conservativo .

Telecurso de Física - 2º grau do Telecurso 2000- Aula 16

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Forças conservativas e não-conservativas

Uma força conservativa caracteriza-se por executar um trabalho nulo quando se considera um percurso fechado.

No sistema massa - mola, quando a massa retorna a um dado ponto, ela tem a mesma energia cinética da passagem anterior, com a mesma capacidade de produzir trabalho, portanto o trabalho realizado pela mola foi nulo, neste percurso fechado.

A energia potencial está sempre associada a uma força. A energia potencial de um corpo representa a capacidade dele produzir energia cinética ou, de maneira mais genérica, transformar essa energia num outro tipo de energia. Um corpo que está numa certa altura acima do solo, tem energia potencial gravitacional. Quando solto, ele cairá em direção ao solo, transformando essa energia potencial em energia cinética à medida que cai. Se colocarmos no solo uma mola numa posição adequada, o corpo irá atingi-la e comprimi-la até parar. Em síntese: a energia potencial gravitacional do início do movimento do corpo foi transformada totalmente em energia cinética que por sua vez foi transformada totalmente em energia potencial da mola.

Essas mudanças de forma de energia se processaram sem perdas porque eram conservativas as forças envolvidas na situação descrita.

Não podemos associar energia potencial com uma força não-conservativa (tal como a força de atrito) porque a energia cinética de um sistema em que tais forças atuam não retorna ao seu valor inicial, quando o sistema recupera a sua configuração inicial.

Vamos considerar uma força conservativa que atua sobre uma partícula ao longo de um percurso fechado, indo do ponto A até o ponto B pelo caminho 1 da figura ao lado, e voltando de B para A pelo caminho 2 . Temos então que:

A

Mas como a força é conservativa, ir e voltar pelo mesmo caminho 2 será apenas uma questão de sinal:

WBA,2 = - WAB,2 e finalmente:

ou seja: o trabalho para ir do ponto A até o ponto B independe do percurso quando a força for conservativa. Esse trabalho será o mesmo caso se utilize o percurso 1 , 2 ou qualquer outro percurso.

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Trabalho e energia potencial

Quando a força for conservativa, podemos definir a energia potencial associada à essa força. Define-se a diferença de energia potencial ∆U entre os pontos ir! e fr! do seguinte modo:

i ifif rdFWrUrUU

A energia potencial é sempre definida em relação a um determinado referencial de energia. No caso anterior, definiu-se a energia potencial ()rU! no ponto definido pelo ve- tor r!

, em relação à energia potencial ()0rU! no ponto definido pelo vetor 0r . Estamos definindo, desse modo, um referencial ()0rU! de energia potencial e todos os outros valo- res serão medidos em relação a este referencial.

Forças conservativas - Energia mecânica

Já foi estabelecido que o trabalho executado pela força resultante é igual a variação da energia cinética. Ou seja:

ifif KKKW −=∆= mas tendo em vista os resultados anteriores:

onde essa dedução é absolutamente geral, apesar de ter sido feita para apenas uma força atuando em apenas uma partícula. Ela é válida para um sistema composto de um número qualquer de partículas, quando estão atuando nessas partículas quaisquer quantidade de forças conservativas.

A nova grandeza definida, a energia mecânica E = K + U é uma constante de movimento

() teconsrUvmE tan2

Algumas forças tem uma existência marcante, seja no meio acadêmico ou na vida prática. Vamos calcular a energia potencial associada a algumas destas forças.

O sistema massa - mola encontra-se presente no dia a dia como exemplo de sistema conservativo oscilante, onde a força que a mola exerce é variável. Esse é um tipo de força elástica.

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Energia potencial elástica

Como o deslocamento se dá no eixo x , temos que:

= dxxrdr dxird

x = 0

logo, o trabalho realizado pela mola será:

0 LkxkUdxxkULU

Considerando o resultado anterior, dizemos que a energia potencial elástica de um

onde estamos considerando o referencial de energia potencial U( x = 0 ) =0 sistema massa - mola tem a forma:

Outro exemplo interessante é a energia potencial associada à força gravitacional. É um caso de energia potencial associada a uma força constante.

Energia potencial gravitacional

)0()(onde 

dyjrd mgjF !

U( h ) = m g h onde estamos considerando o referencial de energia potencial U( x = 0 ) =0 .

Considerando o resultado anterior, dizemos que a energia potencial gravitacional tem a forma:

U( y ) = m g y y = 0

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Cálculo da trajetória a partir do potencial

Podemos conhecer a trajetória de uma partícula a partir do conhecimento do potencial ao qual ela está submetida. Quando temos a forma do potencial, como foi mencionado, ele obedece à equação:

dxdtxUE mdt dxvxUEvm − t x x xUE x xUE

À partir da forma da energia potencial U(x) poderemos calcular a trajetória da partícula ao fazer o cálculo da integral indicada.

Usando a curva da energia potencial

Em diversas situações não é possível fazer o cálculo da integral de movimento. Mas mesmo nesse caso, a equação da conservação da energia ou a equação que se origina nela x xUE nos dará informações úteis sobra a solução ou sobre o comportamento da partícula.

Como a energia mecânica E é igual à soma das energias potencial U(x) mais cinética K , o maior valor da energia potencial será quando toda a energia mecânica for potencial, ou seja:

E ≥ U(x)

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O gráfico da energia potencial elástica é um exemplo simples da utilidade da análise do movimento de uma partícula a partir da forma funcional da energia potencial.

Vamos considerar que a energia mecânica deste sistema tem valor E0 .

i. Quando x = ± L toda a energia mecânica está sob a forma de energia potencial. Esses pontos x = ± L são chamados pontos de inversão pois ao chegar neles a velocidade da partícula se anula e inverte o sentido.

i. Quando x = 0 toda a energia mecânica é cinética.

i. O movimento da partícula está confinado à região - L ≥ x ≥ + L .

U(x)

x
- L+ L

A seguir mostramos um gráfico da energia potencial de uma partícula, que tem um comportamento rico em detalhes.

De modo geral o gráfico da energia potencial de uma partícula apresenta várias situações físicas. Mostra o problema para vários valores de energia mecânica. Para cada valor de energia mecânica a partícula se comporta de um modo diferente.

U(x)

E1 E0

x3x1 x0 x2 x4 x5 x

a. E = E0 Para esse valor de energia mecânica, toda a energia é potencial e portanto a energia cinética será sempre zero. A partícula vai estar permanentemente localizada na posição x = x0 e com velocidade nula.

Como um exemplo dessa situação podemos lembrar uma mola que está em sua posição de equilíbrio com velocidade nula. Ele vai permanecer indefinidamente nessa situação.

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Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 8 b. E = E1

Como E ≥ U(x) para esse valor de energia mecânica x1 ≥ x ≥ x2 . A partícula está confinada a se movimentar entre os pontos x1 e x2 , passando pelo ponto x0 , de mínimo da energia potencial e consequentemente de máximo da energia cinética. Nos pon- tos x1 e x2 temos E1 = U(x1) = U(x2) , e portanto toda a energia é potencial. Isso implica que a energia cinética é nula nesses pontos. Esses pontos são chamados pontos de re- torno (ou pontos de inversão) pois a partícula estava se movendo em um sentido, sua velocidade se anulou e ela retornou usando o sentido contrário.

Como um exemplo dessa situação podemos considerar uma mola que está em sua posição de equilíbrio com uma certa velocidade não nula. Ela vai ficar se movendo entre duas posições e sempre passando pelo ponto de máxima energia cinética. Como exemplo apenas de ponto de retorno podemos considerar uma pedra lançada verticalmente para cima. Ao atingir o ponto de máxima altura ela irá parar e começará o retorno. nesse ponto a energia cinética é nula.

c. E = E2 Existem quatro pontos de retorno d. E = E3 Existe apenas um ponto de inversão. Se a partícula estiver se movendo em direção ao ponto x = 0 , ao chegar em x = x3 ela pára, retornando no sentido contrário.

e. E = E4 Não existem pontos de retorno.

Da relação entre força e potencial podemos fazer várias inferências. Como já foi mencionado anteriormente

Em uma dimensão, a equação anterior tem a forma:

e desse modo podemos dizer que:

Podemos analisar as situações de equilíbrio no gráfico anterior do seguinte modo:

a. No ponto x = x0 temos um equilíbrio estável e citaremos como exemplo dessa situação um pêndulo em equilíbrio na sua posição vertical inferior. Se alterarmos a sua po- sição, surge uma força restauradora e o sistema tende a voltar à posição de equilíbrio inicial.

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Cap 08 romero@fisica.ufpb.br 9 b. No ponto x = x4 temos um equilíbrio instável e citaremos como exemplo dessa situação um pêndulo em equilíbrio na sua posição vertical superior. Se alterarmos a sua posição, surge uma força que afasta ainda mais o sistema de sua situação de equilíbrio inicial.

c. No ponto x ≥ x5 temos um equilíbrio indiferenteSe alterarmos a sua posição não

acontece nenhuma das duas situações anteriores. Uma exemplo desse caso seria um cone apoiado em uma face lateral.

Forças não conservativas

Vamos considerar que estão atuando N forças sobre uma dada partícula, de modo que a força resultante será dada por:

i iN F 1

Como já foi mencionado, o trabalho executado pela força resultante é igual à variação da energia cinética da partícula:

i iNF WWWWWK 1 onde Wi é o trabalho executado pela i-ésima força que está atuando na partícula. Se forem conservativas todas as forças mencionadas, teremos:

∆K = Σ WC = -Σ ∆U ∴ ∆K + Σ ∆U = 0 ⇒ ∆(K + ΣU ) = ∆E = 0

Para cada força conservativa teremos a sua energia potencial associada a ela, daí a soma das energias potenciais. A soma das energias potenciais com a energia cinética nos dá a energia mecânica E . Quando existem apenas forças conservativas, a energia mecânica não varia ∆E = 0 , sendo então uma constante de movimento.

Se, por outro lado, tivermos atuando também forças não - conservativas (em particular a força de atrito), teremos:

∆E = Ef - Ei = Σ WA como é negativo o trabalho executado pela força de atrito, acontecerá uma perda da energia mecânica; a energia mecânica fina será menor que a energia mecânica inicial

∆E < 0

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Solução de alguns problemas

Capítulo 8 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

7Um carrinho de montanha russa sem atrito chega ao alto da primeira rampa da figura a seguir com velocidade 0v! .

y
AD
hH
Cx

B h/2 a)Qual a sua velocidade no ponto A ?

Considerando o ponto mais baixo da trajetória do carrinho como a origem do referencial da energia potencial, temos que

U(y=0) = 0e U(y=h) = mgh

Desse modo, a energia mecânica inicial é dada por:

Como só estão atuando forças conservativas EA = E0 e como a altura do ponto A é a mesma altura da posição inicial as velocidades serão as mesmas:

vA = v0 b)Qual a sua velocidade no ponto B ? ghvvhmgvmmgh vm c)Qual a sua velocidade no ponto C ? ghvv vmmgh d)A que altura chegará à última rampa, que é alta demais para ser ultrapassada? v hHmgHmgh vm

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