009 sistema de particulas

009 sistema de particulas

(Parte 1 de 6)

Versão preliminar 10 de setembro de 2002

09. SISTEMA DE PARTÍCULAS2
O CENTRO DE MASSA2
Sistema de partículas - Uma dimensão2
Sistema de partículas - Duas dimensões3
Sistema de partículas - Três dimensões3
Corpos rígidos4
MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA5
MOMENTO LINEAR DE UMA PARTÍCULA6
MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS6
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR7
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS8
28
38
3A9
410
710
812
1513
1713
1815
2115
217
3018
3419

Prof. Romero Tavares da Silva

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09. Sistema de partículas

O centro de massa

Mesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um ponto nesse corpo, chamado centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partícula, com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de forças que ele.

Ainda que o sistema não seja um corpo rígido mas um conjunto de partículas, pode ser definido para ele um centro de massa, como veremos adiante.

Sistema de partículas - Uma dimensão

Vamos definir inicialmente a posição xCM do centro de massa para um sistema composto de duas partículas de massas m1 e m2 e que ocupam as posições x1 e x2 .

xmxm

1 x m m x

m1m2
x2

Podemos olhar a última equação como uma média ponderada da posição de cada partícula de massa mi onde o "peso" de cada termo é a fração da massa total contida na posição xi .

Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta, podemos fazer uma extensão da definição anterior:

i i i i m xmxmxm

Iremos definir a massa total do sistema como M , onde:

i imM 1 e desse modo teremos:

i iCM mMx 1

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Sistema de partículas - Duas dimensões

Para a definição do centro de massa de um sistema de N partículas distribuídas em um plano podemos, por analogia com as definições anteriores, considerar que:

i iiN i i i i

N NNCM xm xmxmxm x i iiN i i i i

N NNCM ym ymymym y

Sistema de partículas - Três dimensões

Para um sistema de N partículas distribuídas em três dimensões temos as seguintes definições:

i iiCM xmMx 1 i iiCM ymMy 1 i iiCM zmMz 1

Se considerarmos que:

zkyjxir e zkyjxir teremos:

i iiCM rmMr 1

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Corpos rígidos

Podemos imaginar um corpo rígido como sendo subdividido em pequenos ele- mentos de volume ∆Vi de massa ∆mi respectivamente, que estão localizados em pon- tos definidos por coordenadas ( xi , yi , zi ) . Neste cenário, teremos as seguintes equações:

i i i i

CM m i i i i

CM m i i i i

CM m

Se os elementos de volume ∆Vi → 0 , as massas contidas nesses elementos de volume também de serão reduzidas, ao ponto de ∆mi → 0 . Quando isso acontece, aquelas somas se transformam em integrais:

Mdm dmxm mx Limx N i i i i

Mdm dmym my Limy N i i i i

Mdm dmzm mz Limz N i i i i e concluindo:

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Movimento do centro de massa A partir da definição de centro de massa temos a seguinte equação:

A variação dessas posições com o tempo é calculada como:

dt rdmdt rdmdt rdm rdM N CM "! de modo que a velocidade do centro de massa tem a forma:

i iiNNCM vmvmvmvmvM 1

A variação dessas velocidades com o tempo é calculada como:

dt vdmdt vdmdt vdm vdM N CM "! de modo que a aceleração do centro de massa tem a forma:

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