Baixe rolamento torque e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Versão preliminar 6 de junho de 2002 Notas de Aula de Física 12. ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR.................................................... 2 ROLAMENTO....................................................................................................................... 2 O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação......................... 2 O rolamento visto como uma rotação pura ................................................................... 3 A energia cinética.......................................................................................................... 3 TORQUE ............................................................................................................................ 3 MOMENTO ANGULAR ........................................................................................................... 4 MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS............................................................. 5 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO ........................................................................... 6 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............................................................................... 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 01 .................................................................................................................................. 8 02 .................................................................................................................................. 8 07 .................................................................................................................................. 9 11 .................................................................................................................................. 9 13 ................................................................................................................................ 10 27 ................................................................................................................................ 11 32 ................................................................................................................................ 11 44 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 13 46 ................................................................................................................................ 14 49 ................................................................................................................................ 15 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 2 12. Rolamento, torque e momento angular Rolamento Considere um aro de raio R , rolan- do sem deslizar em uma superfície plana horizontal. Quando essa roda girar de um ângulo θ , o ponto de contato do aro com a superfície horizontal se deslocou uma dis- tância s , tal que; s = R θ O centro de massa do aro também deslocou-se da mesma distância. Portanto, a velocidade de deslocamento do centro de massa do aro tem a forma: wRv dt dR dt dsv CMCM =⇒== θ De maneira equivalente podemos encontrar a forma da aceleração do centro de massa do aro: αRa dt dwR dt dv a CM CM CM =⇒== R s s O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação CMvv !! = CMvv !! −= CMvv !! = CMvv !! = CMvv !! = CMvv !! 2= CMvv !! = Movimento puramente rotacional , todos os pontos da roda movem- se com a mesma velocidade angular. Movimento puramente translacional , todos os pontos da roda movem-se para a direita com a mesma velocidade. O movimento de rola- mento da roda é uma combinação dos dois mo- vimentos anteriormente descritos. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 5 logo: τ! ! !! " =⇒×= dt LdFr dt Ld Rotação Translação Equivalência prL !!! ×= → p ! Fr !!! ×=τ → F ! dt Ld ! ! =τ → dt pdF !! = Momento angular de um sistema de partículas Quando estamos considerando um sistema de N partículas, o momento angular total é dado por: ∑ = =+++= N i iN LLLLL 1 21 !! # !!! De modo equivalente à análise do caso de apenas uma partícula, vamos calcular a variação do momento angular total com o tempo: ∑∑ == =  = N i i N i i dt LdL dt d dt Ld 11 ! ! ! ( ) iiiiiiiiiii Frvvmdt pdrp dt rdpr dt d dt Ld !!!! ! !! ! !! ! ×+×=×+×=×= Mas EXT i INT ii i FFF dt pd !!! ! +== ou seja EXT i INT i EXT ii INT ii i FrFr dt Ld ττ !! !!!! ! +=×+×= ∑∑ == += N i EXT i N i INT idt Ld 11 ττ !! ! logo EXTINT dt Ld ττ !! ! += Vamos mostrar que o torque interno é nulo. As forças internas surgem aos pares como interação entre os pares de partículas, ou seja: ∑ = = N j ij INT i fF 1 !! Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 6 Mas ∑∑∑∑∑∑ = ===== ×=    ×=×== N i N j iji N j ij N i ii N i i N i INT i INT frfrFr 1 11111 !!!!!!!! ττ ou seja: ( )∑ 〈 ×+×= ji jijiji INT frfr !!!!!τ Mas usando-se a terceira Lei de Newton, temos que jiij ff !! −= , logo ( )[ ]∑ 〈 ×−= ji ijji INT frr !!!!τ onde ( )ii rr !! − é um vetor contido na reta que une as partículas i e j , e essa reta tam- bém contém a força ijf ! . Portanto o produto vetorial é nulo pois os dois vetores são para- lelos, e finalmente podemos concluir que 0=INTτ! Desse modo, concluímos que EXT dt Ld τ! ! = e essa equação tem a sua equivalente no movimento de translação: EXTF dt Pd ! ! = Momento angular de um corpo rígido Para calcular o momento an- gular de um corpo rígido que está gi- rando em torno de um eixo ( neste caso eixo z ) com velocidade angular w , vamos dividi-lo em pequenos vo- lumes ∆Vi cada um com uma massa ∆mi , que tem momento linear ip ! e estão localizados pelo vetor posição ir ! . O momento angular desta pequena massa é: iii prL !!! ×= Observe-se que o ângulo entre os ve- tores ir ! e ip ! é 900 . Desse modo: Li = ri pi = ri vi ∆mi z r⊥ ∆mi θ ip ! ir ! y x Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 7 Para calcular a componente z do momento angular, temos que: Liz = Li senθ = (ri senθ) vi ∆mi = ri ⊥ vi ∆mi = ri ⊥ (w ri ⊥)∆mi ou seja: Liz = w ∆mi r2i⊥ ∑ ∑ ⊥∆== i i iiizz rmwLL 2 Mas ∫∑ ⊥⊥→∆ =∆= dmrrmLimI i iimi 22 0 onde ri⊥ é a componente do vetor posição da massa ∆mi perpendicular ao eixo de rota- ção, ou seja é a distância da massa ∆mi ao eixo de rotação, e portanto temos a nossa definição original de momento de inércia. Desse modo: L = I w onde omitimos o índice z do momento angular pois iremos tratar apenas de situações onde o momento angular de um corpo rígido será paralelo ao eixo de rotação (analisare- mos apenas situações onde o momento de inércia é uma grandeza escalar). Estaremos interessados em situações onde wIL !! = e ainda: αττ !! ! ! I dt Ld =⇒= Conservação do momento angular Quando consideramos um sistema de partículas, a variação do momento angular total é igual ao torque externo. EXT dt Ld τ! ! = Se esse sistema estiver isolado, ou seja se o torque externo for nulo, o momento angular total será uma constante. teconsL dt Ld tan0 =⇒= ! ! Esse resultado é o equivalente da conservação do momento linear total, e tem um significado e importância similar. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 10 2 10 7 CMMvK = ( ) ( ) 7 10 10 7 2 hHgvMvhHMgEE CMCMFI −=∴=−⇒=         =⇒= =⇒= g hvLtvL g htgth CMCM 2 2 2 2 ou seja: ( ) 7 20 hHhL −= = 47,80m Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 13 Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r rola sem deslizar sobre um trilho mostrado a seguir, tendo partido do repouso em algum ponto do trecho retilíneo do trilho. a) Qual é a altura mínima h , medida à partir da base do trilho, de onde devemos soltar a bolinha para que ela não perca o contato com o trilho no ponto mais alto da curva? O raio da curva é R e considere que R >> r . A condição para que a bolinha não per- ca contato é que a normal seja nula na parte mais alta, ou seja que o peso seja a única força radial, e desse modo te- remos: gRv R v mmgP CM CM =⇒== 2 2 Mas como o sistema é conservativo, a energia mecânica será conservada: h R Q FFIFI KUUEE +=⇒= ou seja ( ) ( ) ( ) RHmgRRgmRmgvmRmgmgH CM 7,210 27 10 72 10 72 2 =∴=+=+= b) Se a bolinha for solta de uma altura igual a 6R acima da base do trilho, qual será a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto Q ? Usando a conservação da energia mecânica entre os dois pontos, temos que: ( ) gRvmvmgRRmgEE QQQ 7 50 10 76 220 =∴+=⇒= Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 11 A força horizontal no ponto Q é a própria força radial nesse ponto, logo: mgFRg R m R v mF R Q R 7 50 7 502 =∴    == Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 27 Dois objetos estão se movendo como mostra a figura a seguir. Qual é o seu mo- mento angular em torno do ponto O ? m1 = 6,5kg v1 = 2,2m/s r1 = 1,5m m2 = 3,1kg v2 = 3,6m/s r2 = 2,8m 1 1v ! r1 2v ! m2 O r2    = ==    = == 22 22222 11 11111 ˆ ˆ ˆ ˆ rir vmjvmp rjr vmivmp ! !! ! !! ( ) ( )    +=×=×= −=×=×= 222222222 111111111 ˆˆˆ ˆˆˆ vrmkvrmjiprL vrmkvrmijprL !!! !!! 21 LLL !!! += ( )111222ˆ rvmrvmkL −= ! smkgkL /.798,9ˆ 2= ! y m1 1v ! r1 2v ! m2 O x r2 Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga 32 Mostre que um cilindro deslizará sobre um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é θ , quando o coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor que (tanθ)/3 .     =− =− maFmg mgN aθ θ sen 0cos Quando estamos interessado em calcular N ! aF ! P ! θ Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 12 o torque em relação a um eixo que coincide com a reta de contato entre o cilindro e o plano, devamos notar que apenas a força de atrito produz um torque em relação a esse eixo. À medida que aumenta a inclinação vai aumentando a força de atrito está- tico necessária para evitar o deslizamento. Ni limite, antes do deslizamento, temos que Fa = (Fa)M = µE N .A maior aceleração que o cilindro poderá ter sem deslizar é definida pela condição: ICM α < Fa R A condição de deslizamento é: Fa R < ICM α Usando a segundo lei de Newton poderemos calcular a aceleração angular α : m g senθ - µE m g cosθ = ma = m α R ( )θµθα cossen ER g −= Logo: ( ) ( )    −< θµθθµ cossencos ECME R gIRmg µE cosθ ( mR2 + ICM ) < ICM senθ θµ tan2     + < CM CM E ImR I Considerando que o momento de inércia do cilindro é mR2/2 , teremos: θµ tan 3 1<E Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 44 Três partículas, cada uma de massa m , são presas umas às outras e a um eixo de rotação por três cordões sem massa, cada um de comprimento L , como mostra a figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação em O com velocidade angular w , de tal forma que as partículas permanecem em linha reta. Quais são, em termos de m , L e w e rela- tivamente ao ponto O a) O momento de Inércia do conjunto? I = m L2 + m (2L)2 + m (3L)2 = 14 m L2 m w m m O b) O momento angular da partícula do meio? Se definirmos o eixo z como sendo perpendicular à folha de papel e saindo dela, o momento angular das três partículas estarão no sentido positivo do eixo z . Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 15 Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 49 Um jogador de boliche principiante joga uma bola de massa M e raio R = 11cm na pista, com velocidade inicial v0 = 8,5m/s . A bola é arremessada de tal maneira que desliza uma certa distância antes de começar a rolar. Ela não está girando quando atinge a pista sendo o seu movimento puramente translacional. O coeficiente de atrito cinético entre ela e a pista é 0,21 . a) Por quanto tempo a bola desliza? M R = 11cm = 0,11m v0 = 8,5m/s µC = 0,21 0v ! SUPv ! 12v ! 0v ! CMv ! 1v ! 0v ! INFv ! d ! SUPv ! TRANv ! ROTv ! CMv ! = TRANv! + INFv ! TRANv ! ROTv ! Podemos visualizar o movimento da bola como uma composição de movi- mentos: rotação + translação , e desse modo decompor as velocidades: ROTTRAN vvv !!! += Cada parte da roda vai ter uma compo- sição de velocidades peculiar, as partes superior e inferior são os extremos de diversidade: vS = vTRAN + vROT vI = vTRAN - vROT Quando a bola atinge a pista a veloci- dade de rotação é nula, e ela só tem velocidade de translação v0 . À medida que a bola começa deslizar, ela tam- bém inicia a rotação, adquirindo veloci- dade angular até alcançar o valor w1 N ! aF ! P ! d ! quando não mais desliza, tendo um movimento de rolamento sem deslizamento. Os dois tipos de movimento (rotação + translação) obedecem às equações: ( ) ( )     −= −= ⇒         = = davv tavv vv vv TRAN TRAN TRAN TRAN 220 2 1 01 11 00 ( ) ( ) ( )( )    =∴=⇒−= =∴==⇒+= ⇒         == = LavRRvww tavtRRwvtww vRwv v ROT ROT ROT ROT 222 0 2 1 2 1 2 0 2 1 11101 111 0 θααθ αα Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 16 Ao contrário do rolamento com deslizamento, neste caso as velocidades de translação e rotação não estão conectadas diretamente. Isso só vai acontecer quando cessar o deslizamento, e nesse ponto v1 = w1 R . Para o movimento de translação, temos a segunda lei de Newton:         = =− ⇒=++ TRANa a MaF PN aMNPF 0 !!!! Mas Fa = µC N = µC M g ∴ aTRAN = µC g Para o movimento de rotação temos: ( ) ROTCMCMCMCaCMa aR I R R I R I MgFIRF     =    ===⇒== 22 ααµατ     = CM CROT I Rga 2 µ Considerando o que já foi mostrado, temos que: 01 101 01 1 v aa a v a vv a vt tavv tatRv ROTTRAN ROT TRANROT TRAN ROT     + =∴ − ==⇒         −= == α ou seja:     + = + = CM C ROTTRAN I MRg v aa v t 2 00 1µ Considerando que para a esfera 2 5 2 MRICM = encontramos que: g v t Cµ7 2 0= = 1,18s b) A que velocidade está se movendo quando começa a rolar? gt I MRgtatRv C CM CROT µµα 2 52 1 =             === = 6,07m/s c) Qual a distância que ela desliza na pista? Prof. Romero Tavares da Silva Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 17 g vv a vv ddavv CTRAN TRAN µ22 2 2 1 2 0 2 1 2 02 0 2 1 − = − =⇒−= = 8,60m d) Quantas revoluções fez antes de começar a rolar? ( ) ( )( ) LavRRRwww ROT222 21212021 =∴=⇒+= θααθ ( ) 2 22 2 2 1 4 1 22 12 2 1 2 t I MRg R ta R NRNta a v L CM C ROT ROT ROT     ==⇒=== µ ππ π R gt N C π µ 8 5 2 = = 5,18rev