014gravitação

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(Parte 1 de 9)

Versão preliminar 14 de novembro de 2003

14. GRAVITAÇÃO2
O UNIVERSO E A FORÇA GRAVITACIONAL2
GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO3
GRAVITAÇÃO PRÓXIMO À SUPERFÍCIE DA TERRA4
FORÇA ENTRE UMA HASTE E UMA MASSA PONTUAL – CASO 15
FORÇA ENTRE UMA HASTE E UMA MASSA PONTUAL – CASO 26
CAMPO PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO ESFÉRICA DE MASSA EM SEU EXTERIOR8
CAMPO PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO ESFÉRICA DE MASSA EM SEU INTERIOR1
CÁLCULO ALTERNATIVO - PARTÍCULA NO INTERIOR13
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL15
Energia potencial gravitacional próximo à superfície da Terra15
Energia potencial gravitacional distante da superfície da Terra16
LEIS DE KEPLER17
ÓRBITAS DE SATÉLITES E ENERGIA19
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS21
0721
0921
102
1323
1424
1727
228
3129
330
5231

Prof. Romero Tavares da Silva

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14. Gravitação

A gravidade é a mais fraca das forças fundamentais do Universo. É desprezível nas interações de partículas elementares e não tem qualquer papel nas propriedades das moléculas, dos átomos ou dos núcleos atômicos. A atração gravitacional entre corpos de dimensões comuns, por exemplo entre um automóvel e um edifício, é muito pequena para ser percebida.

Entre corpos muito grandes, como as estrelas, os planetas, os satélites, porém, a gravidade tem uma importância de primeiro plano. A força gravitacional da Terra sobre os corpos que nos rodeiam é a parte fundamental da nossa experiência.

É a gravidade que nos mantém sobre os solo e mantém a Terra e os outros planetas nas suas respectivas órbitas do sistema solar. A força gravitacional tem um papel importante na história das estrelas e no comportamento das galáxias. Numa escala muito grande, é a gravidade que controla a evolução do Universo. Física Paul A Tipler Vol 1 - Cap 1 - pag300 LTC - Editora - 2000

O Universo e a Força Gravitacional

Desde tempos imemoriais o homem sempre esteve fascinado pelo movimento dos corpos celestes e das possíveis consequências destes movimentos na nossa vida aqui na Terra.

Por questões de fundo religioso, durante muito tempo supôs-se que o movimento desses corpos aconteciam de modo que a Terra tinha uma posição privilegiada neste concerto. Os religiosos acreditavam que o homem era o único ser vivo no Universo e o criador naturalmente o colocou num local especial, num planeta especial.

Era difícil aceitar o tamanho diminuto do homem frente às dimensões do Universo.

Por esse motivo, todos aqueles que consideravam alguma idéia diferente deste geocentrismo era considerado herege. O ciência era considerada uma mera comprovação das crenças religiosas.

Com os dados observacionais do astrônomo Tycho Brahe, Johannes Kepler descobriu empiricamente que as trajetórias dos planetas em torno do Sol eram elipses.

Foi Isaac Newton quem mostrou os fundamentos de uma teoria da gravitação, que comprovava as predições de Kepler e as observações de Tycho Brahe. Mas ia ainda muito mais além ao analisar a interação entre duas massas quaisquer. Quando um corpo de massa m1 está a uma distância r de um outro corpo de massa m2 , a força de atração entre eles está dirigida ao longo da reta que une os corpos e tem a forma:

mmGF =

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Gravitação e o Princípio da Superposição

A maioria dos modelos que representam fenômenos físicos são lineares. Por exemplo: a interação gravitacional entre três partículas pode ser considerada como a composição da interação aos pares dessas partículas. Isso acontece por causa do Princípio da Superposição.

Por causa deste princípio essa ciência se presta tão bem à aplicação do reducionismo. É dito que a Física é um campo de estudo reducionista porque costuma-se analisar os fenômenos extremamente sofisticados através da observação de cada uma das partes simples que compõe este fenômeno.

Para exemplificar, vamos considerar o sistema composto por três partículas, descrito anteriormente.

O vetor posição da partícula de massa m1 é 1r! , o vetor posição da partícula de massa m2 é 2r ! e o vetor posição da partícula de massa m3 éP! . As distâncias entre as partículas são defini- das como:

r r r

r12
m1 2r

As forças que as partículas de massa m2 e m3 fazem na partícula de massa m1 têm valores que independem da presença mútua, ou seja: se apenas m2 estiver presente a força que ela exercerá em m1 terá o mesmo valor daquele quando m3 também estiver presente. Essas forças têm a forma:

r r r r r r r r onde r r m GF r r m GF

m1
m3

O e a força que as duas partículas fazem em m1 será:

configurando assim o princípio da superposição.

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Gravitação próximo à superfície da Terra

A força de atração gravitacional entre a Terra e um corpo de massa m próximo à sua superfície, em princípio deverá ter a mesma forma da atração entre dois corpos quaisquer. No entanto se esse corpo estiver a uma altura h acima da superfície da Terra, e pudermos considerar esta altura muito menor que o raio da Terra, poderemos fazer algumas considerações e até aproximações razoáveis sobre o valor desta força de atração.

Na superfície da Terra a força de atração entre os corpos tem a forma:

mM GRF = e se definirmos a aceleração da gravidade g como:

2 TTR

MGg = encontraremos que: () gmRF T =

Quando o corpo estiver a uma altura h da superfície da Terra, a força de interação terá a forma:

() () 2hR mMGhRF T onde o denominador poderá ser escrito como:

RhRhR hR

Quando a altura do objeto de massa m for pequena em relação ao raio da Terra, ou seja: quando h << R , podemos aproximar o termo em parêntesis por uma expansão em séries de potências. Dito de outro modo, para x pequeno podemos fazer a expansão

T RhR mMGhRF 212

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hgmhRF 21 e quando a altura h for realmente muito menor que o raio RT da Terra, podemos desprezar as correções e considerar a aproximação trivial, de modo que:

onde definimos o peso do objeto com uma força constante e independente da altura, com uma forma do tipo:

P = m g

Força entre uma haste e uma massa pontual – Caso 1

Vamos considerar uma haste de largura desprezível e massa M distribuída uniformemente ao longo do seu comprimento L . Uma partícula de massa m está colocada a uma distância s da haste, como mostra a figura ao lado.

Devemos calcular a força que um elemento de massa dM da haste

M m
x = 0 x = L x = L + s

exerce sobre a partícula. essa força é dirigida para a haste e tem módulo:

A força total que a haste exercerá

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