016 oscilações

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(Parte 1 de 8)

Versão preliminar 18 de junho de 2004

16. OSCILAÇÕES2
O MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES - MHS2
MHS - A velocidade4
MHS - A aceleração4
MHS - A LEI DA FORÇA5
MHS - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA5
A EQUAÇÃO PARA O MHS6
UM OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES ANGULAR - O PÊNDULO DE TORÇÃO7
PÊNDULOS8
O pêndulo simples8
O pêndulo físico9
MHS E O MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME10
MHS AMORTECIDO1
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS15
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16. Oscilações

Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de um certo instante começa a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento é periódico. O tempo que o corpo gasta para voltar a percorrer os mesmos pontos da trajetória é chamado de período.

No nosso cotidiano existem inúmeros exemplos de movimento periódico, tais como o pêndulo de um relógio ou um sistema massa - mola, quando um desses conjuntos descrevem um vai e vem em torno das suas posições de equilíbrio.

O movimento harmônico simples - MHS

O movimento harmônico simples - MHS é movimento periódico, e portanto o objeto passa novamente por uma dada posição depois de um período T . O período é o inverso da a frequência f de oscilação:

Um exemplo típico de aparato que se

movimenta segundo um MHS é sistema massa-mola. Uma mola tem uma de suas extremidades presa em uma parede rígida e a outra extremidade está presa em um corpo que está sobre um superfície sem atrito. Quando deslocado de sua posição de equilíbrio o corpo começa a oscilar.

Um objeto que se desloca em MHS tem a sua posição descrita pela equação x(t) = xM cos(wt + ϕ) onde xM = amplitude de oscilação(wt + ϕ) = fase w = frequência angular de oscilaçãoϕ = constante de fase

Quando a constante de fase assume o valor ϕ = - π/2 a equação anterior, que descreve o movimento do corpo, tem a forma:

x(t) = xM sen wt

À medida que o tempo evolui, o corpo ocupa as diversas posições mostradas na figura à seguir.

Em cada posição ocupada, o corpo terá uma velocidade correspondente, como veremos mais adiante.

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Também em cada posição, ele terá uma aceleração correspondente. Tanto a aceleração quanto a velocidade variam à medida que a posição se altera.

O gráfico da posição em função do tempo toma diversas formas quando modificamos a amplitude, frequência ou constante de fase.

Quando alteramos a amplitude de

oscilação, o movimento se consuma para deslocamentos máximos diferentes, mas com mesma frequência e mesma constante de fase. Desse modo os dois movimentos alcançam os extremos no mesmo instante.

Quando aumentamos a frequência (e consequentemente diminuímos o período), os movimentos terão a forma descrita a seguir onde a função de maior período é a vermelha e a de menor período é azul.

Quando variamos a constante de fase, a função mantém a forma, mas sofre um deslocamento, como é mostrado a seguir.

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Como o movimento é periódico, teremos que as posições se repetem depois de um tempo igual ao período T , ou seja:

x(t) = x(t + T) e portanto:

x(t + T) = xM cos[w(t + T) + ϕ] = x(t) = xM cos[(wt + ϕ) + wT] logo:

TwwT π

MHS - A velocidade

Definindo a amplitude da velocidade vM = w xM , encontramos que:

)sen()( ϕ+−= wtvtv M MHS - A aceleração

Definindo a amplitude da aceleração aM = w vM = w2 xM , encontramos que:

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Considerando um sistema massa - mola que obedeça à Lei de Hooke e supondo que a resultante das forças que atuam na massa é a força restauradora da mola, encontramos que:

Mas

F = -k x logo k mT m kw wmk

MHS - Considerações sobre energia A energia potencial elástica de um sistema massa - mola é definido como:

e a energia potencial desse sistema é definida como:

Se considerarmos que m w2 = k , encontramos que:

A energia mecânica E , definida como a soma das energias cinética K e potencial U , terá a forma:

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A equação para o MHS ou ainda:

m kwondexw td

A solução mais geral da equação anterior tem a forma: tAetx α=)( onde A e α são constantes a determinar. Usando a solução, encontramos:

t eA eAdt dx αααα 2

Aplicando estes resultados na equação do MHS, temos que:

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Como A e α são diferentes de zero, em princípio, a única forma da equação acima se anular será quando:

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