004 movimento em duas e tres dimensoes

004 movimento em duas e tres dimensoes

(Parte 1 de 2)

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

04. MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES2
POSIÇÃO E DESLOCAMENTO2
VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA2
ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA3
MOVIMENTO NUM PLANO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE4
MOVIMENTO DE PROJÉTEIS4
Tiro de gran alcance7
MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME8
MOVIMENTO RELATIVO10
Coger con la mano una bala disparada!10
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS1
"19"1
21
3012
4113
4714
4915
7215
8016
8317

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04. Movimento em duas e três dimensões

A nossa experiência cotidiana está repleta de exemplos de movimentos bi e tridimensionais. Podemos até dizer que são raras as situações com movimentos unidimensionais. Quando saímos de nossa cama para a sala, certamente usamos um movimento bidimensional ao chegar até a porta e caminhando pelo corredor para atingir a sala. Num automóvel em movimento, além do movimento bidimensional, segundo os pontos cardeais, as estradas têm elevações e baixios, de modo que percorremos um caminho tridimensional.

Vamos considerar um sistema de coor-

Posição e deslocamento denadas x-y para analisar o movimento de uma partícula do ponto inicial P ocupado no instante ti até o ponto final Q ocupado no

A ponto inicial P é localizado pelo vetor

instante tf .

posição ir! e o ponto final Q é localizado pelo vetor posição fr! .

O vetor deslocamento é definido por:

if r

P

x Onde

Velocidade média e velocidade instantânea

A velocidade pode ser entendida como a variação no tempo do vetor deslocamento.

Definimos a velocidade média em duas ou três dimensões fazendo uma extensão da definição usada para o movimento retilíneo, ou seja:

t rrt ou ainda:

t zkt yjt xiv ∆

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A velocidade instantânea é definida como:

dt rdv t rLim

→∆ 0 e em coordenadas cartesianas:

t zkt yjt xiv LimLimLim t ∆ dt dzkdt dyjdt

Quando uma partícula se move com

Aceleração média e aceleração instantânea velocidade iv! no instante ti e com velocida- de fv! no instante tf , definimos a sua acele- ração média como:

tv t v a if if ∆

A aceleração instantânea é definida como:

dt vda t vLim

Q

e em coordenadas cartesianas:

t vk t jt via ztytxt LimLimLim ∆ dv k dv j dt

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Movimento num plano com aceleração constante

Vamos considerar que a partícula se mova no plano x-y com aceleração constante. Para um movimento nesse plano teremos:

yx ajaia vjviv yjxir e considerando que a aceleração é constante teremos as equações para o movimento segundo o eixo x:

e as equações para o movimento segundo o eixo y :

As equações anteriores podem ser sintetizadas nas formas vetoriais:

Movimento de projéteis

O movimento dos projéteis é uma situação onde uma partícula se move num plano, com movimento de aceleração constante em uma direção e movimento de velocidade constante em outra direção.

Vamos considerar que ax = 0 e que ay = - g , e desse modo, as equações para esse movimento serão para o eixo x:

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 5 e para o eixo y:

Considerando x0 = yo = 0 , na equação (1), temos xv xt 0 usando esse resultado na equação (2), temos: 2 xxy v xgv xvy ou seja gx v v y

A equação anterior é do tipo: y = b x - c x2

Se completarmos os quadrados na equação anterior, teremos:

c bxcc

Essa é a equação de uma parábola com a concavidade voltada para baixo, e tem como coordenadas do ponto de altura máxima:

c by bxMM 4

Considerando que:

v y encontramos que:

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 6 g vy vxMM 2 sen

Como a parábola é uma curva simétrica, a distância percorrida ao longo do eixo x , também conhecida como alcance R tem o valor R = 2 xM , ou seja:

com a mesma velocidade inicial e para ângulos de 300 , 450 e 600 .

Da trigonometria, podemos encontrar que quando dois ângulos diferentes têm o mesmo seno, a soma desses ângulos deve ser igual a 1800 , ou seja:

ou seja, dois lançamentos cujos ângulo somam 900 têm o mesmo alcance, como mostra a figura anterior para os ângulos 300 e 600 . Podemos mostrar, então, que o alcance máximo é obtido quando o ângulo de lançamento vale 450 , como mostra a terceira curva da figura anterior.

Uma análise mais realista do movimento dos projéteis deverá levar em conta o seu atrito com o ar. Essa força de atrito é considerada como uma função da velocidade. Num caso mais simples, se a força de atrito for considerada proporcional à velocidade de deslocamento, nós podemos avaliar os seus efeitos no movimento dos projéteis no gráfico a seguir.

Lançamento em vários ângulos

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 7 para os mesmos ângulos e velocidades iniciais da figura anterior.

Tiro de gran alcance

Al final de la primera guerra mundial (1918), cuando los éxitos de la aviación francesa e inglesa dieron fin a las incursiones aéreas enemigas, la artillería alemana puso en práctica, por primera vez en la historia, el bombardeo de ciudades enemigas situadas a más de cien kilómetros de distancia. El estado mayor alemán decidió emplear este nuevo procedimiento para batir la capital francesa, la cual se encontraba a más de 110 km del frente. Hasta entonces nadie había probado este procedimiento. Los propios artilleros alemanes lo descubrieron casualmente. Ocurrió esto al disparar un cañón de gran calibre con un gran ángulo de elevación. Inesperadamente, sus proyectiles alcanzaron 40 km, en lugar de los 20 calculados. Resultó, que estos proyectiles, al ser disparados hacia arriba con mucha inclinación y gran velocidad inicial, alcanzaron las altas capas de la atmósfera, en las cuales, debido al enrarecimiento, la resistencia del aire es insignificante. En este medio poco resistente es donde el proyectil recorrió la mayor parte de su trayectoria, después de lo cual cayó casi verticalmente a tierra.

La figura muestra claramente la gran variación que experimentan las trayectorias de los proyectiles al cambiar el ángulo de elevación. Esta observación sirvió de base a los alemanes para proyectar un cañón de gran alcance, para bombardear París desde una distancia de 115 km. Este cañón terminó de fabricarse con éxito, y durante el verano de 1918 lanzó sobre París más de trescientos proyectiles. He aquí lo que después se supo de este cañón. Consistía en un enorme tubo de acero de 34 m de largo y un metro de grueso. El espesor de las paredes de la recámara era de 40 cm. Pesa ba en total 750 t. Sus proyectiles tenían un metro de largo y 21 cm de grueso, y pesaban 120 kg. Su carga requería 150 kg de pólvora y desarrollaba una presión de 5 0 atmósferas, la cual disparaba el proyectil con una velocidad inicial de 2 0 m/seg. El fuego se hacía con un ángulo de elevación de 52' y el proyectil describía un enorme arco, cuyo vértice o punto culminante se encontraba a 40 km de altura sobre la tierra, es decir, bien entrado en la estratosfera. Este proyectil tardaba en recorrer los 115 km, que mediaban entre el emplazamiento del cañón y París, 3,5 minutos, de los cuales, 2 minutos volaba por la estratosfera. Estas eran las características del primer cañón de ultralargo alcance, antecesor de la moderna artillería de este género.

Lançamento de projéteis considerando o atrito

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Cuando mayor sea la velocidad inicial de la bala (o del proyectil), tanto mayor será la resistencia del aire. El aumento de esta resistencia no es proporcional al de la velocidad, sino más rápido, es decir, proporcional al cuadrado, al cubo y a potencias aún mayores del aumento de la velocidad, según el valor que ésta alcance.

Física Recreativa - Yakov Perelman

Movimento circular e uniforme

Se um corpo está se movimentando em círculos com velocidade constante em mó- dulo, ele necessariamente estará sob a ação de uma força. Essa força F! pode ter as mais diversas origens: gravitacional, elétrica, magnética, e etc. Mas algumas grandezas ligadas a esse movimento estão relacionadas do seguinte modo:

onde m é a massa do corpo, R é o raio da órbita e v é a sua velocidade. A velocidade pode ser definida como:

onde T é o período, f é a frequência, e w é a frequência angular. A unidade de T é segundo, a unidade de f é 1/segundo = Hertz, e a unidade de w é radiano/segundo. Desse modo, a frequência angular tem como unidade natural o radiano/segundo, mas pode ser expressa em rotações/minuto:

Por exemplo, qual deve ser a velocidade angular, em rotações por minuto, que um corpo deve girar para que a sua aceleração seja 50 vezes a aceleração da gravidade? gR vgmR mas, como vimos anteriormente v = wR, logo:

e finalizando:

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 9 onde g = 9,8 m/s2 e R é o raio da órbita do corpo, ou o raio de centrifugação.

Para deduzir a equação da aceleração usada inicialmente, vamos considerar que num dado instante o corpo está no ponto P com velocidade v! e que um intervalo de tempo ∆t posterior esteja no ponto Q com velocidade seja v! , de modo que essas duas velocidades tenham o mesmo módulo v .

θs
r

A variação do vetor velocidade é dado por v !!! −=∆ , e vamos considerar como θ o ângulo formado pelos vetores v! e v! . Esse triângulo formado pelos vetores mencio- nados é isósceles já que os vetores v! e v! têm mesmo módulo. Podemos definir um outro triângulo isósceles formado pela reta que une o centro do triângulo ao ponto P , pela reta que une o centro deste mesmo triângulo ao ponto Q e pela corda s que une os pontos P e Q . Esses dois triângulos são equivalentes pois os lados iguais fazem en- tre si o mesmo ângulo θ .

A equivalência entre os triângulos é expressa pela equação:

rsv

A trajetória do corpo em movimento circular é, naturalmente, ao longo da curva, e não ao longo da corda s , mas para um intervalo de tempo ∆t pequeno, podemos aproximar a corda pela curva. O comprimento da curva a considerar é o espaço percorrido pelo corpo com velocidade constante, ou seja :

curva = v ∆t logo corda = s ≈ v ∆t portanto rvtvr tvv

No limite quando ∆t → 0 a aproximação da corda pela curva torna-se uma igualdade:

rvt va Lim

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Vale a pena enfatizar que a direção da aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Deve-se notar, portanto, que não é necessário existir movimento na direção da aceleração.

Movimento relativo

Os resultados da observação de um evento dependem do referencial usado pelo observador. Um acontecimento que ocorre no interior de um vagão de um trem tem uma aparência para observadores fixos no interior desse trem e uma outra aparência diferente para observadores fixos nos trilhos.

Vamos considerar dois referenciais S e S , considerando que S move-se com veloci- dade constante u! em relação a S .

Um evento que é localizado no

referencial S pelo vetor posição r! , será localizado no referencial S pelo vetor posição r! é esses dois vetores estão relacionados do seguinte modo:

A velocidade com que um dado corpo se move é medida de maneira diferente por cada um desses referenciais.

y y´
x

Se para um observador no referencial S a velocidade é v! , para um outro obser- vador no referencial S a velocidade é v! . Encontramos a maneira como essas veloci- dades estão relacionadas derivando a relação entre os vetores posição:

uvvudt rddt

Coger con la mano una bala disparada!

sorpresa cuando comprendió, que lo que acababa de cazar era¡una bala de fusil

Durante la primera guerra mundial, según información de prensa, a un aviador francés lo ocurrió un caso extraordinario. Cuando iba volando a dos kilómetros de altura, este aviador se dio cuenta que junto a su cara se movía una cosa pequeña. Pensó que sería algún insecto, y, haciendo un ágil movimiento con la mano, lo cogió. Cuál sería su alemana! ¿Verdad que esto recuerda los cuentos del legendario barón Münchhausen, que también aseguró haber cogido una bala de cañón con las manos?

No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogió la bala, no tiene nada de imposible. Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de 800- 900 m por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, van cada vez más despacio y al final de su trayectoria, pero antes de empezar a caer, recorren solamente 40 m por

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 1 segundo. Esta era una velocidad factible para los aeroplanos de entonces. Por consiguiente, la bala y el aeroplano podían volar a una misma velocidad, en un momento dado, y, en estas condiciones, aquélla resultaría inmóvil o casi inmóvil con relación al piloto. Es decir, éste podría cogerla fácilmente con la mano, sobre todo con guante (porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire).

Física Recreativa - Yakov Perelman

Solução de alguns problemas

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - Edição antiga

"19"Um malabarista consegue manter simultaneamente cinco bolas no ar, todas atingindo uma altura máxima de 3m . Encontre o intervalo de tempo entre duas bolas que chegam às suas mãos. Considere que os intervalos são os mesmos para todas as bolas.

Vamos considerar t o tempo necessário para que uma bola atinja a altura máxima de h = 3m . Logo T = 2t é o tempo que cada bola permanece no ar até cair de volta nas mãos do malabarista.

Se tivéssemos apenas duas bolas, jogaríamos a primeira bola e após T/2 jogaríamos a segunda bola.

Como temos cinco bolas, jogaríamos a primeira, após T/5 jogaríamos a segunda, após T/5 jogaríamos a terceira, após T/5 jogaríamos a quarta e finalmente após T/5 jogaríamos a quinta bola. A seguir pegaríamos a primeira que permaneceu

5T/5 no ar. Vamos chamar de ∆t o intervalo entre a chegada de duas bolas, logo:

Considerando que o tempo de descida é o mesmo que o de subida, soltando uma da bolas ela terá um movimento tal que:

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

22Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está 45m acima de um solo plano. A velocidade na saída do cano é 250m/s .

a)Por quanto tempo o projétil permanece no ar?

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 12 h = 45m v0x = 250m/s v0y = 0 b)A que distância da arma, na horizontal, ele cai ao solo? c)Qual o módulo da componente vertical da velocidade, no instante em que atinge o solo? vy = v0y - gt = - gt = - 10.3,03 = -30,3m/s

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

30Uma pedra é lançada para o alto de um penhasco de altura h , com uma velocidade inicial de 42m/s e uma ângulo de 600 , acima da horizontal. A pedra cai 5,5s após o lançamento. Calcule:

a)Calcule a altura h do penhasco.

v0 = 42m/s

h

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