018 ondas II VI

018 ondas II VI

(Parte 1 de 8)

Versão preliminar 3 de fevereiro de 2004

18. ONDAS I - ONDAS SONORAS2
A VELOCIDADE DO SOM2
PROPAGAÇÃO DE ONDAS SONORAS4
INTENSIDADE E NÍVEL DO SOM6
FONTES SONORAS MUSICAIS6
BATIMENTOS7
O EFEITO DOPPLER9
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS12
0112
0413
0513
0614
0714
1015
115
1216
1318
1619
“19”19
“20”20
3021
452
4623
“48”24
4825
4925
“50”26
5126
5427
528
“69”29

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 2

18. Ondas I - Ondas sonoras

Ondas sonoras são familiares à nossa existência e faz parte de nosso cotidiano a convivência com corpos que produzem sons. Esses sons podem ser ruídos de choque entre dois corpos ou melodias produzidas por instrumentos musicais.

As ondas sonoras necessitam de um meio elástico para se propagarem, e não existe essa propagação no vácuo. Num sólido podemos ter ondas longitudinais ou ondas transversais. Como os fluidos (líquidos e gases) não suportam tensão de cisalhamento, apenas as ondas longitudinais se propagam neste meio.

A velocidade do som

As ondas se caracterizam por ser um transporte de energia, associado a uma oscilação da matéria. A energia se propaga através da interação de elementos de volume adjacentes. Como cada material se caracteriza por um arranjo específico da matéria, a interação entre os elementos de volume adjacentes se dá de um modo peculiar para cada material que consideremos. Por isso a onda sonora se propaga com uma velocidade dife- rente para cada meio. Em particular, a sua velocidade no ar a 200C é de vS = 343m/s .

Uma onda sonora se propaga numa sucessão de compressões e rarefações, e em cada material esses movimentos têm uma característica peculiar. Existe uma grandeza que dá conta dessas variações em um meio: é o módulo volumétrico da elasticidade B , que leva em conta a variação de pressão e a variação fracional de volume. Ele é definido como:

V pB e no limite quando ∆V → 0 , temos que

Outro modo de apresentar B é usando-se a densidade volumétrica de massa ρ = M/V ao invés do volume. Temos que ρρρρ ρ ddp VVMddpdVdddpdVdp logo dp dBdpdV

A velocidade do som em um meio elástico é dada por:

ρ Bv =

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 3

Para deduzir a equação da velocidade do som, vamos considerar a propagação de um pulso em um tubo longo.

Consideremos um fluido de densidade volumétrica ρ e pressão P preenchendo o tubo desenhado ao lado. Num dado instante comprimimos esse fluido movimentando o êmbolo para á direita com velocidade u durante um inter- valo de tempo ∆t . O movimento do pistão é transmitido às moléculas do fluido pelas colisões que elas

v ∆t

t = t0 efetuam com o pistão e pelas colisões entre elas.

À medida que as moléculas colidem com a superfície do pistão, elas adquirem velocidades maiores que a média, transmitindo através dos choques essa propriedade para as moléculas adjacentes. A região hauchuriada comporta-se como um pulso propagando-se para a direita.

O impulso dado pelo pistão

ao volume representado pela área hauchuriada será igual à sua variação da quantidade de movimento, ou seja:

Impulso = I = F ∆t Mas

F = F1 - F2 = (p + ∆p)A - pA

F = ∆p A ou seja:

I = (A ∆p) ∆t

A variação da quantidade de movimento do volume perturbado é dado por:

variação da quantidade de movimento = ∆m v onde ∆m é a massa do fluido que entra em movimento depois de um intervalo ∆t em que aconteceu o movimento do êmbolo, ou seja:

∆m = ρ ∆V = ρ (u ∆t A)

Considerando que o impulso é igual à variação da quantidade de movimento, temos que:

F ∆t = ∆m v⇒ ∆p = ρ v u

Mas o módulo da elasticidade é:

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 4 onde, usando as nossas convenções:

∆V = VF - VI < 0 ∆V = - (u ∆t) A

V= (v ∆t) A logo:

ρ ρ Bvv uBuvpv

Atv AtuBV

Quando consideramos a propagação de uma onda como um processo adiabático, ou seja: a propagação é um evento tão rápido que não possibilita a troca de calor no meio, devemos considerar a equação de estado:

p Vγ = constante onde:

Diferenciando ambos os lados da equação de estado, temos que:

pdV dpVdVV pdpVpdVVdpV γγγ γγγ logo:

ργρ γ pBvpdV

Propagação de ondas sonoras

À medida que uma onda sonora avança num tubo, cada volume elementar do fluido oscila em torno de sua posição de equilíbrio.

Os deslocamentos se realizam para direita e para esquerda sobre a direção x , na qual a onda se propaga.

De modo geral, uma onda progressiva s(x,t) que se propaga no sentido positivo do eixo x , tem a forma:

s(x,t) = f(x - vt)

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 5

Considerando uma onda harmônica progressiva, temos que:

s(x,t) = sM cos(kx -wt)

Vamos considerar uma situação simplificada, mas sem perda de generalidade. Num ins- tante t1 = t0 dois elementos de volume estão nas suas respecti- vas posições de equilíbrio, e num instante posterior t2 = t0 + ∆t eles sofreram os deslocamentos de acordo com a equação anterior.

(Parte 1 de 8)

Comentários