Baixe Termodinamica e outras Notas de estudo em PDF para Termodinâmica, somente na Docsity! Versão preliminar 16 de fevereiro de 2004 Notas de Aula de Física 19. TEMPERATURA, CALOR E PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA.......................... 2 TEMPERATURA ................................................................................................................... 2 EQUILÍBRIO TÉRMICO........................................................................................................... 2 LEI ZERO DA TERMODINÂMICA ............................................................................................. 2 MEDINDO A TEMPERATURA.................................................................................................. 2 A escala Celsius............................................................................................................ 3 A escala Fahrenheit ...................................................................................................... 4 Relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit ............................................................ 4 A escala Kelvin.............................................................................................................. 4 DILATAÇÃO TÉRMICA ........................................................................................................... 5 CALOR............................................................................................................................... 6 UM OLHAR MAIS DE PERTO NO CALOR E TRABALHO ............................................................... 7 A ABSORÇÃO DE CALOR...................................................................................................... 8 PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA ....................................................................................... 9 ALGUNS CASOS ESPECÍFICOS DA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA ....................................... 9 Processos adiabáticos .................................................................................................. 9 Processos a volume constante ................................................................................... 10 Processos cíclicos....................................................................................................... 10 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR...................................................................... 10 Condução.................................................................................................................... 11 Radiação..................................................................................................................... 13 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 14 03 ................................................................................................................................ 14 05 ................................................................................................................................ 15 07 ................................................................................................................................ 16 09 ................................................................................................................................ 16 16 ................................................................................................................................ 17 18 ................................................................................................................................ 17 21 ................................................................................................................................ 18 22 ................................................................................................................................ 19 23 ................................................................................................................................ 20 25 ................................................................................................................................ 21 “32”.............................................................................................................................. 21 “33”.............................................................................................................................. 22 35 ................................................................................................................................ 23 43 ................................................................................................................................ 24 46 ................................................................................................................................ 24 49 ................................................................................................................................ 25 50. ............................................................................................................................... 26 53 ................................................................................................................................ 27 57 ................................................................................................................................ 28 60 ................................................................................................................................ 28 61 ................................................................................................................................ 29 65 ................................................................................................................................ 30 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 2 19. Temperatura, Calor e Primeira Lei da Termodinâmica Temperatura O tato constitui uma das maneiras mais simples de fazer uma distinção entre cor- pos quentes e frios. Mas essa maneira de avaliação é bastante imprecisa, e além do mais poderá causar dificuldades se as temperaturas dos corpos estiverem muito próximas. Se construirmos uma experiência com três recipientes contendo água, onde um deles está a temperatura ambiente, o segundo a uma temperatura acima da ambiente e o terceiro a uma temperatura abaixo da ambiente. Vamos mergulhar uma das mãos no recipiente com água a uma temperatura acima da ambiente e a outra mão no recipiente com água a uma temperatura abaixo da ambiente, e permanecer pouco mais de um minuto nessa situação. Ao mergulhar as duas mãos no recipiente a temperatura ambiente iremos ter a sensação estranha onde uma mão manda a informação que a água está numa certa temperatura enquanto a outra mão manda uma informação de uma temperatura diferente. A mão que estava no recipiente com água mais fria sente a água mais quente, e a mão que estava no recipiente com água mais quente sente a água mais fria. Felizmente existem substâncias que nos dão uma medida da temperatura de ou- tros corpos e a relação entre elas. São chamadas de substâncias termométricas. A temperatura é uma medida da agitação das partículas que compões um certo material. Se considerarmos as moléculas um gás, quanto maior a sua temperatura mais energia cinética terão essas moléculas. Equilíbrio térmico Dois corpos em contato físico, estão em equilíbrio térmico quando param de trocar energia, quando o fluxo líquido de energia entre eles é nulo. Quando isso acontece, a temperatura dos dois corpos é a mesma. Lei Zero da Termodinâmica Se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmico com um terceiro corpo C (o termômetro) , eles também estarão em equilíbrio térmico entre si. Medindo a Temperatura Existem várias grandezas que variam as suas características quando varia a nossa percepção fisiológica de temperatura. Entre essas grandezas estão: - o volume de um líquido, - o comprimento de uma barra - a resistência elétrica de um material - o volume de um gás mantido a pressão constante Qualquer dessas pode ser usada para construir um termômetro, isto é: estabelecer uma determinada escala termométrica. Uma tal escala termométrica é estabelecida pela escolha de uma determinada substância termométrica e também uma propriedade ter- mométrica desta substância. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 5 X X XT XTaXXT       =∴= 0 0 )()()( Considerando o ponto triplo da água, escolhemos a temperatura de calibração na escala Kelvin. p p KT Tr     = 16,273 Uma vez calibrada a escala obtemos o valor de kB = 1,38x10-23J/K . A correspon- dência entre as escalas Celsius e Kelvin é tal que: 00C = 1000C = 273,16K 373,15K ou seja: TK = TC + 273,16 Dilatação térmica Quando aumentamos a temperatura de um sólido ele se dilata. A dilatação térmica desse sólido está associada ao aumento da distância entre os átomos vizinhos que o compõe. Poderíamos dizer que a força de interação elétrica entre esses átomos já não é suficiente para mantê-los tão próximos um dos outros devido a agitação térmica oriunda do aumento da temperatura. Consideremos que em uma temperatu- ra inicial TI um sólido tenha um compri- mento L0 . Se aumentarmos a temperatura de ∆T , esse sólido aumentará o seu com- primento de ∆L . Para uma dada variação de temperatura podemos entender que a L0 ∆L L a dilatação do sólido ∆L será proporcional ao seu comprimento inicial L0 . Para uma va- riação de temperatura suficientemente pequena, podemos ainda inferir que a dilatação do sólido ∆L também será proporcional ao aumento da temperatura ∆T . Desse modo, po- demos resumir, como: ∆L = α L0 ∆T onde a constante de proporcionalidade α é chamada de coeficiente de dilatação linear do material considerado. Como ∆L = L – L0 L = L0 ( 1 + α ∆T ) Para muitos sólidos os coeficientes de dilata- ção é o mesmo nas suas diversas dimensões. Dize- mos que eles têm uma dilatação isotrópica. Vamos considerar que uma chapa plana tenha dimensões L01 e L02 para uma dada temperatura inicial. Quando va- riamos a temperatura de ∆T as dimensões se alteram para L1 e L2 conforme a figura ao lado. Consideran- do que os coeficiente de dilatação são os mesmos nas duas dimensões, teremos que: L1 = L01 ( 1 + α ∆T ) L2 = L02 ( 1 + α ∆T ) L01 L02 L1 L2 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 6 As áreas inicial e final podem ser definidas como: A0 = L01 L02 e A = L1 L2 A =[ L01 ( 1 + α ∆T )] [ L02 ( 1 + α ∆T )] ou seja: A = A0 [ 1 + 2 α ∆T + (α ∆T)2 ] A aproximação da dilatação térmica ∆L = α L0 ∆T é válida apenas igualmente para todos os materiais apenas em circunstâncias restritas, ou seja quando α ∆T << 1 , e des- se modo podemos afirmar que: α ∆T >> (α ∆T)2 ou seja: A = A0 [ 1 + 2 α ∆T] Quando lidamos com dilatação volumétrica de sólidos, podemos usar um raciocínio similar e encontrar que: V = V0 [ 1 + 3 α ∆T] Em sólidos isotrópicos o coeficiente de dilatação superficial é definido como γ = 2α e o coeficiente de dilatação volumétrica é definido como β = 3α . Calor No final do século XVIII, existiam duas hipóteses alternativas sobre o calor. A hi- pótese mais aceita considerava o calor como uma substância fluida indestrutível que “preencheria os poros” dos corpos e escoaria de um corpo mais quente a um mais frio. Lavoisier chamou esta substância hipotética de “calórico”. A implicação era que o calor pode ser transferido de um corpo a outro, mas a quantidade total de “calórico” se conser- varia, ou seja, existiria uma lei de conservação de calor. A hipótese rival, endossada entre outros por Francis Bacon e Robert Hooke, foi as- sim expressa por Newton em 1704: “O calor consiste num minúsculo movimento de vibra- ção das partículas dos corpos”. A principal dificuldade estava na “lei de conservação do calórico”, pois a quantidade de calórico que podia ser “espremida para fora” de um corpo por atrito era ilimitada. Com efeito, em 1798, Rumford escreveu: “Foi por acaso que me vi levado a realizar as experi- ências que vou relatar agora...Estando ocupado ultimamente em supervisionar a perfura- ção de canhões nas oficinas do arsenal militar de Munique, chamou-me a atenção o ele- vado grau de aquecimento de um canhão de bronze, atingido em tempos muito curtos, durante o processo de perfuração...A fonte de calor gerado por atrito nestas experiências parece ser inesgotável ... e me parece extremamente difícil de conceber qualquer coisa capaz de ser produzida ou transmitida da forma como o calor o era nestas experiências, exceto o MOVIMENTO. Rumford foi levado a endossar a teoria alternativa de que “...o calor não passa de um movimento vibratório que tem lugar entre as partículas do corpo”. H. Moysés Nussenzveig Curso de Física Básica – Vol2 – 4a. edição Editora Edgard Blücher Ltda. São Paulo - 2002 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 7 Um olhar mais de perto no Calor e Trabalho Calor Q é energia em trânsito de um corpo para outro devido à diferença de tem- peratura entre eles. Trabalho W é a energia que é transferida de um sistema para outro de tal modo que a diferença de temperaturas não esteja envolvida. As grandezas Q e W não são características do estado de equilíbrio do sistema, mas sim dos processos termodinâmicos pelos quais o sistema passa quando vai de um estado de equilíbrio para outro. Desse modo, se um sistema vai de um estado de equilí- brio inicial para um outro estado de equilíbrio final, por dois caminhos diversos, para cada caminho ele terá um valor de Q e W específico. Q e W são definidos como: Q = calor transferido para o sistema W = trabalho realizado pelo sistema De modo geral, nós separamos uma certa quantidade de material que desejamos analisar. A esse material chamamos de sistema, que pode estar isolado (ou não) da sua vizinhança. A interação com a vizinhança pode ser de vários tipos: trocando calor, trocan- do trabalho, ou ambos os casos simultaneamente. Um sistema sofre transformações que o levarão de um estado de equilíbrio inicial a um estado final, através de diversos estados intermediários. O caminho entre os estados inicial e final, através dos estados intermediários se dá por causa da interação do sistema com a sua vizinhança. Para exemplificar, calculemos o tra- balho feito por um sistema formado por um gás isolado no interior de um pistão, cujo êmbolo pode movimentar-se livremente sem atrito. Considere que inicialmente o êmbolo estava preso e continha um volume Vi , após ser solto ele moveu-se e o volume passou a ser Vf , quando então ele tornou a ser preso. O êmbolo subiu como conse- quência da pressão p exercida pelo gás. O trabalho elementar feito por esse sistema é definido como: Vf Vi dW = F dx = p A dx ou seja: quando o êmbolo moveu-se de dx , sob a ação de uma pressão interna p , o sistema executou um trabalho dW . A área do êmbolo é A , daí a variação de volume associada a dx é igual a dV = A dx , e portanto: dW = p dV O trabalho total executado pelo siste- ma entre os estados inicial e final, é definido como: ∫= f i if dVpW e considerando a definição de integral, te- mos que esse trabalho será a área abaixo da curva que vai do estado inicial até o es- tado final. p pi i pf a f Vi Vf V Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 10 rapidamente que o sistema chega ao seu estado final antes que possa trocar calos com a vizinhança. Num processo adiabático, Q = 0 e de acordo com a Primeira Lei da Termodi- nâmica: ∆EInt = - W Processos a volume constante São os chamados processos isométri- cos. Usando a definição de trabalho execu- tado pelo sistema entre os estados inicial e final, encontramos que: ∫= f i if dVpW = 0 porque não aconteceu variação de volume. Através da Primeira Lei da Termodinâmica encontramos que: ∆EInt = Q p pi i pf f Vi = Vf V Processos cíclicos Num processo cíclico o sistema passa por várias transformações, mas ao final do processo ele retorna ao estado inicial. Desse modo, temos que EI = EF e portanto não existe variação de energia interna, logo: Q = W Mecanismos de transferência de Calor A transferência de calor de um ponto a outro de um meio se dá através de três pro- cessos diferentes: convecção, radiação e condução. A convecção ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o ca- lor é transferido pelo movimento do próprio fluido, que constitui uma corrente de convec- ção. Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por conseguinte tende a subir sob o efeito gravitacional, sendo substituído por um fluido mais frio, o que gera naturalmente correntes de convecção. O borbulhar da água fervente em uma panela é o resultado de correntes de convecção. A radiação transfere calor de um ponto a outro através da radiação eletromagnéti- ca. A radiação térmica é emitida de um corpo aquecido e ao ser absorvida por outro corpo pode aquecê-lo, convertendo-se em calor. O aquecimento solar é uma forma de aprovei- tamento da radiação solar para a produção de calor. Um ferro em brasa emite radiação térmica e aquece a região que o rodeia. A condução de calor só pode acontecer através de um meio material, sem que haja movimento do próprio meio. Ocorre tanto em fluidos quanto em meios sólidos sob o efeito de diferenças de temperatura. H. Moysés Nussenzveig Curso de Física Básica – Vol2 – 4a. edição Editora Edgard Blücher Ltda. São Paulo – 2002 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 11 Quando colocamos uma panela com água no fogo, ele começa a aquecer a água. Esse processo inicial de aquecimento se dá por condução de calor, e a parte na superfície da água vai sendo aquecida paulatinamente. No entanto a taxa de aquecimento da água no fundo da panela é maior do que a taxa de aquecimento da água na superfície. A água entre o fundo e a superfície não dá conta da condução do calor que é comunicado através do fogo. Começam a se formar no fundo bolsões de água mais quentes que a vizinhança, e esses bolsões começam a subir para a superfície. Nesse instante a convecção passa a ser o processo principal de condução de calor na panela. E isso acontece por causa da incapacidade da água conduzir calor de maneira adequada nesta panela sobre o fogo. Condução Consideremos dois reservatórios tér- micos que estão a temperaturas diferentes TQ e TF, tais que TQ > TF . Estes dois reser- vatórios serão conectados por uma placa de área transversal A e comprimento L , conforme mostra a figura ao lado. Vamos supor que a placa está isolada das vizi- nhanças, de modo que através dela passa apenas o fluxo de calor entre os reservató- rios. Intuitivamente pode-se perceber que a taxa de transferência de calor dQ/dt que flui através da placa é proporcional à sua área e a diferença de temperatura entre os reservatórios de calor, e inversamente pro- porcional ao seu comprimento. Ou seja: L x Reservatório quente Reservatório frio TQ TF TQ > TF L TT kA dt dQ FQ −= onde a constante de proporcionalidade k é conhecida como condutividade térmica da barra. Se considerarmos uma placa de comprimento ∆x , que una dois reservatórios que têm uma diferença de temperatura ∆T , encontraremos que: x TkA dt dQ ∆ ∆−= onde o sinal negativo exprime o fato que o calor flui de temperaturas mais quentes para temperaturas mais frias. Quando tivermos ∆x → 0 , encontraremos que: dx dTkA dt dQ −= No estado estacionário, a temperatura na barra não depende mais do tempo t , e o fluxo de calor é o mesmo em qualquer parte da barra. Desse modo dQ/dt é uma cons- tante, e a equação anterior toma a forma: ( )QFQF xxkATTdxkAdTdx dTkA −Ρ−=−∴Ρ−=⇒−=Ρ Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 12 ou seja: L kA T Ρ=∆ logo: L TT kA L TkA dt dQ FQ −=∆==Ρ e desse modo poderemos calcular o fluxo de calor através da placa. Se quisermos saber como varia a temperatura ao longo da barra, podemos usar que: QTxkA xTdx kA dT +Ρ−=⇒Ρ−= )( Q QF Tx L TT xT +    − =)( L x TQ TF T TQ TF L x Condução através de uma parede composta Consideremos dois reservatórios térmi- cos que estão a temperaturas diferentes TQ e TF, tais que TQ > TF . Estes dois reservató- rios serão conectados por duas placas de mesma área transversal A ; comprimentos L1 e L2 e condutividades térmicas k1 e k2 respectivamente , conforme mostra a figura ao lado. Encontre a temperatura na junção das placas o fluxo de calor através delas. O fluxo de calor que sair da fonte quente e atravessar a primeira placa, será o mesmo que irá atravessar a segunda placa e chegar até a fonte fria. Portanto o fluxo Ρ1 que atravessa a primeira placa é igual ao fluxo Ρ2 que atravessa a segunda placa dt dQ dt dQ dt dQ 21 == Mas dx dTkA dt dQ −==Ρ L2 L1 x Reservatório quente Reservatório frio TQ TF TQ > TF T TQ TX TF L2 L1+L2 x        − =Ρ∴−=Ρ − =Ρ∴−=Ρ 1 2222 2 1111 L TT Ak dx dTAk L TT Ak dx dTAk FX XQ Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 15 Tr TrEb Tp p TT T +    − = 2 1 ( ) 16,273 120 9016,27316,373 +−= Torr TorrKKT T = 348,16K Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker 05 A que temperatura os seguintes pares de escala possuem a mesma leitura, se isto acontecer: a) Fahrenheit e Celsius. A relação entre estas escalas é: ( )32 9 5 −    = FC TT e portanto teremos mesma leitura T0 quando: ( )32 9 5 00 −    = TT ou seja: T0= - 400C = - 400F b) Fahrenheit e Kelvin. Temos que ( )32 9 5 −    = FC TT e TK = TC + 273,16 ou seja: ( )32 9 516,273 −    += FK TT e portanto teremos mesma leitura T0 quando: ( )32 9 516,273 00 −    += TT ou seja: T0 = 574,610F = 574,61K c) Celsius e Kelvin A relação entre estas escalas é: TK = TC + 273,16 e como é uma relação aditiva, não existe a possibilidade de termos as mesmas leituras nas duas escalas. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 16 Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker 07 Observa-se no dia-a-dia que objetos quentes e frios se esfriam o aquecem até a temperatura do ambiente ao seu redor. Se a diferença de temperatura ∆T ente um objeto e o seu ambiente (∆T = TObj – TAmb ) não for muito grande, a taxa de resfria- mento ou de aquecimento de um objeto é proporcional, aproximadamente, a essa diferença de temperatura; ou seja: ( ) ( )TA dt Td ∆−=∆ onde A é constante. O sinal negativo aparece porque ∆T diminui com o tempo se ∆T for positivo e aumenta com o tempo se ∆T for negativo. Essa equação é conhe- cida como a Lei de resfriamento de Newton. a) De que fatores depende A ? Qual é a sua unidade? A depende principalmente da condutividade térmica do objeto. O lado esquerdo da equação tem unidades de temperatura sobre tempo, e desse modo, a unidade de A é o inverso de tempo: s-1 . b) Se em algum instante t = 0 a diferença de temperatura for ∆T0 , mostre que em um instante posterior ela será ∆T = ∆T0 e – A t Da equação diferencial, encontramos que: ( ) dtA T Td −= ∆ ∆ e quando integramos: ( ) 1ln cAtT +−=∆ ou seja AtAtc eceetT −− ==∆ 21)( Considerando as condições iniciais: 02)0( TcT ∆==∆ chegamos a: ∆T = ∆T0 e – A t Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker 09 Suponha que em uma escala linear de temperatura X , a água ferva a -53,50X e se congele a -1700X . Qual a temperatura de 340K na escala X ? Vamos supor que a relação entre a escala X e a escala Kelvin seja linear, ou seja: X(K) = a . K + b e ainda temos que: Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 17 X K T1 -53,50X 373,16K T2 -170,00X 273,16K Desse modo: X1 = a K1 + b X2 = a K2 + b logo: ( ) 16,27316,373 0,1705,53 21 21 2121 − −−= − − =∴−=− KK XX aKKaXX ou seja: a = 1,165 0X/K E ainda: b = X1 – a K1 = - 488,0450X Portanto: X(K) = 1,165 . K – 488,045 Quando a temperatura T0 = 340K , usando essa relação anterior, encontramos T0 = - 91,9450X Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker 16 A área S de uma placa retangular é ab .O seu coeficiente de expansão linear é α . Após um aumento de temperatura ∆T , o lado a aumenta de ∆a e o lado b au- menta de ∆b . Mostre que se a pequena quantidade (∆a ∆b)/ab for desprezada, então ∆S = 2 α S ∆T . ∆a = α a ∆T e ∆b = α b ∆T S = a b S + ∆S = ( a + ∆a) ( b + ∆b) S + ∆S = a b + a ∆b + b ∆a + ∆a ∆b a ∆a b ∆b S + ∆S = a b + 2 ab α ∆T + a b (α ∆T)2 Considerando que: 2 α ∆T >> (α ∆T)2 teremos ∆S = 2 α S ∆T Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker 18 A 200C , uma haste mede exatamente 20,05cm de comprimento em uma régua de aço. Tanto a haste quanto a régua são colocadas em um forno a 2700C , onde a haste passa a medir 20,11cm na mesma régua. Qual o coeficiente de expansão térmica para o material do qual é feita a haste? Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 20 d) O aumento percentual da massa da moeda. A massa obviamente não se modifica quando aumenta a temperatura. e) O coeficiente de expansão linear da moeda. ( ) 0018,01 00 0 0 =∆= ∆= − ∴∆+= T d d d dd Tdd αα logo: 106 0 1018 −−= ∆ ∆= Cx Td dα Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker 23 Um relógio de pêndulo com um pêndulo feito de latão é projetado para medir com precisão o tempo a 200C . Se o relógio operar a 00C , qual a intensidade de seu erro, em segundos por hora? O relógio adianta ou atrasa? Ti = 200C Tf = 00C ∆T = -200C αL = 0,7x10-6 0C-1 g lπ2=Τ O período do pêndulo Τ vai se alterar da seguinte maneira: 999997,01)1(' 2 '2 ' =∆+=∆+=== Τ Τ T l Tl l l g l g l L L α α π π ou seja: TL∆+Τ=Τ α1' Como o tempo esfria, a haste do pêndulo se contrai diminuindo o seu tama- nho, e portanto diminuindo o seu tempo correspondente ao seu período, ou seja : Τ’ < Τ. Desse modo, o mesmo intervalo de tempo passa a ter mais períodos que antes. Como o tempo é medido nesse tipo de relógio em relação ao número de períodos o relógio irá adiantar. Se inicialmente em 10s temos 10 períodos, depois do esfria- mento teremos mais períodos neste intervalo de tempo, e o relógio irá indicar um in- tervalo de tempo maior que os 10s iniciais. Imaginemos a medição de um certo a medição de um certo intervalo de tem- po t que corresponde a um certo número n de períodos Τ . Temos então que: Τ = tn Para calcular qual intervalo de tempo t’ será medido quando a temperatura variar, devemos multiplicar o número de períodos n pelo valor do novo período Τ’ . Ou seja: Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 21      Τ ∆Τ=     Τ Τ−=−=∆∴     Τ Τ=Τ= ttttttnt '1'''' txTtt L 61071 −=∆+=∆ α t - intervalo ∆t - atraso 1 hora 0,0252s 1 dia 0,6048s 1 mês 18,144s Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker 25 Como resultado de uma elevação de temperatura de 320C , uma barra com uma fis- sura no seu centro empena para cima. Se a distância fixa L0 for 3,77m e o coefici- ente de expansão linear da barra for 25x10-6/0C , determine a elevação x do centro da barra. ∆T = 320C L0 = 3,77m α = 25x10-6 0C-1 L = L0 ( 1 + α ∆T ) e 2 2 0 2 22 x LL +    =     ou seja:             −    = 2 0 2 02 1 2 L LLx L0 x L0 ( ) mLTLx 0754,002,011 2 0 20 ==−∆+= α Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker – Edição antiga “32” Consideremos um termômetro de mercúrio em vidro. Suponhamos que a seção transversal do capilar seja constante, A0 , e que V0 seja o volume do tubo do ter- mômetro a 00C . Se o mercúrio for exatamente o suficiente para encher o tubo a 00C , mostre que o comprimento L da coluna de mercúrio no capilar, depois de uma variação de temperatura ∆T , será: ( ) T A V L ∆−= αβ 3 0 0 ou seja: é proporcional à temperatura; β é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e α é o coeficiente de dilatação linear do vidro. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 22 Quando a temperatura varia, o volume do tubo es- férico de vidro varia para VV e o mercúrio que o preenchia inicialmente, varia para VM . desse modo, temos que: VM = V0 ( 1 + βM ∆T ) e VV = V0 ( 1 + βV ∆T ) Se existir um aumento de temperatura, o mercúrio transbordará do tubo esférico. L Seja ∆V o volume de mercúrio que transbordará: ∆V = VM – VV = V0 ( 1 + βM ∆T ) - V0 ( 1 + βV ∆T ) = V0 (βM - βV ) ∆T Mas ∆V = A0 L logo ∆V = V0 (βM - βV ) ∆T = A0 L Como temos que βM = β e βV = 3 α , teremos: ( ) T A V L ∆−= αβ 3 0 0 Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker – Edição antiga “33” Dois tubos verticais contém um líquido e estão ligados, pelas extremidades inferio- res, por um tubo capilar horizontal. Um dos tubos verticais encontra-se em um ba- nho que contém gelo e água em equilíbrio (00C) e o outro está em um banho de água quente (t0C) . A diferença entre as alturas nas colunas líquidas nos dois tubos é ∆h ; h0 é a altura da coluna a 00C . a) Mostrar que esse aparelho, usado originalmente por Du- long e Petit em 1816, pode ser utilizado para medir o ver- dadeiro coeficiente de dilata- ção β de um líquido ( e não a dilatação diferencial entre ele e o vidro. Como os tubos verticais se comunicam e estão co- nectados por um tubo capilar ∆h 00C t0C h0 1 2 horizontal, as suas pressões nos pontos mais baixos são iguais, ou seja: p1 = p2 ∴ p0 + ρ1gh0 = p0 + ρ2g(h0 + ∆h) ⇒ h0(ρ1-ρ2) = ρ2∆h É o mesmo líquido que preenche os dois tubos e o capilar, e portanto o peso desse líquido na coluna direita é igual ao peso na coluna esquerda. As colunas Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 25 cmcm LmcTmcTm T GA FGGGAA F + −+ = = 66,520C Mas ∆T = TA – TF = 800C – 66,520C ou seja: ∆T = 13,480C Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 49 Uma amostra de gás se expande de 1m3 para 4m3 enquanto a sua pressão diminui de 40Pa para 10Pa . Quanto trabalho é realizado pelo gás se a sua pressão varia com o volume passando por cada uma das três trajetórias mostradas no diagrama p- V da figura ao lado? ∫== 2 1 12 dVpWWB Para calcular esta integral deve- mos saber com a pressão p varia com o volume V ao longo da trajetória B . Através do gráfico constatamos que a curva é uma reta, do tipo: p = a V + b onde 14 4010 12 12 − −= − − = VV pp a = - 10 Pa/m3 e b = p1 – a V1 ⇒ b = 50Pa ou seja: p = -10 V + 50 e desse modo: ( ) 4 1 4 1 2 50 2 105010 2 1 VVdVVW V V B +−=+−= ∫ logo: WB = 75Joules Por outro lado: WC = W14 + W42 = W42 = (10Pa) . (4-1)m3 ou seja: WC = + 30Joules e também: WA = W13 + W32 = W32 = (40Pa) . (4-1)m3 ou seja: WA = + 120Joules 1 2 3 4 A B C Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 26 Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 50. Um sistema termodinâmico é levado de um estado inicial A para um outro estado B e de volta ao estado A , passando pelo estado C, como é mostrado pela trajetória ABCA no diagrama p-V da figura à seguir. Q W ∆EINT A → B + + + B → C + 0 + C → A - - - a) Complete a tabela acima pre- enchendo-a com + ou - para o sinal de cada grandeza termodinâmica associada com cada etapa do ciclo. A primeira lei da termodinâmica diz que: ∆E = Q - W A → B WAB = pA (VB – VA) > 0 mas como ∆EAB > 0 , QAB > WAB > 0 B → C WBC = 0 mas como QBC > 0 , ∆EBC > 0 C → A ∫ 〈= A C CA dVpW 0 pois envolve uma compressão: VC > VA . Por outro lado: ∆EAB = EB – EA > 0 e ∆EBC = EC - EB > 0 ou seja: EC – EA > 0 e portanto ∆ECA = EA – EC < 0 Como ∆ECA < 0 e WCA < 0 , podemos usar a primeira lei da termodinâmica e concluir que QCA < 0 . b) Calcule o valor numérico do trabalho realizado pelo sistema para o ciclo ABCA completo. O trabalho é a área abaixo da curva no gráfico p versus V. Em um ciclo, o A B C Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 27 trabalho W será a área no interior da curva. Como já foi explicado WCA < 0 , e portanto o trabalho no ciclo será negativo. PamalturabaseW 3)2040)(13( 2 1)).(( 2 1 −−== W = 20Joules Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 53 Quando um sistema é levado do estado i para o estado f ao longo da trajetória iaf na figura à seguir, Q = 50cal e W = 20cal . Ao longo da trajetória ibf , Q = 36cal . a) Qual o valor de W ao longo da trajetória ibf ?    = = calW calQ iaf 20 50 : e { calQibf 36: = Usando a primeira lei da termodinâmi- ca, encontramos que: ∆Eif = Qiaf – Wiaf = 30cal p a f i b V Mas, por outro lado ∆Eif = Qibf – Wibf ou seja: Wibf = Qibf - ∆Eif = 6cal b) Se W = -13cal para a trajetória de volta fi , qual será Q para essa trajetória? ∆Eif = Ef – Ei ∴ ∆Efi = Ei – Ef = - ∆Eif = - 30cal logo: Qfi = ∆Efi + Wfi = - 43cal c) Considere Ei = 10cal , qual é o valor de Ef ? ∆Eif = Ef – Ei ∴ Ef = ∆Eif + Ei = 30cal + 10cal = 40cal d) Considere Eb = 22cal , qual o valor de Q para as trajetórias ib e bf ? ∆Eib = Eb – Ei = 22 – 10 = 12cal ∆Ebf = Ef – Eb = 40 – 22 = 18cal e Wibf = Wib + Wbf Mas Wbf = 0 , logo Wib = Wibf = 6cal Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 30 L TT kA FQ − =Ρ logo: ( ) L TT kkA FQB − +=Ρ 21 A razão entre os fluxos: ( )221 21 kk kk B A + = Ρ Ρ e como as placas são iguais: AB B A Ρ=Ρ⇒= Ρ Ρ 4 4 1 A B B A B A B B B A A A t t Q Q t Q t Q = Ρ Ρ ⇒        =Ρ =Ρ Como QA = QB 4 A A A AB t tt = Ρ Ρ = ou seja: tB = 0,5min Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 65 Um tanque de água ficou destampado em tempo frio, e uma placa de gelo de 5cm de espessura se formou na sua superfície. O ar acima do gelo está a -100C . Calcule a taxa de formação de gelo (em centímetros por hora) na placa de gelo. Adote a con- dutividade térmica e massa específica do gelo como 0,0040cal/s.cm.0C e 0,92g/cm3. Suponha que não haja transferência de energia através das paredes ou pelo fundo do tanque. k = 0,0040cal/s.cm.0C ρ = 0,92g/cm3 LF = 79,5cal/g T1 = -100C T2 = 00C L = 5cm Vamos considerar que a camada de gelo vá se aprofundando, de modo que num intervalo de tempo dt , se forme uma ca- mada de gelo de área A e espessura dx , ou seja, se formaria um volume de gelo dV = A dx , e a esse volume corres- ponde uma massa dM , tal que: Ar T1 Gelo 5cm T2 Água Prof. Romero Tavares da Silva Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 31 dM = ρ dV = ρ A dx A quantidade de calor que deve ser retirada para a formação deste camada de gelo, é dada por: dQ = - LF dM = - ρ A LF dx A taxa de calor retirado no tempo, ou fluxo de calor será dada por: dt dxAL dt dQ Fρ−= onde dx/dt é a velocidade com que a camada dx de gelo aumenta, ou seja é a taxa de formação da placa de gelo. Mas por outro lado, o fluxo de calor que sai do gelo para a atmosfera através da placa de gelo já formada é dada por: L TTkA dt dQ 12 −= Como o gelo irá sendo formado como consequência desse fluxo, temos que: L TTkA dt dxAL dt dQ F 12 −=−= ρ ou seja: L TT L k dt dx F 12 −= ρ =1,09x10-4cm/s e ainda dt dx = 0,39cm/hora