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Versão preliminar 28 de janeiro de 2004

17. ONDAS I - ONDAS EM MEIOS ELÁSTICOS2
ONDAS E PARTÍCULAS2
ONDAS2
ONDAS TRANSVERSAIS E LONGITUDINAIS2
ONDAS PROGRESSIVAS3
COMPRIMENTO DE ONDA E FREQUÊNCIA4
VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DE UMA ONDA5
VELOCIDADE DE UMA ONDA NUMA CORDA ESTICADA6
ENERGIA E POTÊNCIA NUMA ONDA PROGRESSIVA7
O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO8
INTERFERÊNCIA - ONDAS NO MESMO SENTIDO8
INTERFERÊNCIA - ONDAS EM SENTIDO CONTRÁRIO9
Reflexão de ondas na extremidade de uma corda1
ONDAS ESTACIONÁRIAS E RESSONÂNCIA1
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS13
0513
“09”13
“1”15
1215
1316
“15”16
2016
2317
2719
3220
3420
3521
“38”21
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Prof. Romero Tavares da Silva

17. Ondas I - Ondas em meios elásticos

Quando você joga uma pedra no meio de um lago, ao se chocar com a água ela criará uma onda que se propagará em forma de um círculo de raio crescente, que se afasta do ponto de choque da pedra. As ondas também podem se propagar em um corda esticada, presa por suas extremidades; se introduzirmos uma perturbação num ponto qualquer dessa ela se propagará ao longo da corda. Esses são dois exemplos de ondas que necessitam de um meio para se propagar.

O som necessita de um meio para se propagar. A luz também é uma onda, e em particular uma onda eletromagnética. Ondas eletromagnéticas podem se propagar em um meio ou no vácuo.

Ondas e partículas

Escrever uma carta ou usar o telefone são duas maneiras de se entrar em contato com uma amiga numa cidade distante.

A primeira opção (a carta) envolve o conceito de partícula. Um objeto material se desloca de um ponto para outro, carregando consigo a informação e energia.

A segunda opção (o telefone) envolve o conceito de onda. Numa onda, informação e energia se deslocam de um ponto para outro, mas nenhum objeto material está realizando esta viagem. Em uma onda não existe o transporte de matéria

As ondas no mar movem-se com

Ondas velocidade perceptível. Mas cada partícula de água meramente oscila em torno de seu ponto de equilíbrio.

As partículas descrevem um movimento circular e temos uma combinação de um movimento na direção de movimento da onda com um movimento perpendicular à direção de movimento da onda.

Ondas transversais e longitudinais

Inicialmente a corda está esticada horizontalmente e em repouso. Introduz-se um perturbação de modo a se criar uma corcova na corda, e a onda dessa forma se propaga. Depois da passagem da perturbação por um dado pedaço da corda ela retornará a sua situação original de repouso.

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Numa corda esticada temos a propagação de ondas

Prof. Romero Tavares da Silva transversais. Nas ondas transversais, o meio no qual a onda se propaga oscila na direção perpendicular à direção de propagação da onda. Se isolarmos para observação um elemento de corda, ele oscilará para cima e para baixo enquanto a onda se propagará horizontalmente.

Por outro lado, se considerarmos uma mola, teremos a propagação de ondas longitudinais. Nas ondas longitudinais, o meio no qual a onda se propaga oscila na direção de propagação da onda.

Um exemplo

típico de onda longitudinal é mostrado ao lado, onde pulsos periódicos estão sendo comunicados à uma mola

Ondas progressivas

Vamos considerar um pulso em forma de corcova se propagando em uma corda. No instante t = 0 , o pulso tem o formato da esquerda e num instante t posterior o pulso manteve o mesmo formato, mas se moveu para a direita.

A função que descreve o formato da corda em t = 0 é dada por: y(x,0) = f(x)

Num instante posterior t , a função que descreverá a forma da corda é dada por: y(x,t) = f(x')

Se o pulso na corda move-se com velocidade com velocidade v , depois de um tempo t , todos os pontos da corcova mover-se-ão de uma distância v t .

Se estivermos observando um dado ponto específico da corcova, por exemplo onde ela tem metade do valor máximo. Em t = 0 esse ponto está distante de x da coordenada do ponto de máxima altura, mas num tempo t posterior ele estará distante x' do máximo, que se moveu de v t com toda a corcova. A relação entre essas grandezas é tal que:

x = x' + v t⇒ x' = x - v t

x(0) x(t) x'(t)

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Desse modo teremos que para uma onda progressiva que se move no sentido positivo do eixo x , y( x , y ) = f( x - v t )

Uma onda progressiva, independente da sua forma, depende de x e t como mostrado na equação anterior.

Por outro lado, se tivéssemos uma onda progressiva viajando para a esquerda (quer dizer na direção negativa do eixo x ), ela teria uma dependência funcional em x e t da forma: y( x , y ) = g( x + v t )

Se tivéssemos ondas progressivas viajando nos dois sentidos, elas seriam representadas funcionalmente por:

y( x , y ) = f( x - v t ) + g( x + v t )

Comprimento de onda e frequência

Se estivermos observando a propagação de uma onda harmônica em uma corda, denomina- mos comprimento de onda λλλλ distância entre dois pontos equivalentes consecutivos. Na figura ao lado consideramos o comprimento de onda como a distância entre dois máximos consecutivos.

Se estivermos observando um pequeno pedaço da corda enquanto uma onda harmônica se propaga, notaremos que esse elemento de corda irá se mover para cima e para baixo.

Se medirmos cada posição

desse pedaço de corda à medida que o tempo evolui, ao desenhar o gráfico das posições desse pedaço versus o tempo encontraremos uma curva do tipo mostrado à esquerda.

Denominamos período T o tempo entre dois pontos equivalentes consecutivos. Na figura ao lado consideramos o período como a distância entre dois máximos consecutivos. -1,0

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Um caso particular muito im-

Velocidade de propagação de uma onda portante de onda progressiva tem a forma de uma senóide:

No instante t = 0 a função

y(x,t) = yM sen(kx - wt) tem a forma da curva de traço contínuo e para um tempo poste- rior ∆t a função tem a forma da curva tracejada.

Chamamos a grandeza k de

número de onda (ou vetor de onda) e o definimos como:

Chamamos w de frequência angular e a definimos como:
Chamamos de fase ϕ(x,t) o argumento da senóide, ou seja:

ϕ(x,t) = kx - wt

Um ponto de fase constante ocupa uma certa posição relativa na onda. Se marcarmos um certo ponto de máximo e passarmos a acompanhá-lo, iremos verificar que mesmo com a onda se movimentado á medida que o tempo evolui, a fase daquele máximo se mantém constante.

Assim, se quisermos calcular a velocidade com que uma onda se propaga devemos acompanhar um dado ponto dela, ou seja um ponto de fase constante:

ϕ(x,t) = kx - wt = constante

Tkwdt dxvwdt

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Velocidade de uma onda numa corda esticada

Para calcular a velocidade de uma onda em uma corda vamos considerar um pequeno pulso se propagando da esquerda para a direita em uma corda de densidade linear de massa µ e que é esticada através de uma tensão T aplicada nas suas extremidades. No sentido de facilitar a visualização apresentamos à seguir uma ampliação do pequeno pulso que se propaga.

Vamos analisar um pequeno pedaço de comprimento ∆L na parte superior do pulso. esse pedaço ∆L pode se considerado aproximadamente com o formato de um arco de círculo de raio R e definindo um pequeno ângulo θ .

A análise ficará adequada aos nossos propósitos se observarmos o movimento do pulso em um referencial que o acompanha com mesma velocidade. Neste referencial que se move com velocidade v! em relação aos suportes que prendem a corda, observamos a corda se mover e tomar a forma de pulso. Se observarmos apenas o pedaço de com- primento ∆L veremos que momentaneamente ele tem uma trajetória circular. Teremos a percepção de um pulso congelado e a corda escorregando através dele, como se existisse um tubo na forma de pulso e a corda escorregasse por dentro desse pulso.

Como as forças que atuam na corda não se alteram devido a essa mudança de referencial, temos que é nula a resultante horizontal das forças que atuam no pedaço de cor- da e é não nula a resultante vertical. E como no referencial que se move com velocidadev! o pedaço de corda descreve movimento circular, esta resultante vertical é a força cen- trípeta que atua neste pedaço de corda.

θ /2θ /2

θ Logo:

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