resolução alguns exercícios cap 9 halliday 4 edição em português

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Junho de 203, as 2:0 p.m.

Exercıcios Resolvidos de Dinamica Classica

Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fısica teorica, Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fısica

Materia para a QUARTA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro “Fundamentos de Fısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteudo

9.1 Questoes2
9.2 Problemas e Exercıcios2
9.2.1 O Centro de Massa2
9.2.2 O Momento Linear5

9 Sistemas de Partıculas 2 9.2.3 Conservacao do Momento Linear 6

Um Foguete8

9.2.4 Sistemas de Massa Variavel:

coes na Energia Cinetica8

9.2.5 Sistemas de Partıculas: Varia-

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Junho de 203, as 2:0 p.m. 9 Sistemas de Partıculas

9.1 Questoes

Qual a localizacao do centro de massa da atmosfera da Terra?

9.2 Problemas e Exercıcios 9.2.1 O Centro de Massa

(a) A que distancia o centro de massa do sistema Terra- Lua se encontra do centro da Terra? (Use os valores das massas da Terra e da Lua e da distancia entre os dois astros que aparecem no Apendice C.) (b) Expresse a resposta do item (a) como uma fracao do raio da Terra.(a) Escolha a origem no centro da Terra. Entao a distancia do centro de massa do sistema Terra-Lua e dada por onde e a massa da Lua, e a massa da Terra, a e a separacao media entre Terra e Lua. Tais valores encontram-se no Apendice C. Em numeros temos,m

(b) O raio da Terra e m, de modo que temos

(a) Quais sao as coordenadasdo centro de massa das tres partıculas que aparecem na Fig. 9-2? (b) O que acontece com o centro de massa quando a massa da partıcula de cima aumenta gradualmente? (a) Sejam , e as coordenadas (em metros) das tres partıculas cujas respectivas massas designamos por do centro de massa em enquanto que a coordenada e

(b) A medida que a massa da partıcula de cima e aumentada o centro de massa desloca-se em direcao a aquela partıcula. No limite, quando a partıculade cima for muito mais massiva que as outras, o centro de massa coincidira com a posicao dela.

Uma lata em forma de cilindro reto de massa , altura e densidade uniforme esta cheia de refrigerante (Fig. 9-30). A massa total do refrigerante e . Fazemos pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar o conteudo e medimos o valor de , a distancia verti- cal entre o centro de massa e a base da lata, para varias situacoes. Qual e o valor de para (a) a lata cheia e

(b) a lata vazia? (c) O que acontece com enquanto a lata esta sendo esvaziada? (d) Se e a altura do lıquido que resta em um determinado instante, determine o valor de (em funcao de , e ) no momento em que o centro de massa se encontra o mais proximo possıvel da base da lata.(a) Como a lata e uniforme seu centro de massa esta localizado no seu centro geometrico, a uma distancia acima da sua base. O centro de massa do refrigerante esta no seu centro geometrico, a uma distancia acima da base da lata. Quando a lata esta cheia tal posicao coincide com . Portanto o centro de massa da lata e com o refrigerante que ela contem esta a uma distancia acima da base, sobre o eixo do cilindro. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 2

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(b) Consideramos agora a lata sozinha. O centro de massa esta em acima da base, sobre o eixo do ci- lindro.

(c) A medida que decresce o centro de massa do re- frigerante na lata primeiramente diminui, depois cresce ate novamente.

(d) Quando a superfıcie superior do refrigerante esta a uma distancia acima da base da lata a massa do fre- frigerante na lata e , onde e a massa quando a lata esta cheia ( ). O centro de massa do refrigerante apenas esta a uma distancia da base da lata. Logo

Encontramos a posicao mais baixa do centro de massa da lata com refrigerante igualando a zero a derivada de em relacao a e resolvendo em relacao a . A derivada e dada por

Usamos a solucao positiva pois e positivo.

Substituindo-se agora o valor de ne expressao de acima, ou seja, em e simplificando, encontramos finalmente que

Um velho Galaxy com uma massa de kg esta via- jando por uma estrada reta a km/h. Ele e seguido por um Escort com uma massa de kg viajando a km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois carros?Sejam e a massa e a velocidade do Galaxy e a massa e velocidade do Escort. Entao, conforme a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e dada por km/h

Note que as duas velocidades estao no mesmo sentido, de modo que ambos termos no numerador tem o mesmo sinal. As unidades usadas nao sao do Sistema Internacional.

Um projetil e disparado por um canhao com uma velo- cidade inicial de m/s. O angulo do disparo e em relacao a horizontal. Quando chega ao ponto mais alto da trajetoria, o projetil explode em dois fragmentos de massas iguais (Fig. 9-3). Um dos fragmentos, cuja velocidade imediatamente apos a explosao e zero, cai verticalmente. A que distancia do canhao o outro fragmento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e a resistencia do ar possa ser desprezada?Precisamos determinar as coordenadas do ponto de explosao e a velocidade do fragmento que nao cai reto para baixo. Tais dados sao as condicoes iniciais para um problema de movimento de projeteis, para determinar onde o segundo fragmento aterrisa. Consideremos primeiramente o movimento do projetil original, ate o instante da explosao. Tomemos como ori- gem o ponto de disparo, com o eixo tomado horizontal e o eixo vertical, positivo para cima. A componente da velocidade e dada por e e zero no instante de tempo sen , onde e a velocidade inicial e e o angulo de disparo. As coordenadas do ponto mais alto sao sensen m http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 3

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sensen m

Como entao nenhuma forca horizontal atua, a componente horizontal do momento e conservada. Como um dos fragmentos tem velocidade zero apos a explosao, o momento do outro fragmento tem que ser igual ao momento do projetil originalmente disparado. A componente horizontal da velocidade do projetil ori- ginal e . Chamemos de a massa do projetil inicial e de a velocidade do fragmento que se move horizontalmente apos a explosao. Assim sendo, temos uma vez que a massa do fragmento em questao e .

Isto significa que m/s

Agora considere um projetillancado horizontalmenteno instante com velocidade de m/s a partir do ponto com coordenadas m. Sua coordenada e dada por , e quando ele aterrisa temos

. O tempo ate a aterrisagem e a coordenada do ponto de aterrisagem

Dois sacos identicos de acucar sao ligados por uma corda de massa desprezıvel que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprezıvel, com m de diametro.

Os dois sacos estao no mesmo nıvel e cada um possui originalmente uma massa de g. (a) Determine a posicao horizontal do centro de massa do sistema. (b)

Suponha que g de acucar sao transferidos de um saco para o outro, mas os sacos sao mantidos nas posic oes originais. Determina a nova posicao horizontal do centro de massa. (c) Os dois sacos sao liberados. Em que direcao se move o centro de massa? (d) Qual e a sua aceleracao? (a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co- mo sendo o centro da roldana, com o eixo horizontal e para a direita e com o eixo para baixo. O centro de massa esta a meio caminho entre os sacos, em e, onde e a distancia vertical desde o centro da roldana ate qualquer um dos sacos.

(b) Suponha g transferidas do saco da esquerda para o saco da direita. O saco da esquerda tem massa g e esta em m. O saco a direita tem massa g e esta em m. A coordenada do centro de massa e entao m

A coordenada ainda e . O centro de massa esta a m do saco mais leve, ao longo da linha que une os dois corpos.

(c) Quando soltos, o saco maispesado move-se para baixo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que o centro de massa, que deve permanecer mais perto do saco mais pesado, move-se para baixo.

(d) Como os sacos estao conectadospela corda, que passa pela rolsdana, suas aceleracoes tem a mesma magni- tude mas direcoes opostas. Se e a aceleracao de , de massa e

Precisamos recorrer segunda lei de Newton para encon- trar a aceleracao de cada saco. A forca da gravidade, para baixo, e a tensao na corda, para cima, atuam no saco mais leve. A segunda lei para tal saco e

O sinal negativo aparece no lado direito porque e a aceleracao do saco mais pesado (que qao e o que estamos considerando!). As mesma forcas atuam no saco mais pesado e para ele a segunda lei de Newton fornece

A primeira equacao fornece-nos que quando substituida na segunda equacao produz http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 4

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Junho de 203, as 2:0 p.m. Portanto, substituindo na equacao para , encontra- mos que m/s A aceleracao e para baixo.

Um cachorro de kg esta em um bote de kg que se encontra a m da margem(que fica aesquerda na Fig.9-

34a). Ele anda m no barco, em direcao a margem, e depois para. O atrito entre o bote e a agua e desprezıvel. A que distancia da margem esta o cachorro depois da caminhada? (Sugestao: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro se move para a esquerda; o bote se desloca para a direita; e o centro de massa do sistema cachorro+barco?

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