Tópicos de Fisica - [Monteiro da Silva]

Tópicos de Fisica - [Monteiro da Silva]

(Parte 1 de 12)

Título

“Tópicos de Física – Edição Electrónica” Copyright © 2008 do autor

Autor

Gustavo Vitorino Monteiro da Silva Engenheiro Electrotécnico Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores e-mail: gustavo.silva@fxs.pt

Foto do autor: Luís Silva, FXS

Capa

Tel: 210 185 159Fax: 217 599 327
w.fxs.pte-mail: info@fxs.pt

FXS, Gestão de Marketing, Lda. Rua Prof. Mark Athias, 4, 3º Frente 1600-646 LISBOA – PORTUGAL

ISBN: 978-972-99862-5-3 Lisboa, 2 de Abril de 2008 ao meu neto Henrique ao meu neto Henrique

Este pequeno livro surge na sequência de dar a conhecer o trabalho realizado com a leccionação da disciplina de Complementos de Física, da antiga licenciatura bi-etápica em Automação Controlo e Instrumentação (ACI) da Escola Superior de Tecnologia de Setúbal do Instituto Politécnico de Setúbal.

Das obras já desenvolvidas são de realçar, para além das publicações de carácter pedagógico, efectuadas no âmbito das disciplinas leccionadas, os livros de Instrumentação Industrial 1ª edição (1999), Processamento Digital de Sinais (2000), Controlo Não Linear (2003) e Instrumentação Industrial 2ª edição (2004).

Este trabalho não constitui de modo algum um tratado sobre Física, pois não abarca alguns assuntos fundamentais que uma obra desse tipo deveria conter, como por exemplo Termodinâmica, Óptica e outros. Constitui sim um pequeno conjunto de tópicos que foram leccionados durante alguns anos numa determinada disciplina que fazia parte do elenco curricular do curso de ACI.

Em cada capítulo são apresentados alguns problemas de aplicação que pretendem estimular o aluno, ou o leitor, a repensar na teoria exposta e a consolidar a sua compreensão. Os problemas do último capítulo foram resolvidos utilizando o Matlab, que é de entre os programas de cálculo científico que conheço aquele apresenta uma grande versatilidade e elevado potencial, ao mesmo tempo que é extremamente fácil de utilizar.

O Autor

1. MECÂNICA CLÁSSICA1
1.1. CINEMÁTICA1
1.2. MOVIMENTO NUM PLANO4
1.2.1. Coordenadas polares4
1.2.2. Coordenadas normais5
1.2.3. Movimento circular5
1.2.4. Movimento circular uniforme6
1.3. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL6
1.4. MOVIMENTOS RELATIVOS7
1.4.1. Posição da partícula8
1.4.2. Velocidade da partícula8
1.4.3. Aceleração da partícula9
1.4.4. A 2ª lei de Newton10
1.4.5. Relatividade de Galileu10
1.4.6. Transformação de Galileu10
1.5. TRABALHO E ENERGIA1
1.5.1. Trabalho1
1.5.2. Energia cinética12
1.5.3. Impulso de uma força12
1.5.4. Campo gravítico12
1.5.5. Potencial e energia potencial13
1.5.6. Conservação da energia14
1.5.7. Atracção universal14
1.5.8. Movimentos com atrito15
1.5.9. Momento angular de uma partícula material16
1.6. DINÂMICA DOS SISTEMAS19
1.6.1. Movimento do centro de inércia19
1.6.2. Teorema do momento linear20
1.6.3. Colisões entre partículas e explosões21
1.6.4. Teorema do momento angular2
1.6.5. Energia de rotação23
1.7. APÊNDICE24
1.8. PROBLEMAS RESOLVIDOS25
1.8.1. Probl. 1. 1 – Movimento rectilíneo25
1.8.2. Probl. 1. 2 – Movimento circular27
1.8.3. Probl. 1. 3 – Movimentos relativos29
1.8.4. Probl. 1. 4 – Movimentos relativos30
1.8.5. Probl. 1. 5 – Movimento de um projéctil31
1.8.6. Probl. 1. 6 - Queda de um grave32
1.8.7. Probl. 1. 7 – Movimento de um projéctil34
1.8.8. Probl. 1. 8 - Movimento de um projéctil35
1.8.9. Probl. 1. 9 – Energia cinética e potencial37
1.8.10. Probl. 1. 10 – Movimento circular uniforme38
1.8.1. Probl. 1. 1 – Movimento circular uniforme39
1.8.12. Probl. 1. 12 – Movimento circular uniforme40

Pág. 1.8.13. Probl. 1. 13 – Movimentos relativos ..................................................................................... 41

1.8.14. Probl. 1. 14 – Mov. circ. unif. – Satélites GPS4
1.8.15. Probl. 1. 15 – Força e trabalho46
1.8.16. Probl. 1. 16 – Força e energia47
1.8.17. Probl. 1. 17 – Atracção universal48
1.8.18. Probl. 1. 18 - Conservação do momento linear49
1.8.19. Probl. 1. 19 - Conservação da energia51
1.8.20. Probl. 1. 20 - Conservação da energia53
1.8.21. Probl. 1. 21 – Mov. Circular e energia cinética54
1.8.2. Probl. 1. 2 – Energia de rotação5
1.8.23. Probl. 1. 23 – Atrito56
1.8.24. Probl. 1. 24 – Pêndulo balístico57
1.8.25. Probl. 1. 25 – Movimento de rotação e translação58
1.8.26. Probl. 1. 26 – Conservação do momento linear59
1.8.27. Probl. 1. 27 – Conservação do momento angular60
2. ELECTROMAGNETISMO61
2.1. ELECTROSTÁTICA61
2.1.1. Carga eléctrica61
2.1.2. Lei de Coulomb()62
2.1.3. Campo eléctrico62
2.1.4. Densidade de carga63
2.1.5. Movimento de uma partícula carregada num campo eléctrico64
2.2. FLUXO DO CAMPO ELÉCTRICO65
2.2.1. Fluxo de um vector65
2.2.2. Circulação de um vector65
2.2.3. Teorema de Stokes6
2.2.4. Fluxo do Campo Eléctrico e lei de Gauss6
2.2.5. Condutores em equilíbrio electrostático68
2.2.6. Ângulo sólido e lei de Gauss68
2.3. POTENCIAL ELÉCTRICO E CAPACIDADE69
2.3.1. Energia potencial69
2.3.2. Diferença de potencial69
2.3.3. Potencial devido a uma carga69
2.3.4. Potencial devido a uma distribuição de cargas70
2.3.5. Capacidade e condensadores71
2.4. CONDUTORES E CORRENTE ELÉCTRICA73
2.4.1. Corrente eléctrica73
2.4.2. Lei de ohm74
2.4.3. Energia e potência75
2.4.4. Leis de Kirchhoff76
2.5. CAMPO MAGNÉTICO7
2.5.1. Introdução7
2.5.2. Força exercida sobre a carga eléctrica7
2.5.3. Força exercida sobre a corrente eléctrica78
2.5.4. Movimento de uma partícula num campo magnético78
2.5.5. O efeito de Hall79
2.5.6. A lei de Biot-Savart79
2.5.7. Força magnética entre dois condutores paralelos80
2.5.8. Lei de Ampere81
2.5.9. Lei de Gauss do campo magnético81
2.5.10. Generalização da lei de Ampere82
2.5.1. O magnetismo na matéria82
2.6. AS EQUAÇÕES DE MAXWELL83
2.6.1. A lei da indução, de Faraday83

i 2.6.2. Lei de Lenz ............................................................................................................ .................. 83

2.6.3. As equações de Maxwell na forma integral83
2.6.4. As equações de Maxwell na forma diferencial84
2.6.5. Ondas electromagnéticas85
2.6.6. O espectro das ondas electromagnéticas86
2.7. FENÓMENOS PERIÓDICOS87
2.7.1. Exemplos de fenómenos periódicos87
2.7.2. Representação analítica e gráfica87
2.7.3. O sinal sinusoidal8
2.7.4. A série de Fourier90
2.7.5. O movimento harmónico simples91
2.8. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA93
2.8.1. Tensão alternada sinusoidal93
2.8.2. Tensão e corrente numa resistência94
2.8.3. Tensão e corrente numa bobina95
2.8.4. Tensão e corrente num condensador97
2.8.5. Circuito RLC série9
2.8.6. Energia e potência101
2.8.7. Energia armazenada102
2.9. TRANSFORMADOR103
2.9.1. Descrição103
2.9.2. Equações instantâneas103
2.9.3. Transformador ideal104
2.10. CIRCUITOS TRIFÁSICOS106
2.10.1. Sistemas trifásicos106
2.10.2. Valores instantâneos106
2.10.3. Diagramas vectoriais107
2.10.4. Ligações em estrela e triângulo109
2.1. LINHA DE TRANSMISSÃO10
2.1.1. Descrição e caracterização10
2.1.2. Equações da linha bifilar10
2.1.3. Factor de reflexão12
2.1.4. Propagação de impulsos numa linha13
2.12. PROBLEMAS RESOLVIDOS115
2.12.1. Problema 2. 1 – Cálculo do número de cargas115
2.12.2. Problema 2. 2 – Força eléctrica e gravítica115
2.12.3. Problema 2. 3 – Forças e medição da carga eléctrica116
2.12.4. Problema 2. 4 – Dipolo eléctrico118
2.12.5. Problema 2. 5 – Carga sujeita a força eléctrica119
2.12.6. Problema 2. 6 – Campo eléctrico de uma carga120
2.12.7. Problema 2. 7 – Potencial de uma carga121
2.12.8. Problema 2. 8 – Potencial de uma esfera isolante122
2.12.9. Problema 2. 9 – Potencial de uma esfera condutora123
2.12.10. Problema 2. 10 – Potencial de 2 esferas concêntricas125
2.12.1. Problema 2. 1 – Potencial e diferença de potencial125
2.12.12. Problema 2. 12 – Campo eléctrico e capacidade entre 2 placas127
2.12.13. Problema 2. 13 – Capacidade de condensadores128
2.12.14. Problema 2. 14 – Aplicação numérica do problema anterior129
2.12.15. Problema 2. 15 – Efeito do dieléctrico num condensador130
2.12.16. Problema 2. 16 – Condensador com 2 dieléctricos131
2.12.17. Problema 2. 17 – Resistência de um condutor132
2.12.18. Problema 2. 18 – Tensões e correntes alternadas133
2.12.19. Problema 2. 19 - Circuito RLC série134
2.13. PROBLEMAS PROPOSTOS136
2.13.1. Problema 2. 20 – Dipolo136
2.13.2. Problema 2. 21 – Cargas136

i 2.13.3. Problema 2. 2 – Descarga de condensador ...................................................................... 136

2.13.4. Problema 2. 23 – Resistência136
2.13.5. Problema 2. 24 – Associação de resistências136
2.13.6. Problema 2. 25 – Associação de bobinas136
2.13.7. Problema 2. 26 – Associação de condensadores137
2.13.8. Problema 2. 27 – Força electromagnética sobre carga, 1137
2.13.9. Problema 2. 28 – Força electromagnética sobre carga, 2137
2.13.10. Problema 2. 29 – Força sobre uma espira137
2.13.1. Problema 2. 30 – Campo magnético produzido por uma corrente137
2.13.12. Problema 2. 31 – Barra em movimento num campo magnético138
2.13.13. Problema 2. 32 – Força de uma corrente sobre condutores138
2.13.14. Problema 2. 3 – Aplicação da lei de Ampere138
2.13.15. Problema 2. 34 – Aplicação da lei de Gauss do campo magnético138
2.13.16. Problema 2. 35 - Transformador138
2.13.17. Problema 2. 36 – F.e.m. numa bobina em movimento em B139
2.13.18. Problema 2. 37 – Linha bifilar, 1139
2.13.19. Problema 2. 38 – Linha bifilar, 2140
2.13.20. Problema 2. 39 – Ondas electromagnéticas, 1140
2.13.21. Problema 2. 40 – Ondas electromagnéticas, 2140
3. FÍSICA RELATIVISTA141
3.1. INTRODUÇÃO141
3.2. TRANSFORMAÇÕES DE GALILEU142
3.3. A VELOCIDADE DA LUZ143
3.4. OS POSTULADOS DE TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA144
3.5. O TEMPO DE UM REFERENCIAL144
3.5.1. Sincronização de relógios145
3.5.2. Simultaneidade de acontecimentos145
3.5.3. Dilatação do tempo146
3.5.4. O paradoxo dos gémeos148
3.5.5. A contracção do espaço148
3.5.6. O diagrama espaço-tempo149
3.5.7. O efeito de Döppler150
3.6. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ150
3.6.1. Equações de transformação de coordenadas151
3.6.2. Equações de transformação de velocidade152
3.7. MOMENTO LINEAR E LEIS DE NEWTON153
3.8. ENERGIA155
3.9. ELECTROMAGNETISMO E RELATIVIDADE158
3.10. TEORIA DA RELATIVIDADE GENERALIZADA160
3.1. PROBLEMAS RESOLVIDOS163
3.1.1. Probl. 3.1 – Comprimento próprio163
3.1.2. Probl. 3.2 – Tempo próprio164
3.1.3. Probl. 3.3 – Tempo e comprimento próprios165
3.1.4. Probl. 3.4 – Diagrama espaço-tempo, 2D166
3.1.5. Probl. 3.5 – Diagrama espaço-tempo, 3D167
3.1.6. Probl. 3.6 – Composição de velocidades, 1168
3.1.7. Probl. 3.7 – Composição de velocidades, 2168
3.1.8. Probl. 3.8 – Composição de velocidades, 3170
3.1.9. Probl. 3.9 – Composição de velocidades, 4171
3.1.10. Probl. 3.10 – Simultaneidade172
3.1.1. Probl. 3.1 – Momento linear173
3.1.12. Probl. 3.12 – Ec clássica / Ec relativista174
3.1.13. Probl. 3.13 – Desintegração de partículas, 1175
3.1.14. Probl. 3.14 – Desintegração de partículas, 2176

iv 3.1.15. Probl. 3.15 – Energia de uma partícula ........................................................................... 176

3.1.16. Probl. 3.16 – Energia e velocidade de electrões177
3.1.17. Probl. 3.17 – Conversão massa-energia, 1177
3.1.18. Probl. 3.18 – Conversão massa-energia, 2178
3.1.19. Probl. 3.19 – Energia cinética e tempo próprio179
3.1.20. Probl. 3.20 – Velocidade e massa-energia180
3.1.21. Probl. 3.21 – Conversão massa-energia180
3.1.2. Probl. 3.2 – Massa-energia e momento linear181
3.1.23. Probl. 3.23 – Energia e comprimento182
3.1.24. Probl. 3.24 – Força e aceleração183
3.1.25. Probl. 3.25 – Efeito de Döppler, 1185
3.1.26. Probl. 3.26 – Efeito de Döppler, 2186
3.1.27. Probl. 3.27 – Raio gravitacional187
3.1.28. Probl. 3.28 – Equivalência entre E e B188
4. INTRODUÇÃO À FÍSICA QUÂNTICA189
4.1. RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO189
4.1.1. Corpo negro189
4.1.2. Lei de Stefan190
4.1.3. Lei Rayleigh-Jeans191
4.1.4. Lei do deslocamento de Wien191
4.1.5. Lei de radiação de Planck191
4.2. EFEITO FOTOELÉCTRICO193
4.3. ESPECTROS DOS GASES195
4.4. EFEITO DE COMPTON197
4.5. O ÁTOMO DE HIDROGÉNIO201
4.6. ONDAS DE MATÉRIA206
4.7. PRINCÍPIO DA INCERTEZA207
4.8. FUNÇÃO DE ONDA208
4.9. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER211
4.10. PRINCÍPIOS DA MECÂNICA QUÂNTICA215
4.1. PROBLEMAS RESOLVIDOS217
4.1.1. Probl. 4.1217
4.1.2. Probl. 4.2218
4.1.3. Probl. 4.3218
4.1.4. Probl. 4.4220
4.1.5. Probl. 4.5221
4.1.6. Probl. 4.62
4.1.7. Probl. 4.7223
4.1.8. Probl. 4.8224
4.1.9. Probl. 4.9224
4.1.10. Probl. 4.10225
4.1.1. Probl. 4.1225
4.1.12. Probl. 4.12226
4.1.13. Probl. 4.13227
4.1.14. Probl. 4.14228
4.1.15. Probl. 4.15228
4.1.16. Probl. 4.16229
4.1.17. Probl. 4.17230
4.1.18. Probl. 4.18230
4.1.19. Probl. 4.19231
4.1.20. Probl. 4.20231
4.1.21. Probl. 4.21232
4.1.2. Probl. 4.2233
4.1.23. Probl. 4.23233

v 4.1.24. Probl. 4.24 .......................................................................................................... .............. 234

4.1.25. Probl. 4.25234
4.1.26. Probl. 4.26235
4.1.27. Probl. 4.27236
4.1.28. Probl. 4.28237
5. CONSTANTES, FORMULÁRIOS E TABELAS239
5.1. CONSTANTES MATEMÁTICAS239
5.2. CONSTANTES FUNDAMENTAIS DA FÍSICA239
5.3. FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA240
5.3.1. Álgebra elementar240
5.3.2. Logaritmos e exponenciais240
5.3.3. Geometria240
5.3.4. Limites240
5.3.5. Séries241
5.3.6. Trigonometria241
5.3.7. Derivadas241
5.3.8. Integrais indefinidos242
5.4. FORMULÁRIO DE FÍSICA243
5.4.1. Mecânica dos sólidos243
5.4.2. Mecânica dos fluidos243
5.4.3. Electrotecnia243
5.5. TABELA PERIÓDICA DE ELEMENTOS245
5.6. TABELA DE CONVERSÃO DE UNIDADES246
5.7. CARACTERÍSTICAS DE ALGUNS MATERIAIS248
5.8. ESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADES249
5.8.1. Algarismos significativos249
5.8.2. Notação científica250

vi 5.8.3. Arredondamentos ........................................................................................................ .......... 250

1. MECÂNICA CLÁSSICA

Dá-se o nome de Mecânica ao ramo da Física onde se estudam os movimentos dos corpos, e as forças a eles associadas. A Mecânica Clássica restringe-se a corpos com velocidades significativamente inferiores à velocidade da luz no vazio e a corpos cujas dimensões são bastante superiores às dos átomos constituintes da matéria.

É habitual considerar-se a Mecânica Clássica dividida em três áreas: A Cinemática, a Dinâmica e a Estática.

A Cinemática trata do estudo do movimento, no sentido geométrico, sem atender às causas que o originaram. Na Dinâmica procura relacionar-se o movimento com as forças que o originaram ou que ele origina. Na Estática estuda-se o equilíbrio de forças de modo a que não haja movimento.

1.1. Cinemática

Para descrever o movimento de um corpo utiliza-se um referencial. Referencial é um sistema de eixos coordenados associados a um corpo rígido. O sistema de coordenadas pode ser qualquer: cartesiano, cilíndrico, polar, etc. Os eixos podem ser ortogonais ou não, formar um triedro directo ou não.

Ao estudar o movimento de um corpo sólido, por vezes associa-se este a uma partícula material.

Partícula material é um corpo sólido de dimensões desprezáveis (em relação ao espaço em que se está a estudar o movimento).

Espaço do referencial é o conjunto de pontos rigidamente ligados ao referencial. O espaço de um referencial é tridimensional. Em determinadas aplicações poderão usar-

-se apenas espaços a duas e até mesmo uma dimensão.

No estudo dos movimentos é importante conhecer os intervalos de tempo durante os quais os mesmos decorrem.

Tempo do referencial é a sucessão de instantes, ilimitada, marcados por um cronómetro. Admite-se o tempo do referencial como sendo contínuo, com um determinado iní- cio (t+∈ℜ).

Um acontecimento ocorre no espaço e no tempo de um referencial. Uma partícula material é localizada num referencial pelas suas coordenadas de espaço e pela coordenada de tempo.

Na Mecânica Clássica o tempo é o mesmo em todos os referenciais.

Tópicos de Física – Mecânica Clássica

Pág. 2 Gustavo da Silva

Seja o referencial S associado a um sistema de coordenadas cartesianas; para uma cula material tem-se a posição da partícula (Fig. 1.1)

Fig. 1.1 – Referencial e posição de uma partícula material

As equações paramétricas do ponto material em movimento são dadas pelas equações x xt y t

(1.3)

A trajectória (Fig. 1.1) obtém-se por eliminação do tempo t nas equações anteriores: (,,)0Fxyz= (1.4)

Um referencial não tem que estar associado a coordenadas cartesianas ortogonais com um triedro directo, pode estar a muitos outros. Indica-se a seguir um sistema muito usado, o de coordenadas polares.

Fig. 1.2 – Posição de uma partícula em coordenadas polares y z O j k r+dr referencial S trajectória corpo sólido do referencial y z O θ r

Tópicos de Física – Mecânica Clássica

Gustavo da Silva Pág. 3

Ao localizar um ponto material em coordenadas polares utilizam-se habitualmente as letras r, ϕ e θ, como se indica na Fig. 1.2. As transformações de coordenadas são sen cos sen sen cos xr yr zr

(1.5) e suas inversas.

Para localizar um objecto em relação ao nosso planeta é usual usar-se a latitude (0º Equador, 90º Pólo Norte), a longitude (0º meridiano de Greenwich, ±180º E/W) e a altitude (0 pés significa que um avião está no solo). É um caso particular do sistema de coordenadas polares, com r = raio da Terra + altitude, ϕ = longitude e θ = 90º- latitude).

Para se saber como é que a posição de uma partícula varia com o decorrer do tempo introduz-se o conceito de velocidade.

Velocidade da partícula (1) é, por definição, a variação temporal da posição da partícula:

() dP dt dt dt ==rv (1.6)

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