Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca

Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca

(Parte 1 de 6)

André Koch Torres Assis Arquimedes, o Centro de

Gravidade e a Lei da Alavanca

Ar quimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Ala vanca

Assis

Apeiron

Sobre o Autor André Koch Torres Assis nasceu no Brasil em 1962. Formou-se no Instituto de Física da Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, obtendo o bacharelado em 1983 e o doutorado em 1987. Passou o ano de 1988 na Inglaterra realizando um pós-doutorado no Culham Laboratory (United Kingdom Atomic Energy Authority). Passou um ano entre 1991-92 como Visiting Scholar no Center for Electromagnetics Research da Northeastern University (Boston, EUA). De Agosto de 2001 a Novembro de 2002 trabalhou no Institut für Geschichte der Naturwissenschaften da Universidade de Hamburg, Alemanha, com uma bolsa de pesquisa concedida pela Fundação Alexander von Humboldt da Alemanha. É autor de diversos livros em português e inglês, dentro os quais se destacam Eletrodinâmica de Weber (1995), Cálculo de Indutância e de Força em Circuitos Elétricos (juntamente com M. Bueno, 1998), Mecânica Relacional (1998), Uma Nova Física (1999) e The Electric Force of a Current (juntamente com J. A. Hernandes, 2007). Traduziu para o português o livro Óptica, de Isaac Newton (1996), assim como O Universo Vermelho, de Halton Arp (juntamente com D. Soares, 2001). É professor do Instituto de Física da UNICAMP desde 1989 trabalhando com os fundamentos do eletromagnetismo, da gravitação e da cosmologia.

destes autores. Uma ampla bibliografia é incluída no final da obra

Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca é um livro que lida com os aspectos fundamentais da física. Descreve os principais eventos na vida de Arquimedes e o conteúdo de suas obras. Discute um grande número de experiências relacionadas com o equilíbrio de corpos suspensos que estão sob a ação gravitacional terrestre. Todas as experiências são descritas com clareza e realizadas com materiais simples, baratos e facilmente acessíveis. Estas experiências levam a uma definição conceitual precisa do centro de gravidade e ilustram procedimentos práticos para encontrá-lo com precisão. São analisadas as condições de equilíbrio estável, neutro e instável. São descritos e explicados muitos brinquedos de equilíbrio. Aspectos históricos relacionados a este conceito são apresentados, juntamente com os valores teóricos do centro de gravidade de diversos corpos obtidos por Arquimedes. O livro também explica como construir e calibrar balanças e alavancas precisas e sensíveis. São realizadas diversas experiências com estes instrumentos até se chegar a uma definição matemática do centro de gravidade e à lei da alavanca, também chamada de primeira lei da mecânica. São descritas diversas conseqüências desta lei, assim como diferentes demonstrações de como se chegar nela. É feita uma análise detalhada das obras de Euclides e de Arquimedes, assim como uma tradução de duas obras

ISBN 978-0-9732911-7-9 ,!7IA9H3-cjbbhj!

Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca

André Koch Torres Assis

Apeiron Montreal

Publicado por C. Roy Keys Inc. 4405, rue St-Dominique Montreal, Quebec H2W 2B2 Canada http://redshift.vif.com

© André Koch Torres Assis 2008 Primeira Edição, 2008

Library and Archives Canada Cataloguing in Publication

Assis, André Koch Torres, 1962- Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca / Andre K.T. Assis.

Translation of: Archimedes, the center of gravity and the first law of mechanics. Includes bibliographical references. ISBN 978-0-9732911-7-9

1. Center of mass--Experiments. 2. Center of mass--Textbooks

3. Mechanics--Experiments. 4. Mechanics--Textbooks. I. Title.

QA839.A87167 2008531'.14 C2008-904613-7

Capa da frente: Gravura de 1740 com Arquimedes planejando a defesa de Siracusa. Texto em grego que aparece em sua touca: Arquimedes o geômetra.

Capa de trás: Fotografias de algumas experiências descritas neste livro. Um triângulo de papel cartão em um plano horizontal apoiado por uma vareta vertical colocada sob seu baricentro. Um retângulo e um fio de prumo suspensos por uma agulha. Um equilibrista de cabeça para baixo apoiado em sua cabeça, com massa de modelar nas mãos. Uma alavanca em equilíbrio com pesos diferentes em cada braço.

Este livro é dedicado a todos que têm trabalhado pela preservação, tradução, interpretação e divulgação da obra de Arquimedes ao longo dos séculos.

Sumário

Agradecimentos 7

I Introdução 9 1 Vida de Arquimedes 13

2.1 Obras Conhecidas de Arquimedes23
2.2 O Método de Arquimedes32

2 Obras de Arquimedes 23

I O Centro de Gravidade 37

3.1 Obtendo os Centros de Círculos, Retângulos e Paralelogramos39
3.2 Os Quatro Pontos Notáveis de um Triângulo40

3 Geometria 39

de Gravidade: Experiências com Figuras Planas45
4.2 Experiências com Figuras Côncavas ou com Buracos56
4.3 Experiências com Corpos Volumétricos62
4.4 Fio de Prumo, Vertical e Horizontal64
de Gravidade68
de Gravidade75
4.7 Condições de Equilíbrio de Corpos Apoiados76
4.7.1 Equilíbrio Estável, Instável e Indiferente80
4.7.2 Estabilidade de um Sistema81
4.8 Condições de Equilíbrio de Corpos Suspensos85
4.8.1 Equilíbrio Estável e Indiferente86
Suspensão8

4 Experiências de Equilíbrio e Definição do Centro de Gravidade 45 4.1 Primeiro Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro 4.5 Segundo Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro 4.6 Terceiro Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro 4.9 Caso em que o Centro de Gravidade Coincide com o Ponto de 3

5.1 Atividades Lúdicas com o Equilibrista9
5.2 Brinquedos de Equilíbrio107
5.3 Equilíbrio de Botequim1
5.4 Equilíbrio do Corpo Humano113
5.5 O ET117

5 Explorando as Propriedades do Centro de Gravidade 9

sobre o Centro de Gravidade121
Arquimedes129

6 Alguns Aspectos Históricos sobre o Conceito do Centro de Gravidade 121 6.1 Comentários de Arquimedes, Heron, Papus, Eutócius e Simplício 6.2 Resultados Teóricos sobre o Centro de Gravidade Obtidos por

I Balanças, Alavancas e a Primeira Lei da Mecânica133

7.1 Construção de uma Balança137
7.2 Medida do Peso144
7.3 Melhorando a Sensibilidade de uma Balança148
7.4 Alguns Situações Especiais156
7.4.1 Condição de Equilíbrio de um Corpo Suspenso156
7.4.2 Balanças com o Centro de Gravidade Acima do Fulcro159
7.4.3 Outros Tipos de Balança160
7.5 Usando o Peso como Padrão de Força160

7 Balanças e a Medida do Peso 137

8.1 Construção e Calibração de Alavancas165
8.2 Experiências com Alavancas e a Primeira Lei da Mecânica167
8.3 Tipos de Alavanca176
8.4 Definição Matemática do Centro de Gravidade178

8 A Lei da Alavanca 165

9.1 Lei da Alavanca como um Resultado Experimental183
9.2 Lei da Alavanca Derivada a partir do Conceito de Torque185
com um Peso P Atuando à Distância d + x do Fulcro188

9 Explicações e Deduções da Lei da Alavanca 183 9.3 Lei da Alavanca Derivada a partir do Resultado Experimental de que um Peso 2P Atuando à Distância d do Fulcro é Equivalente a um Peso P Atuando à Distância d − x do Fulcro, Juntamente

dificação de um Trabalho Atribuído a Euclides191

9.4 Lei da Alavanca como Derivada por Duhem a partir de uma Mo-

Experimental Atribuído a Euclides193

9.5 Demonstração da Lei da Alavanca a partir de um Procedimento 4

des e o Cálculo do Centro de Gravidade de um Triângulo200
9.7.1 A Demonstração da Lei da Alavanca por Arquimedes200
9.7.2 Cálculo do CG de um Triângulo por Arquimedes205

9.6 Demonstração Teórica da Lei da Alavanca Atribuída a Euclides . 198 9.7 A Demonstração da Lei da Alavanca Apresentada por Arquime-

Apêndices 208

A.1 Comentários Gerais sobre esta Obra Atribuída a Euclides209
A.2 Tradução do Livro sobre a Balança, Atribuído a Euclides209

A Tradução Comentada do Livro sobre a Balança, Atribuído a Euclides 209

B.1 Comentários Gerais sobre esta Obra de Arquimedes215
B.2 Tradução da Obra de Arquimedes2

B Tradução Comentada da Primeira Parte do Trabalho de Arquimedes Intitulado Sobre o Equilíbrio das Figuras Planas ou Sobre os Centros de Gravidade das Figuras Planas 215 Referências Bibliográficas 241

Agradecimentos

A motivação para escrevermos este livro surgiu de cursos para aperfeiçoamento de professores de ensino fundamental e médio que ministramos nos últimos anos, dentro do projeto Teia do Saber da Secretaria de Educação do Governo do Estado de São Paulo. Foi um privilégio muito grande termos sido convidados a atuar neste programa. O apoio que recebemos por parte da Secretaria de Educação e do Grupo Gestor de Projetos Educacionais da Unicamp, assim como o contato com os alunos que participaram de nossas aulas, foram extremamente enriquecedores para nós. Também foram muito proveitosas as trocas de experiências com os colegas da Unicamp que participaram deste projeto.

A inspiração para a maior parte das experiências relacionadas com o equilíbrio e o centro de gravidade dos corpos veio dos excelentes trabalhos de Norberto Ferreira e Alberto Gaspar, [Fer], [Fer06] e [Gas03]. Foram extremamente valiosas as trocas de idéias com eles e com seus alunos, dentre os quais Rui Vieira e Emerson Santos.

Agradecemos ainda por sugestões e referências a Norberto Ferreira, Alberto

Gaspar, Rui Vieira, Emerson Santos, Dicesar Lass Fernandez, Silvio Seno Chibeni, César José Calderon Filho, Pedro Leopoldo e Silva Lopes, Fábio Miguel de Matos Ravanelli, Juliano Camillo, Lucas Angioni, Hugo Bonette de Carvalho, Ceno P. Magnaghi, Caio Ferrari de Oliveira, J. Len Berggren, Henry Mendell e Steve Hutcheon, assim como aos meus alunos do Instituto de Física com quem trabalhei este tema. Minha filha e Eduardo Meirelles ajudaram com as figuras da versão em inglês, [Ass08]. Todas as figuras desta versão em português foram feitas por Daniel Robson Pinto, através de uma Bolsa Trabalho concedida pelo Serviço de Apoio ao Estudante da Unicamp, ao qual agradecemos.

Agradeço ainda ao Instituto de Física e ao Fundo de Apoio ao Ensino, à

Pesquisa e à Extensão da Unicamp, que forneceram as condições necessárias para a realização deste trabalho.

André Koch Torres Assis

Instituto de Física

Universidade Estadual de Campinas — UNICAMP 13083-970 Campinas, SP, Brasil

E-mail: assis@ifi.unicamp.br Homepage: http://www.ifi.unicamp.br/assis

(Parte 1 de 6)

Comentários