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Universidade do Estado cm
de A no o
Bibliografia • STEINBRUCH, A. WINTERLE, P., Geometria analítica. Makron Books Editora 1987 . . • STEWART, J.: Cálculo ‐ Vol. 2. Ed. Cengage Learning. • LEITHOLD, L. O cálculo com Geometria Analítica,Vol. 2, Ed. Harbra. PROVA ESPECIAL Nota das 3 etapas menor que 60 pontos. Anula-se os pontos obtidos durante o semestre. Valor de 100 pontos, sendo que a nota do aluno que conseguir aproveitamento maior que 60 pontos permanecerá 60 pontos. FREQUÊNCIA MÍNIMA Não há abono de faltas. Tolerância a 25% de faltas (um quarto do número de aulas dadas) – 18 faltas. Esta margem deve atender a todos os casos imprevistos como: doença, esquecimento de responder a chamada, atraso, ausência voluntária ou involuntária, outros imprevistos. DICAS Entenda os conceitos antes de fazer os exercícios; Escreva a equação que usará antes de resolver o exercício; Escreva de forma legível; Tire suas dúvidas com o professor, monitor ou l b d t d itco egas, uscan o en en er o conce o. Fazer muitos exercícios serve para compreender como os conceitos se aplicam a casos diferentes. Se é uma matriz 3 × 3: Regra de Sarrus det A = ( a11⋅a22⋅a33 + a21⋅a32⋅a13 + a31⋅a12⋅a23 ) - (a13⋅a22⋅a31 + a23⋅a32⋅a11 + a33⋅a12⋅a21 ) Ex: Algumas Propriedades • det A = 0 se A possuir uma fila (linha ou coluna) nula ou se A possuir duas filas proporcionais . S B é t i btid l t d d fil d A d t (B)• e a ma r z o a pe a roca e uas as e : e = ‐ det(A) • Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma fila de A por um escalar k det(B) k det(A) : = • det(k A) kn det A (todas filas) = ( )• det A B = det A det B Matrizes Associadas a um Sistema Linear O i t s s ema ⎪ ⎧ =+++ nn bxaxaxa ... 11212111 ⎪ ⎪⎪ ⎨ =+++ nn bxaxaxa S ... ... : 22222121 ⎪ ⎪ ⎩ =+++ nnmnmm bxaxaxa ... ... 2211 pode ser representado na forma ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ n b b aaa aaa ... 111211 → matriz ampliada [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢== n BAM ............... ... | 222221 ou completa ⎥⎦⎢⎣ nmnmm baaa ... ... ............ 21 Classificação dos sistemas lineares quanto às soluções
Solução de um sistema linear é uma sequência de números
que, colocados respectivamente no lugar das variáveis x,
Xp «.. X, , tornam verdadeira a igualdade, ou seja, é solução
de toda equação do sistema.
DETERMINADO
Admite uma única solução? SPD
POSSÍVEL ite uma única solução
quando admite
SISTEMA solução INDETERMINADO sspI
LINEAR Admite infinitas soluções
IMPOSSÍVEL
quando não admite ss
Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação Gaussiana
A idéia é obter um sistema mais “simples” equivalente ao
sistema dado, ou seja, que possui a mesma solução.
1. Obter a matriz ampliada.
2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações
elementares.
3. Fazer a análise, de acordo com o teorema:
Operações elementares 1. Trocarmos a linha i pela linha j. Li ↔ Lj 2. Multiplicarmos a linha i por um escalar k IR* (não nulo). L ← k Li . i 3. Substituirmos a linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com k IR* (não nulo). Li ← Li + k.Lj ⎧ =−+ 02 zyx Ex: ⎪ ⎪ ⎨ =+− 10543 zyx ⎩ =++ 1zyx Sistema Homogêneo Si t d t d t i d d t ã ls ema on e o os os ermos n epen en es s o nu os. É sempre possível, pois admite a solução trivial, isto é, S = {(0,0,...,0)}. Se P = n⇒ SPD a única solução é a trivial C , . Se PC < n ⇒ SPI, admite outras soluções, além da trivial. Ex: Seja o sistema: ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 1284 32 yx yx as retas são coincidentes, e qualquer ponto de uma das retas é solução → SPI. Ex: Seja o sistema: ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 684 32 yx yx estas retas não têm nenhum ponto em comum, pois são paralelas, logo o sistema não tem solução → SI. Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações Classificação do Sistema Retas SPD Concorrentes SPI Coincidentes SI Paralelas
Es 8
A
a
Vo, — Z(coluna 1)
Al 3) +3 (coluna 2)
(3,3). -” x
x Co
(— 1,1) (2. |) = coluna 1
Combinação de vetores-coluna
2x-— y=1
(x, )=(2,3)
X
x+v=5
As retas se cruzam em x =2,/y=3
