Baixe aula 16 - trigonometria e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 AULA DEZESSEIS: TRIGONOMETRIA Olá, amigos! Novamente pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 16 na semana passada. Este final de ano está muito corrido e atribulado! Daremos hoje início a um novo assunto: Trigonometria! Como de praxe, apresentaremos muitas questões de concursos passados que servirão no nosso aprendizado, e também para sabermos qual é a profundidade exigida deste assunto dentro das provas de Raciocínio Lógico. Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto de Matrizes e Sistemas Lineares e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas! DEVER DE CASA 01. (AFC/97) Considerando-se as matrizes A =       13 42 e B =       21 11 . A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) -10 b) -2 c) I d) 2 e) 10 Sol.: Simbolicamente a matriz D é dada por: D = AtB-1, onde At é a transposta de A, e B-1 é a inversa de B. 1º passo) Cálculo da matriz transposta de A. Temos que A =       13 42 e queremos a sua transposta. Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois, que a matriz At será a seguinte: At =       14 32 2º passo) Cálculo da matriz inversa de B. Temos que B =       21 11 e queremos a sua inversa B-1. Representaremos B-1 pela matriz:       dc ba Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz B pela sua inversa B-1 é igual a matriz identidade. Portanto, teremos: B-1 x B = I       dc ba x       21 11 =       10 01 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 Após a multiplicação das matrizes, teremos:       ++ ++ dcdc baba 2 2 =       10 01 Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que: a+b = 1 (I) a+2b = 0 (II) c+d = 0 (III) c+2d = 1 (IV) Encontraremos os valores de a, b, c e d. De (II), temos que: a = -2b. Substituindo esse resultado em (I), teremos: a+b = 1 -2b + b = 1 b = -1 De (I), obtemos o valor de a: a+b = 1 a + (-1) = 1 a = 2 De (III), temos que: c = -d. Substituindo esse resultado em (IV), teremos: c+2d = 1 -d + 2d = 1 d = 1 De (III), obtemos o valor de c: c+d = 0 c + 1 = 0 c = -1 Daí, a inversa da matriz B será a seguinte matriz: B-1 =       − − 11 12 3º passo) Cálculo da matriz D = At B-1 D = At B-1 =       14 32 x       − − 11 12 Multiplicando as duas matrizes, teremos como resultado: D =       − 37 11 A questão solicita a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, daí: 1 + (-3) = -2 (Resposta: alternativa B!) 02. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 80 Sol.: Usaremos a seguinte propriedade dos determinantes: Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M. det (k.M) = kn det(M) CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 5 E. det(A) = – det(B) Sol.: As alternativas da questão trazem relações entre os determinantes de A e B, portanto na solução da questão tentaremos obter inicialmente uma relação entre as matrizes A e B para depois encontrar uma relação entre os seus determinantes. Observe que há duas linhas da matriz A que são iguais a duas colunas da matriz B, então faremos a transposta de B para ficar parecido com a matriz A. A transposta da matriz B será: Bt =           321 235 cba A matriz Bt é muito parecida com a matriz A, somente a última linha que é diferente, mas perceberam a relação entre a terceira linha de A e a terceira linha de Bt ? Está fácil de ver! Os elementos da terceira linha de A são o dobro dos elementos correspondentes na terceira linha de Bt. Por tudo isso, podemos fazer a seguinte relação entre A e B: a matriz A é igual a matriz obtida multiplicando-se por dois a terceira linha da transposta de B. Simbolicamente, temos: A = 2 x (a terceira linha de Bt) Para estabelecer uma relação entre os determinantes de A e B, usaremos as seguintes propriedades dos determinantes: Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M. Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M) Aplicando as propriedades acima, teremos a seguinte relação entre os determinantes de A e B: det(A) = det(2 x (a terceira linha de Bt)) det(A) = 2 x det(Bt) det(A) = 2 x det(B) det(A) = 2 x det(B) det(A) = 2det(B) (Resposta!) 07. (SERPRO 1996) As matrizes:           = 735 642 321 X ,           = 1535 652 321 Y e           = 302510 652 321 Z apresentam, respectivamente, determinantes iguais a: a) 0, 0 e 0 b) 1, 1 e 1 c) 0, 1 e 1 d) 2, 3 e 4 e) -1, -1 e -1 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6 Sol.: Observando os elementos das três matrizes acima, chegaremos aos seguintes resultados: Os elementos da segunda linha da matriz X são exatamente o dobro dos elementos correspondentes da primeira linha. Os elementos da terceira coluna da matriz Y são exatamente o triplo dos elementos correspondentes da primeira coluna. Os elementos da terceira linha da matriz Z são exatamente o quíntuplo dos elementos correspondentes da terceira coluna. Para obter os determinantes das matrizes acima, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes: Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então: det(M) = 0. Concluímos, então, que os determinantes de X, Y e Z são iguais a zero. Resposta: alternativa A. 08. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Sabendo-se que a matriz       = 10 11 A e que Ν∈n e 1≥n então o determinante da matriz An – An-1 é igual a a) 1 d) n b) -1 e) n-1 c) 0 Sol.: A questão solicita o determinante da matriz An – An-1, onde:       = 10 11 A Ν∈n e 1≥n A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes: 1) é associativa: (AB)C = A(BC) 2) é distributiva à direita: (A+B)C = AC + BC 3) é distributiva à esquerda: C(A+B) = CA + CB 4) (kA)B = A(kB) = k(AB) Daqui a pouco usaremos a terceira propriedade descrita acima. Temos a expressão matricial An – An-1. Mas podemos reescrevê-la, sem alterar o resultado, por: (An-1. A) – (An-1. I) Se colocarmos em evidência o termo An-1 , a expressão matricial passa a ser: An-1 (A – I) Agora, vamos substituir a matriz A e a matriz identidade I que estão dentro do parêntese, pelas suas respectivas matrizes. Então, teremos: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 An-1 (       10 11 –       10 01 ) Subtraindo as matrizes que estão dentro do parêntese, obteremos: An-1 (       00 10 ) Para calcular o determinante da expressão matricial acima, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes: det(AB) = det(A).det(B). Daí: det( An-1 (       00 10 ) ) = det(An-1) . det(       00 10 ) O determinante de       00 10 é igual a zero, porque essa matriz possui uma coluna com elementos iguais a zero. Daí: det(An-1) . det(       00 10 ) = det(An-1) . 0 = 0 Resposta: alternativa C. 09. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) 36- Considere as matrizes           =           = c b a YX 35 62 32 ; 735 642 321 onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a a) 0. d) a+b. b) a. e) a+c. c) a+b+c. Sol.: Observando os elementos da matriz X, chegaremos ao seguinte resultado: Os elementos da segunda linha da matriz X são exatamente o dobro dos elementos correspondentes da primeira linha. Daí, já descobrimos que o determinante da matriz X é igual a zero. A questão solicita o determinante do produto das matrizes X e Y, ou seja, o det(XY). Pelas propriedades dos determinantes, sabemos que det(XY) = det(X).det(Y). Daí: det(XY) = det(X).det(Y) = 0 . det(Y) = 0 Resposta: alternativa A. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 10 E, portanto: det(B) = - x3 O produto det(A).det(B) será igual a: det(A).det(B) = x3 . (- x3) = -x6 (Resposta: alternativa B !) 13. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema    =+ =− 02 02 ax yax de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a. Sol.: As variáveis (incógnitas) do sistema acima são x e y. A segunda equação do sistema não apresenta a variável y, daí podemos obter facilmente o valor de x do sistema. Da segunda equação, teremos: x + 2a = 0 x = -2a Substituindo este valor de x na primeira equação, encontraremos o valor de y do sistema: ax – 2y = 0 a . (-2a) – 2y = 0 -2a2 – 2y = 0 y = -a2 A solução do sistema é: x = -2a e y = -a2 Destes resultados, concluímos que x e y tem uma infinidade de valores, que dependerão do valor de a. Se a for zero teremos a solução trivial x=0 e y=0, e para quaisquer outros valores de a teremos soluções não triviais. Resposta: alternativa A. Agora, sim, falemos sobre Trigonometria! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 11 NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA 1. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Denominamos de triângulo retângulo, o triângulo que possui ângulo interno de um de seus vértices igual a 90º. Triângulo retângulo Na figura acima α e β são os ângulos agudos do triângulo retângulo, e eles são complementares (α + β = 90º). O lado maior c é chamado de hipotenusa e os lados a e b são chamados de catetos. As razões trigonométricas fundamentais usando o ângulo α são: a b hipotenusa sen == αα aoposto cateto a c hipotenusa == αα a adjacente catetocos c btg == α αα a adjacente cateto a oposto cateto As razões trigonométricas fundamentais usando o ângulo β são: a c hipotenusa sen == ββ aoposto cateto a b hipotenusa == ββ a adjacente catetocos b ctg == β ββ a adjacente cateto a oposto cateto Das razões trigonométricas fundamentais acima, podemos demonstrar as relações mostradas abaixo: 1º) βα cos=sen e αβ cos=sen 2º) 1cos22 =+ ααsen 3º) α αα cos sentg = e β ββ cos sentg = 4º) 1=× βα tgtg 2. O CICLO TRIGONOMÉTRICO Arcos e Ângulos Seja uma circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. A abertura do ângulo α descreve na circunferência o arco AB. α a b c β A CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12 As unidades do ângulo e do arco são dadas em graus (º) ou radianos (rad). Devemos lembrar da relação entre estas unidades: π rad = 180º (meia volta) ou 2π rad = 360º (1 volta) Mostraremos como se converte de graus para radianos, e vice-versa. Conversão de graus para radianos 1) 60º Para converter de graus para radianos podemos usar uma simples regra de três; x rad ------- 60º π rad ------- 180º Daí: 180x = 60π 180 60π =x 3 π =x Resposta: 60º = 3 π rad 2) 270º Também podemos usar a seguinte regra prática: multiplicar o valor em graus por 180 π . Daí: 180 270 π⋅ = 180 270π = 2 3π Resposta: 270º = 2 3π rad Conversão de radianos para graus 1) 6 π Usaremos uma simples regra de três: x ------- 6 π rad 180º ------- π rad Daí: πx = 180. 6 π 6 180 =x 30=x B α O CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 15 3º) Marcação do ângulo de 300º O ângulo negativo é marcado no ciclo trigonométrico a partir do ponto origem A e no sentido horário. O ponto P marca a extremidade do arco descrito pelo ângulo. Mostraremos alguns exemplos: 1º) Marcação do ângulo de –120º Ângulos Côngruos ou Congruentes: Um ângulo maior em valor absoluto que 360º (ou 2π) percorre mais de uma volta no ciclo trigonométrico, e possui um ângulo congruente a ele que é menor que 360º. Dois ângulos são congruentes quando possuem o mesmo ponto inicial (A) e o mesmo ponto final (P). Qual é o ângulo congruente a 480º? Para calcular esse ângulo devemos fazer uma operação de divisão por 360º. (120) 1 O quociente 1 significa o número de voltas completas que o 480º dá no ciclo trigonométrico. O resto 120 é exatamente o ângulo congruente a 480º. Portanto, temos que 480º é congruente a 120º (ou 480º=120º). 360 480 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q A -120º 0º 180º 90º 270º P 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q A 300º 0º 180º 90º 270º P CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 16 Outro exemplo: Qual é o ângulo congruente a 1105º? (25) 3 O quociente 3 significa o número de voltas completas que o 1105º dá no círculo trigonométrico. O resto 25 é exatamente o ângulo congruente a 1105º. Portanto, temos que 1105º é congruente a 25º (ou 1105º=25º). Outro exemplo: Qual é o ângulo congruente a –1580º? (140) 4 O quociente 4 significa o número de voltas completas que o –1580º dá no círculo trigonométrico no sentido horário. O resto 140 é o valor absoluto em graus que o ângulo de –1580º percorre após completar as 4 voltas, daí –1580º é congruente a –140º (ou –1580º=–140º). Podemos ainda determinar qual é o ângulo positivo congruente a um ângulo negativo. Explicaremos através de um exemplo. Qual é o ângulo positivo congruente a –130º? Para o –150° completar uma volta falta percorrer um valor absoluto em graus de 210º (= 360º–150º). Daí, 210º é o ângulo positivo congruente a –150º. Veja o desenho. Forma generalizada de congruência de um ângulo Todos os ângulos de origem A e extremidade P (diferindo apenas por um número inteiro k de voltas) são considerados ângulos congruentes entre si, pois ao somarmos ou subtrairmos a um ângulo um valor múltiplo de 360º (ou 2π) só estamos dando voltas no ciclo, mas sempre terminando no mesmo ponto P. A forma generalizada de todos os ângulos congruentes a um certo ângulo α é dada pela expressão: Em radianos: α + 2kπ Em graus: α + k.360º onde K pertence ao conjunto dos números inteiros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. 360 1105 360 1580 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q A –150º 0º 180º 90º 270º P 210º CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 17 Simetrias No ciclo trigonométrico, interessam-nos diretamente três tipos de simetrias, a saber: em relação ao eixo vertical, em relação ao eixo horizontal e em relação ao centro. Essas simetrias serão úteis na parte de funções circulares. Para o estudo de cada uma delas, tomaremos um arco de medida α, do 1º quadrante e da 1ª volta, ou seja, 0< α < 90º. # Simetria em relação ao eixo vertical Seja P a extremidade do ângulo de medida α. O simétrico de P em relação ao eixo vertical é o ponto P’, extremidade do ângulo de medida π-α. Os ângulos α e π-α são suplementares. Observe na figura que os pontos P e P’ possuem a mesma projeção no eixo vertical e também terão as mesmas projeções no eixo horizontal, porém invertidas. Para designar o conjunto dos ângulos que possuem extremidade P, podemos escrever α+2kπ, e para os ângulos de extremidades P’, (π-α)+2kπ. # Simetria em relação ao eixo horizontal Seja P a extremidade do ângulo de medida α. O simétrico de P em relação ao eixo horizontal é o ponto P’, extremidade do ângulo de medida 2π-α. Os ângulos α e 2π-α são replementares. Observe na figura que os pontos P e P’ possuem a mesma projeção no eixo horizontal e também terão as mesmas projeções no eixo vertical, porém invertidas. Para designar o conjunto dos ângulos que possuem extremidade P, podemos escrever α+2kπ, e para os ângulos de extremidades P’, (2π-α)+2kπ. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q A 0º 180º 90º 270º P α P’ π-α 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q 0º 180º 90º 270º P α2π-α P’ CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 20 # Sinais da função seno Considerando a orientação do eixo dos senos, percebemos que os ângulos do 1º e 2º quadrantes associam-se valores positivos de senos, e a ângulos do 3º e 4º quadrantes associam-se valores negativos de senos. # Valores Notáveis Os valores constantes na tabela abaixo são fundamentais, pois, a partir deles, são encontrados os valores dos senos de muitos outros ângulos. x 0 30º(π/6) 45º(π/4) 60º(π/3) 90º(π/2) 180º(π) 270º(3π/2) 360º(2π) sen x 0 1/2 2/2 2/3 1 0 -1 0 Função Cosseno Na figura abaixo, utilizando o triângulo retângulo OPP2, podemos escrever cos α = OP OP2 . Como OP é raio, temos cos α = 2OP . Dessa forma, para encontramos o cosseno de um ângulo, basta projetar ortogonalmente a extremidade do arco correspondente sobre o eixo horizontal – daqui por diante denominado eixo dos cossenos – e medir a distância entre essa projeção e o centro O do ciclo, sempre levando em conta a orientação do eixo (para a direita). I senos II III IV P α P2 O cossenos CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 21 Para o caso dos ângulos fora do 1º quadrante, o procedimento é análogo. Na figura abaixo, sejam x, y e z os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Projetando suas extremidades sobre o eixo dos cossenos, obtemos, respectivamente, os pontos X, Y e Z. Temos, então: cos x = OX (negativo) cos y = OY (negativo) cos z = OZ (positivo) # A função y = cos x O domínio (os valores que x pode assumir) da função cosseno é igual ao conjunto dos reais. Sendo a unidade de x em radianos ou graus. Pelo ciclo trigonométrico constatamos que o cosseno de x é um valor no intervalo [-1, 1], ou seja, -1 ≤ cos x ≤ 1. # Sinais da função cosseno Considerando a orientação do eixo dos cossenos, percebemos que os ângulos do 1º e 4º quadrantes associam-se valores positivos de cossenos, e a ângulos do 2º e 3º quadrantes associam-se valores negativos de cossenos. I cossenos II III IV P α P2 O cossenos x X O Z Y y z cossenos 1 -1 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 22 # Valores Notáveis Os valores constantes na tabela abaixo são fundamentais, pois, a partir deles, são encontrados os valores dos cossenos de muitos outros ângulos. x 0 30º(π/6) 45º(π/4) 60º(π/3) 90º(π/2) 180º(π) 270º(3π/2) 360º(2π) cos x 1 2/3 2/2 1/2 0 -1 0 1 Relações entre senos e cossenos No início desta aula vimos as Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo, onde foram apresentadas algumas relações entre senos e cossenos. Vamos retomá-las, agora de uma forma mais geral. # Ângulos Complementares O complementar do ângulo x é o ângulo (90º –x). E temos as seguintes relações entre ângulos complementares: sen x = cos(90º–x) e cos x = sen(90º–x) E significa que “o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento”; ou “o cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento”. # Relação Fundamental Temos a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um ângulo x qualquer. (sen x)2 + (cos x)2 = 1, ou escrito da seguinte forma: sen2x + cos2x = 1 Assim, dado o seno de um ângulo qualquer, é possível, por meio da relação acima, obter o cosseno desse mesmo ângulo, e vice-versa. Função Tangente Para obter os valores das tangentes dos ângulos, podemos utilizar a relação: x xsenxtg cos = Quando o cosseno de x for zero a tangente não estará definida. O sinal da função tangente pode ser obtida a partir do sinal das funções seno e cosseno. Como a tangente é dada pela razão entre o seno e o cosseno, ela será positiva quando o seno e o cosseno tiverem o mesmo sinal (1º quadrante e 3º quadrante) e será negativa quando o seno e o cosseno tiverem sinais diferentes (2º quadrante e 4º quadrante). I II III IV CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 25 Da função cosseno sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que: cos x ≥ -1 e cos x ≤ 1 A partir da expressão cos x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y. Temos que cos x ≥ -1 , se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos: 4.cos x ≥ 4.(-1) Daí: 4cos x ≥ -4 Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos: 4cos x + 4 ≥ -4 + 4 Daí: 4cos x + 4 ≥ 0 E como y=4cos x +1, então encontramos que y ≥ 0. Agora, a partir da expressão cos x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de y. Temos que cos x ≤ 1, se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos: 4.cos x ≤ 4.1 Daí: 4cos x ≤ 4 Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos: 4cos x + 4 ≤ 4 + 4 Daí: 4cos x + 4 ≤ 8 E como y=4cos x +1, então encontramos que y ≤ 8. Dos resultados obtidos: y ≥ 0 e y ≤ 8, encontramos o intervalo de variação de y: 0 ≤ y ≤ 8 (Resposta!) 02. (TFC 1995 ESAF) Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 4/5, então cos x é: a) -5/3 b) 5/3 c) ± 3/5 d) 3/5 e) -3/5 Sol.: O enunciado informa que x é um ângulo do segundo quadrante, e de acordo com o sinal da função cosseno, temos que o cosseno de x é negativo. Assim, a alternativa correta ou é a A ou é a E. Pela relação fundamental: sen2x + cos2x = 1, podemos encontrar o valor do cosseno de x a partir do conhecimento do seno de x. Temos que sen x = 4/5, substituindo esse valor na relação fundamental acima, teremos: (4/5)2 + cos2x = 1 16/25 + cos2x = 1 cos2x = 1 – 16/25 cos2x = 9/25 cos x = 25/9 cos x = ±3/5 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 26 No início dessa solução, já havíamos concluído que o cos x devia ser negativo. Portanto, descartaremos o valor de +3/5, e a resposta será: cos x = –3/5 (Resposta!) 03. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que co-seno de 60º é igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 600 é: a) - ½ b) - (31/2) c) 31/2 d) (31/2)/2 e) - (31/2)/2 Sol.: Dois ângulos são considerados suplementares, se a soma deles é igual a 180º (x+y=180º). Então o suplemento de um ângulo x é o ângulo (180º-x). Dessa forma, o ângulo suplementar a 60º é: 120º (=180º–60º) A partir desse resultado e de acordo com o enunciado, devemos calcular a tangente de 120º para encontrarmos a resposta da questão. Para calcular esta tangente usaremos os outros dados fornecidos no enunciado, que são: 1ª) sen 60º = (31/2)/2 2ª) cos 60º = 1/2 3ª) sen 2α = 2.senα.cosα A tangente pode ser calculada a partir do seno e do cosseno, pela seguinte fórmula: x xsenxtg cos = Então tangente de 120º é igual a: º120cos º120º120 sentg = Devemos encontrar o valor do seno e do cosseno de 120º. O sen 120º pode ser obtido usando-se a fórmula sen 2α = 2.senα.cosα , fazendo α=60º. Teremos: sen 120º= 2.sen60º.cos60º sen 120º= 2 . (31/2)/2 . 1/2 sen 120º= (31/2)/2 Podemos calcular o cos 120º a partir da relação fundamental: sen2x + cos2x = 1. Teremos: sen2x + cos2x = 1 (sen120º)2 + (cos120º)2 = 1 ((31/2)/2)2 + cos2120º = 1 3/4 + cos2120º = 1 cos2120º = 1/4 cos120º = ± 4 1 cos 120º = ± 1/2 O cos 120º é positivo ou negativo? O ângulo de 120º está no 2º quadrante, daí o cos 120º é negativo. Daí: cos 120º = -1/2 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 27 Encontrados os valores do seno e do cosseno de 120º, já podemos obter o valor da tangente de 120º, teremos: º120cos º120º120 sentg = 2/1 2/)3(º120 2/1 − =tg E, finalmente: tg 120º = - (31/2) Resposta: alternativa b. 04. (AFTN 1998/ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: a) 2 b) 0 c) -1 d) -2 e) 1 Sol.: Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos a variável envolvida nas funções trigonométricas. Na expressão do enunciado, temos a variável x envolvida com as funções seno e cosseno. Vamos desenvolver o termo (cosx + senx)2 que aparece na expressão dada no enunciado. Teremos: (cosx + senx)2 = cos2x + 2.cosx.senx + sen2x (cosx + senx)2 = sen2x + cos2x + 2.cosx.senx (cosx + senx)2 = 1 + 2.cosx.senx Substituindo o termo (cosx + senx)2 por 1+2.cosx.senx na expressão dada no enunciado, teremos: 1+2.cosx.senx + ysenx.cosx - 1 = 0 2.cosx.senx + ysenx.cosx = 0 Colocando em evidência o termo senx.cosx , teremos: senx.cosx (2 + y) = 0 Se (2+y) for igual a zero, então para qualquer valor de x a expressão acima será verificada, daí: (2+y)=0 y=–2 (Resposta!) 05. (AFC 2005 ESAF) O sistema dado pelas equações x sen a – y cos a = –cos 2a x cos a + y sen a = sen 2a possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) 1 b) 2 c) 4 d) sen π e) cos π