Raciocinio logico XII

Raciocinio logico XII

(Parte 1 de 2)

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1 AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte I)

Olá, amigos!

metade de nosso curso! Longo é o caminho do Raciocínio LógicoMuitos assuntos estão ainda

Tudo bem com vocês? Esta é nossa décima primeira aula, e ainda sequer chegamos à por vir! Mas o fato é que estamos seguindo sempre em frente!

Já dizia o sábio que toda grande caminhada se inicia com o primeiro passo! E em se tratando de preparação para concursos, isso se torna muito verdadeiro! O importante é não se deixar esmorecer! Força e coragem são as palavras de ordem!

E por falar nisso, criemos coragem e passemos à resolução do dever de casa da aula passada! Adiante!

Dever de Casa

01. (BNB 2002 FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B? a) Oito b) Dez c) Quinze d) Dezesseis e) Vinte

Sol.:

A questão é das mais simples. Nosso objetivo aqui é o de, partindo da cidade A, chegar a Roma, passando necessariamente pela cidade B.

Facilmente percebemos que há como dividir esse evento em duas etapas bem definidas: 1ª) Partir de A e chegar a B; 2ª) Partir de B e chegar a Roma.

Trabalharemos com o Princípio da Contagem! Æ Da cidade A para a cidade B, teremos: 3 caminhos possíveis; Æ Da cidade B para Roma, teremos: 5 caminhos possíveis. Multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos: Æ 3 x 5 = 15 Æ Número total de possibilidades do evento completo! Resposta) Letra C.

02. (AFCE TCU 9 ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 226 310 b) 262 103 c) 226 210 d) 26! 10! e) C26,2 C10,3

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Sol.:

Nosso conjunto universo consiste do seguinte: {26 letras, 10 algarismos}.

(Todos perceberam que são dez algarismos? Cuidado: de zero a nove, temos dez algarismos!)

Pois bem! O objetivo agora é o de formar uma senha, composta por duas letras e por três algarismos. Ou seja, nosso subgrupo será o seguinte:

LetraLetra Número Número Número

Vamos lá! Primeiro questionamento: na hora de formar o subgrupo, poderemos usar elementos repetidos (iguais)? Sim! Pois assim dispõe o enunciado: Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos! O “ou não” aí ficou inutilizado!

Ora, se os elementos do subgrupo podem ser iguais, então trabalharemos com o

Princípio Fundamental da Contagem! Não foi assim que aprendemos na aula passada? Claro! Para quem está mais esquecido, segue aí o esquema de memória auxiliar:

Elementos iguais no subgrupo
Elementos distintos no subgrupo

Daí, trabalhando pelo Princípio, dividiremos o evento em cinco etapas, e descobriremos o número de resultados possíveis para a realização de cada uma delas. Teremos:

Æ 1ª Etapa) Definição da primeira letra Æ Há 26 possibilidades; Æ 2ª Etapa) Definição da segunda letra Æ Há 26 possibilidades; Æ 3ª Etapa) Definição do primeiro algarismo Æ Há 10 possibilidades; Æ 4ª Etapa) Definição do segundo algarismo Æ Há 10 possibilidades; Æ 5ª Etapa) Definição do terceiro algarismo Æ Há 10 possibilidades.

Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos o resultado final para todo o evento. Teremos:

Æ Total de Possibilidades para todo o Evento = 26x26x10x10x10 = 262x103 Resposta) Letra B.

Antes de passarmos à próxima questão, façamos um breve comentário sobre um aspecto desse enunciado.

Disse ele que o programa (que cria a senha) não faz distinção entre letras maiúsculas ou minúsculas. O que significa isso? Ora, significa que se você usar uma letra S (maiúscula) ou s (minúscula), para o programa não haveria qualquer diferença! Tanto faz!

Princípio

Fundamental da Contagem

Arranjo ou Combinação

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E daí? Daí que se houvesse sido dito o contrário, ou seja, que o programa faz distinção entre maiúsculas e minúsculas, então usar uma letra S (maiúscula) seria algo diferente de se usar um s (minúsculo)! Ou seja, na prática, isso implicaria que teríamos, no conjunto universo, não apenas 26 letras, mas o dobro disso! Claro! Seriam 26 letras minúsculas e mais 26 letras maiúsculas! Seriam dois alfabetos completos! Um total de 52 letras.

Esta consideração, obviamente, alteraria por completo o resultado da questão, dado que teríamos, pelo uso do Princípio da Contagem, a seguinte resposta: 522x103.

Entendido? Adiante!

03. (Anal. Orçamento MARE 9 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é a) 518 400 b) 1 440 c) 720 d) 120 e) 54

Sol.:

Novamente a questão da senha! Só que aqui, com uma diferença crucial (em relação à questão anterior): foi estabelecido que, na hora de formar a senha (o subgrupo), teremos que usar algarismos distintos! Ou seja, os elementos do subgrupo não podem ser repetidos (iguais)! Com isso, nosso caminho de resolução será ou o do Arranjo ou o da Combinação!

Arranjo ou Combinação? Para respondermos, criamos uma senha possível: Æ 1-2-3. Pode ser? Claro! Agora, invertamos os elementos dessa senha. Teremos: Æ 3-2-3.

E aí? As senhas são iguais? Obviamente que não! Logo, concluímos que a resolução se fará mediante o caminho do Arranjo!

Aqui há uma particularidade neste enunciado: na realidade, estamos trabalhando com dois eventos, em vez de apenas um. Queremos compor duas senhas (uma para cada cadeado)! Então, neste caso, e em todos os assemelhados a este, usaremos o seguinte expediente: resolveremos a questão de forma bipartida, como se fossem duas questões (uma para cada evento)! Depois disso, multiplicaremos os resultados parciais encontrados!

Daí, trabalhando para compor a primeira senha, teremos: Conjunto Universo: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (10 algarismos) Subgrupo: (3 algarismos distintos)

Seguindo um raciocínio idêntico ao desenvolvido acima, concluímos que haverá também 720 possíveis senhas para o segundo cadeado (uma vez que se trata de dois eventos iguais!).

Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada evento, chegaremos ao seguinte:

Æ 720 x 720 = 518.400 Æ Resposta! (Letra A)

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04. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 1112 e 1152. b) 1152 e 10. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384.

Sol.:

Nosso conjunto universo aqui é formado por oito pessoas – quatro homens e quatro mulheres. O primeiro objetivo é colocá-los em lugares alternados! Comecemos, portanto, por esse primeiro exercício.

Na hora de formar os subgrupos, teremos que usar elementos distintos? Claro que sim, uma vez que se trata de pessoas! Logo, trabalharemos com Arranjo ou Combinação!

Criemos um resultado possível (vamos chamar as pessoas de A, B, C, D, E, F, G, H): Æ (A-B-C-D-E-F-G-H) Invertendo-se a ordem do resultado acima, passamos a ter o seguinte: Æ (H-G-F-E-D-C-B-A)

São as mesmas pessoas? Sim. Mas são as mesmas filas? Não! São filas diversas! Logo, como os resultados acima são diferente, trabalharemos com o Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? De 8 (total do conjunto universo) em subgrupos também de 8. Daí, lembraremos que estamos diante de um caso particular do Arranjo, chamado de Permutação!

Ora, para cumprir a exigência de que homens e mulheres estejam sempre alternados, haverá duas possíveis formações. As seguintes:

1ª Situação) com um homem na ponta da esquerda!

HM H M H M H M
MH M H M H M H

Ou, então: 2ª Situação) com uma mulher na ponta da esquerda!

Já sabemos que a questão sai por Permutação! Daí, percebemos que, quer estejamos trabalhando na primeira situação, quer na segunda, teremos que os quatro homens permutarão de lugar entre si, o mesmo ocorrendo com as quatro mulheres. Daí, teremos:

HM H M H M H M

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Multiplicando-se estas duas permutações (a dos homens e a das mulheres), chegaremos ao resultado para esta primeira situação (homem na ponta da esquerda)!. Teremos:

Æ 24x24=576

Seguindo o mesmíssimo raciocínio, percebemos que haverá também 576 possíveis maneiras de alocar as oito pessoas, alternando-se homens e mulheres, caso tenhamos uma mulher na ponta da esquerda.

Finalmente, somando-se os resultados das duas situações que respondem à questão, teremos:

Æ 576 + 576 = 1052 Æ Resposta!

Mas a questão na acaba aí! Agora o enunciado quer que coloquemos as oito pessoas nas cadeiras, de sorte que os homens permaneçam juntos, o mesmo se dando com as mulheres!

Vimos, na aula passada, que quando o enunciado amarra que tais elementos devem estar sempre juntos, passaremos a tratá-los como sendo um único elemento! Lembrados disso? Daí, teremos:

P4=4!=24P4=4!=24
HH H H M M M M

P2=2!=2

Multiplicando-se essas permutações parciais, teremos: Æ 24x24x2=1052 Æ Reposta! Resposta) Letra C!

A pergunta que fica no ar é a seguinte: foi coincidência esses dois resultados iguais (1052)? Absolutamente não! Essas duas situações requeridas pelo enunciado (1ª: homens e mulheres alternados; e 2ª: homens juntos e mulheres juntas) produzirão sempre os mesmos resultados! Caso já soubéssemos disso antes de começar a questão, nem precisaríamos resolvê-la, haja vista que somente uma opção de resposta traz dois resultados iguais! Marcaríamos prontamente a opção C.

Você pode (e deve!) tentar fazer esses mesmos dois exercícios (“homens e mulheres alternados” e “homens juntos e mulheres juntas”) para seis pessoas (três rapazes e três moças) e para dez pessoas (cinco rapazes e cinco moças), e comparar os resultados encontrados!

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05. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48

Sol.:

Aqui não tem mais segredo! A questão especifica que dois elementos têm que estar sempre juntos! Daí, consideraremos como se fossem um só elemento!

Já aprendemos, pelos exemplos da aula anterior, que iremos resolver essa questão por Permutação. E teremos:

P4=4!=24

Daí, multiplicando-se as permutações parciais, teremos: Æ 2 x 24 = 48 Æ Resposta! (Letra E)

Esse dever de casa foi muito fácil, vocês não acharam? Realmente!

Daremos, agora, continuidade ao estudo da Análise Combinatória, passando a conhecer alguns aspectos específicos do assunto, os quais, embora não sejam nada complicados, merecem uma atenção especial da nossa parte.

Praticamente, o que nos falta conhecer são dois tópicos referentes à Permutação –

Permutação Circular e Permutação com Repetição – e um tipo específico de questão de Combinação que já foi muito e muito explorado em provas recentes!

Comecemos com a Permutação Circular.

# Permutação Circular: Comparemos os dois exemplos abaixo:

Exemplo 1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas – João, José, Pedro e Paulo – em uma fila indiana?

Sol.:

Até já trabalhamos esse exemplo, mas vale aqui a reprise. Fila indiana, vocês sabem, é aquela em que as pessoas ficam uma após a outra.

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O conjunto universo é formado pelas quatro pessoas. E o subgrupo também!

Para formar o subgrupo, poderemos usar elementos iguais? Obviamente que não, uma vez que estamos trabalhando com pessoas. Daí, constatamos que a solução virá pelo caminho do Arranjo ou da Combinação. Mas qual dos dois?

Æ Criando um resultado possível, teremos: {João, José, Pedro, Paulo} Eis a nossa fila indiana! Æ Agora, invertendo a ordem acima, teremos: {Paulo, Pedro, José, João}

São filas iguais? Não! Apesar de serem as mesmas pessoas, as filas são distintas! Logo, o caminho de resolução é o Arranjo.

Arranjo de quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4.

Æ P4=4!=4x3x2x1=24 Æ Resposta!

Exemplo 2) De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em quatro posições ao redor de uma mesa redonda?

Sol.:

Vamos desenvolver todo o raciocínio.

O conjunto universo é formado por quatro pessoas. E o subgrupo também!

Os elementos do subgrupo têm que ser distintos, uma vez que são pessoas! Criemos um resultado possível:

Mudando a ordem dos elementos do resultado acima, teremos: As mesas são iguais? Não! São diferentes!

João

José Pedro Paulo

Pedro

Paulo João José

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Daí, trabalharemos com Arranjo! De quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4. Paremos um pouco! Até aqui, tudo foi igual ao exemplo anterior!

A única diferença entre esses dois enunciados consiste no fato de que agora pretendemos dispor os elementos do conjunto universo em um formato circular! No caso, uma mesa redonda!

Apenas por esta disposição circular dos elementos, inserida em um enunciado que será resolvido por Permutação, diremos que estamos diante de uma chamada Permutação Circular!

Daí, concluímos, Permutação Circular é um caminho de resolução que será utilizado quando estivermos em um problema que sai por Permutação, e em que os elementos do subgrupo estarão dispostos em uma forma circular!

Além da mesa redonda, são outros formatos circulares, que podem estar presentes numa questão de Permutação Circular, um colar de pérolas, uma roda de crianças etc.

É fácil identificar esse formato circular!

Pois bem! Quando estivermos diante de um enunciado de Permutação Circular, saberemos que a fórmula tradicional da Permutação sofrerá uma pequena variação. Teremos:

P CIRCULAR n = (n-1)!

Só isso! Nada mais que isso! Daí, voltando ao nosso exemplo, teremos:

Entendido? Passemos a um novo conceito.

# Permutação com Repetição:

Passemos a mais dois exemplos:

Exemplo 1) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra SAPO? Sol.:

Aprendemos na aula passada o que é um anagrama! E vimos também que (e aqui podemos generalizar!) questões de anagrama se resolvem por permutação! Lembrados?

Exemplo 2) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra PAPAI?

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