Apostila Planejamento Fatorial - Estatística

Apostila Planejamento Fatorial - Estatística

(Parte 7 de 12)

D-B 1.6 -1.288646 4.488646

D-C 0.6 -2.288646 3.488646

$bloco

diff lwr upr

Lote2-Lote1 -5.50 -8.967325 -2.032675

Lote3-Lote1 1.50 -1.967325 4.967325

Lote4-Lote1 -0.50 -3.967325 2.967325

Lote5-Lote1 -5.25 -8.717325 -1.782675

Lote3-Lote2 7.00 3.532675 10.467325

Lote4-Lote2 5.00 1.532675 8.467325

Lote5-Lote2 0.25 -3.217325 3.717325

Lote4-Lote3 -2.00 -5.467325 1.467325

Lote5-Lote3 -6.75 -10.217325 -3.282675

Lote5-Lote4 -4.75 -8.217325 -1.282675

Percebe-se, através do teste paras diferenças entre tratamentos e o intervalo de confiança para as diferenças, que o catalisador A proporciona menor tempo de reação comparado com todos os tratamentos.

Para este modelo devem-se construir os gráficos de resíduos contra valores ajustados; gráfico de resíduos contra tratamentos; gráfico de resíduos contra blocos e gráfico de probabilidade normal. Da mesma forma, podem-se utilizar alguns testes para verificar as hipóteses de variância constante e normalidade dos dados.

Na Figura abaixo contém os gráficos descritos acima, para a análise de resíduos.

Figura 4.2: Gráficos para Análise de Resíduo do modelo de planejamento de experimentos em blocos completos.

A seqüência dos comandos para a análise de resíduos da Figura 4.2, é descrita abaixo:

> par(mfrow=c(2,2))

> plot(eb.av$fit,eb.av$res,xlab="Valores Ajustados",ylab="Resíduos",col="blue")

> plot(trat,eb.av$res,xlab="Tratamentos",ylab="Resíduos",col="blue")

> plot(bloco,eb.av$res,xlab="Blocos",ylab="Resíduos",col="blue")

> qqnorm(eb.av$res,xlab="Quantil da Normal",ylab="Resíduos",col="blue")

> qqline(eb.av$res)

Pela Figura 4.2, parece não existir nenhuma violação grave na suposição do modelo. Aplicando os testes de normalidade e homogeneidade de variâncias tem-se os seguintes resultados:

Para o teste da Normalidade dos Resíduos temos:

> shapiro.test(eb.av$res)

Shapiro-Wilk normality test

data: eb.av$res

W = 0.9217, p-value = 0.1066

Para testar a homogeneidade das variâncias temos:

> bartlett.test(eb.av$res,trat)

Bartlett test of homogeneity of variances

data: eb.av$res and trat

Bartlett's K-squared = 0.8093, df = 3, p-value = 0.8472

>bartlett.test(eb.av$res,bloco)

Bartlett test of homogeneity of variances

data: eb.av$res and bloco

Bartlett's K-squared = 0.5292, df = 4, p-value = 0.9706

Como a suposições de normalidade e nem de variância constante foram rejeitadas, pode-se considerar o modelo como válido e a análise encerrada.

4.6- Conclusões Finais

  • Existe diferença entre o tempo médio de reação entre os tratamentos, sendo que o Catalisador A apresenta menor tempo de reação.

  • O modelo utilizado na análise se mostrou apropriado, sem apresentar violações.

  • Dessa forma recomenda-se a utilização do Catalisador A na produção, pois irá aumentar a produtividade do processo.

4.7- Exercícios do Capítulo

  1. Um experimento foi conduzido a fim de investigar o escapamento de corrente elétrica em um aparelho SOS MOSFETS. A finalidade do experimento foi investigar como o escapamento de corrente varia com o comprimento do canal. Quatro comprimentos diferentes foram selecionados. Para cada comprimento do canal, cinco larguras diferentes foram também usadas. A largura deve ser considerada como fator pertubador. Eis os dados.

  1. No artigo intitulado “O efeito do projeto do bocal na estabilidade e desempenho de jatos turbulentos de água”, na revista Fire Safety Journal,Vol.4,agosto de 1981,C.Theobald descreve um experimento em que uma medida da forma foi determinada para vários tipos diferentes de bocais, com níveis diferentes de velocidade do jato de saída. O interesse nesse experimento está principalmente no tipo de bocal, sendo a velocidade um fator que provoca distúrbio. Os dados são apresentados a seguir.

    • O tipo de bocal afeta a medida da forma? Compare os bocais, usando os diagramas de caixa e a análise de variância.

    • Compare as diferenças entre os bocais utilizando o gráfico box-plot.

    • Faça a análise de resíduos para o modelo.

  1. Um experimento foi realizado para determinar o efeito de quatro tipos diferentes de ponteiras em um teste de dureza de uma liga metálica. Quatro corpos de prova da liga foram obtidos e cada ponteira foi testada uma vez em cada corpo de prova, produzindo os seguintes dados:

  • Faça uma análise de variância completa para checar se existe diferença nas medidas de dureza entre as ponteiras.

Capítulo 5 – Planejamentos Fatorias

Em muitas situações práticas podemos ter interesse em estudar o efeito de dois ou mais fatores, nestas situações um experimento fatorial deve ser utilizado. Nos experimentos fatorias, os fatores variam de forma simultânea, especificamente, queremos dizer que em cada tentativa completa ou replicação do experimento, são investigadas todas as combinações dos níveis dos fatores. Por exemplo, se há dois fatores A e B, com níveis para o fator A e níveis para o fator B, então cada replicação contém todas as combinações possíveis.

O efeito de um fator é definido como a mudança na resposta produzida por uma mudança no nível do fator. Isso é chamado efeito principal, porque se refere aos fatores principais no estudo.

Se a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis dos outros fatores, então esse efeito é chamado de interação. Abaixo apresentamos exemplos gráficos de planejamentos com dois fatores com e sem interação.

Figura 5.1: Sem Interação Figura 5.2: Presença de Interação

5.1- Planejamento Fatorial com dois fatores.

Vamos considerar neste caso o planejamento com dois fatores. Aqui consideramos A e B, com e níveis respectivamente. Se o experimento é replicado vezes, a disposição dos dados pode ser ilustrada na tabela abaixo:

Tabela 5.1: Disposição dos dados para um experimento fatorial com dois fatores

Fator B

Fator A

1

2

1

2

Em geral, a observação na ij-ésima cela na k-ésima repetição é . Aqui, na coleta de dados, as observações devem ser feitas em ordem aleatória. O planejamento fatorial com dois fatores é um planejamento completamente aleatorizado. Vamos supor, inicialmente, que ambos os fatores tenham efeitos fixos.

O modelo matemático para observações de um experimento fatorial com dois fatores é dado por

; (5.1)

onde:

: é o efeito médio geral

: é o efeito do i-ésimo nível do fator A.

: é o efeito do j-ésimo nível do fator B.

: é o efeito da interação entre A e B.

: é o erro aleatório. Da mesma forma, vamos considerar que

Ambos os fatores são considerados fixos, e o efeito dos tratamentos são definidos como desvios da média geral, dessa forma e .

Similarmente os efeitos da interação são considerados fixos e são definidos de forma que . Como existirão réplicas no experimento, tem-se um total de observações.

No experimento fatorial com dois fatores, tem-se interesse em testar o efeito dos dois fatores. Especificamente, estamos interessados em testes de hipóteses sobre a igualdade do efeito do tratamento das linhas (Fator A)

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