Apostila Planejamento Fatorial - Estatística

Apostila Planejamento Fatorial - Estatística

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: observações coletadas sob o i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco.

: média geral.

: efeito do i-ésimo tratamento.

: efeito do j-ésimo bloco.

: erro aleatório associado à observação .

Aqui será feita a suposição de que os erros aleatórios são independentes e distribuídos de forma normal com média zero e variância , ou seja, . Os tratamentos e blocos serão considerados, inicialmente, como fatores fixos.

Temos ainda que os efeitos dos tratamentos e dos blocos são definidos como desvios da média global, de modo que e . Considerando também que os tratamentos e os blocos não interagem.

Assim, estamos interessados em testar a igualdade dos efeitos do tratamento. Isto é:

(4.2)

Dessa forma a análise de variância pode ser estendida ao planejamento em blocos completamente aleatorizados. O procedimento usa a soma de quadrados total, , que representa uma partição da variabilidade total das observações em relação à variabilidade explicada pelo tratamento, pelos blocos e pelo acaso.

(4.3)

Aqui:

: soma da observações no i-ésimo tratamento

: soma da observações no j-ésimo bloco

: soma total

: média das observações no i-ésimo tratamento

: média das observações no j-ésimo bloco

: média geral de todas as observações.

: Total de observações.

A demonstração da partição de pode ser vista em Montegomery, 2001. A identidade da soma quadrática pode ser representada simbolicamente por

(4.4)

onde,

: Soma de quadrados total.

: Soma de quadrados devido aos tratamentos.

: Soma de quadrados devido aos blocos.

: Soma do quadrado dos resíduos.

O desmembramento do grau de liberdade correspondente a essas somas quadráticas é dado da seguinte forma. Para observações, terá graus de liberdade, para tratamentos e blocos, e terão e graus de liberdade respectivamente. Para temos graus de liberdade por subtração. A idéia do teste é a mesma do planejamento completamente aleatorizado, procurando trabalhar com os quadrados médios. Para este modelo os quadrados médios são:

: Quadrado Médio dos Tratamentos

: Quadrado Médio dos Blocos.

: Quadrado Médio dos Resíduos.

Pode ser demonstrado (ver Montgomery, 2002) que os valores esperados dessas médias quadráticas são:

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Dessa forma, se a hipótese nula for verdadeira de modo que todos os efeitos do tratamento , então será um estimador não tendencioso de , enquanto se for falsa, estimará mais um termo quadrático positivo. O quadrado médio dos resíduos será sempre um estimador não tendencioso de . Dessa forma para testar a hipótese nula de que os efeitos dos tratamentos sejam iguais a zero, utilizamos a estatística

que, sob , terá uma distribuição F, com graus de liberdade. Assim, rejeita-se a hipótese nula , com um nível de significância , se

O quadro da ANOVA será dado por:

Tabela 4.1 – Quadro da Anova

Fonte de Variação

SQ

GL

QM

Tratamentos

Blocos

Erros

Total

A estatística , aparece como teste para o efeito dos blocos. A validade dessa razão como uma estatística de teste para a hipótese nula de nenhum efeito do bloco é duvidosa, uma vez que os blocos representam uma restrição à aleatoriedade, ou seja, usamos a aleatoridade apenas dentro dos blocos. Podemos considerar, se os blocos forem realizados em uma ordem aleatória, que um valor grande para dá indicativos para efeitos significativos dos blocos, mas não podemos afirmar esses resultados como para o teste do efeito dos tratamentos.

4.3-Análise de Resíduos (Verificação da Adequação do Modelo)

Da mesma forma, no caso dos planejamentos em blocos completamente aleatorizados deve ser verificada a validade das suposições de normalidade dos erros, igualdade de variância das observações nos tratamentos, nos blocos e ausência da interação tratamento-bloco. A análise de resíduo é a principal ferramenta utilizada para esta verificação. Para os planejamentos em blocos completamente aleatorizados os resíduos são definidos por

(4.8)

As verificações serão feitas por meio do estudo dos gráficos de resíduos como: Gráficos de resíduos X Valores Ajustados; Gráficos de Resíduos x Tratamentos; Resíduos x Blocos e Gráfico de probabilidade Normal. Aqui pode-se também usar o teste de Barllets para testar a igualdade de variâncias e o teste de ShapiroWilk para Normalidade dos resíduos.

4.4- Comparações Múltiplas.

Da mesma forma pode-se utilizar o teste de Tukey, considerando agora uma pequena alteração no grau de liberdade do , que agora possui graus de liberdade e substituir o número n de réplicas pelo número de blocos b.

4.5 – Aplicação do Software R na analise de dados para o planejamento de experimento aleatorizado em blocos completos.

Para ilustrarmos a aplicação desse modelo, utilizamos outro problema proposto em Werkema & Aguiar, (1996) descrito abaixo:

Com o objetivo de reduzir o tempo de reação de um processo químico, uma indústria resolve realizar um experimento com quatro tipos de catalisadores (A,B,C e D). No entanto os técnicos perceberam que a matéria-prima utilizada na reação não era totalmente homogênea e representava uma fonte de variabilidade que afetava o desempenho do processo. Uma maneira de contornar este problema consistia em selecionar vários lotes de matéria-prima e comparar os quatro catalisadores nas condições relativamente homogêneas dentro de cada lote. Dessa forma, a equipe decidiu usar cinco lotes disponíveis no estoque da industria e para cada lote extrair quatro porções de matéria-prima, de modo que cada porção fosse suficiente para fabricar uma batelada de produto, e alocar aleatoriamente a cada uma destas porções um dos catalisadores considerados no estudo. Estabeleceu-se a aleatorização da ordem de realização dos ensaios. Neste caso, cada ensaio corresponde à produção de uma batelada da substância química utilizando uma das combinações porção de matéria-prima/catalisador. Portanto estamos diante de um experimento aleatorizado em blocos completos.

Cada bloco corresponde a um lote de matéria prima e os tratamentos ou níveis do fator correspondem aos tipos de catalisador. Dentro de um bloco, a associação dos tratamentos às unidades experimentais e a ordem de realização dos ensaios são determinadas ao acaso.

Os dados desse experimento estão ilustrados abaixo:

Tabela 4.2: Dados do experimento com Catalisadores

4.5.1 - Entrada de dados e análise descritiva usando o Software R.

Aqui a matriz de planejamento será montada da seguinte forma:

Repostas:

y<- scan() : Depois do comando o próximo passo é entrar com os dados da resposta.

Montando a variável Bloco e Tratamento:

b<-rep(1:5,each=4) : no caso temos 5 blocos com 4 repetições.

tr<-rep(1:5,4) : no caso temos 4 tratamentos com 5 repetições.

Uma opção mais completa pode ser definida por:

b<-factor(rep(1:5,each=4),labels=c("Lote1","Lote2","Lote3","Lote4","Lote5"))

tr<- factor(rep(1:4,5),labels=c("A","B","C","D"))

Montando o Data.frame

decab<-data.frame(resp=y,trat=tr,bloco=b)

> decab

resp trat bloco

1 41 A Lote1

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