Baixe calculo 3 exe. resolv e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity! Capítulo 9 Exemplos Diversos Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, por ceder, gentilmente estes exercícios. 9.1 Limites [1] Determine o valor da constante para que exista e calcule o limite. Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: ! "# $ "# $ ! % $ & "' ( ! *) +-, ./0 1"# $(32 ! +-, 4 51"# $( 1"# $(76 Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é, !98 ; então: 5 . ! : ; 1"# $( ! < 6 [2] Calcule: : )=3>@? A 2CBEDEFHGJILKINMOBADEF GJILK . Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão: =3>@? A$% =P>H? A ! QSRUT V W X QSRUT V W 6 Fazendo Y ! QSRUT V W , temos que Y ! QURST V W . Por outro lado observamos que se Z [ , então Y Z\[ e: =3>@? A% =3>@? A$ ! X Y Y ! Y C 6 333 334 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Logo: ) =3>@? A 2CBEDEFHGJILKINMOBADEF GJILK ! : X Y 8 ! X Y X Y 8 ! > 8 6 [3] Calcule: ) Y A$ 2 V W . Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo Y ! $ Y A$ , temos que Y A ! X Y e Y , $ ! , Y A+ Y A$ ! , Y Y 6 Por outro lado observamos que se Z , então Y Z\[ e: ) Y A 2 V W ! : ) + Y 2 M ! : ) + Y 2 2 8 ! > 6 [4] Determine as constantes tais que "! ) 8 ( ( #$#$#5 2 ! [ 6 Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão: ) " 8 ( ( #$#$# 2 ! 8 ( ( " #$#$# 8 ( ( #$#$# ! 8 ( ( #$#$# #$#$# 6 Sabemos que "! % A& A ! [ se ' ( & *) ' +( % . Logo, ! [ e ! [ , ou seja ! e ! [ . [5] Calcule: "! , .- " % 6 Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: , .- % ! ) , .- " % 2 ) - ./ - ./ 2 ! ./ " - " / ! / " - " / " ! 0 1 0 0 ! , - 8 5 , 8 - 8 2 6 9.2. CONTINUIDADE 337 Logo, M A$ ! =3>@? A$ ! : e : A ! =P>H? A ! 6 Então não é contínua em [ . -6 -4 -2 2 4 6 -1 -0.5 0.5 1 Figura 9.1: Gráfico de . [2] A$ ! , 8 , 8 # . Solução : Reescrevamos a função: A ! , 8 , 8 ! , 8 # -,, 8 ! + , , 8 6 Sabendo que M 8 ! e 8 ! , temos: M A$ ! M ) + ,, 8 # 2 ! : e A$ ! ) X , , 8 2 ! 6 Então, não é contínua em [ . -2 -1 1 2 -1 -0.5 0.5 1 Figura 9.2: Gráfico de A$ ! I 8 I 8 . [3] A$ ! "! > ( > 338 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Solução : Se [ , então, "! > ! [ e "! > ! . Logo, "! > L > ! [ 6 Se )[ , então: L5 > ! > 5 > ! > L > ! Y L5 > 5 > ! > > ! > > ! Y > 6 Logo: "! L5 > 5 > ! "! " 8 D I 8 D ! 6 Se ! [ , então "! , > ! [ . Reescrevendo a função: A ! [ se [ se ) [ 6 Então, é contínua em . -3 3 3 Figura 9.3: Gráfico de . Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas: [1] A$ ! " se ' = se C? " se ) 6 Solução : Se ! , então ! = ! . Por outro lado: M A$ ! ! e A ! = ! : 6 9.2. CONTINUIDADE 339 Como os limites laterais devem ser iguais, temos que ! : , isto é, ! . Se ! , então ! = ! : . Por outro lado: M A$ ! = ! : e A$ ! ? " ! ? 6 e Como os limites laterais devem ser iguais, temos que ? ! : , isto é, ? ! . Logo: A$ ! se ' = se C se ) 6 -3 3 -1 1 Figura 9.4: Gráfico de . [2] A$ ! QSRUT V 8(8 ( W se , se ! , 2 0 2 se ) , 6 Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: O, ; ! A, A A, A 6 Por outro lado: QSRUT V 8(8 ( W ! QURST 8(8 V W W V W , fazendo Y ! -, , temos que Z , , então Y Z\[ , e: =3>@? O-,O, % ! =P>H? O A-, (+A-, ! =3>@? O Y Y ! O ) =P>H? O Y O Y 2 6 Se ! , , então , ! . Logo: M A ! M =3>@? O A -, (+A-, ! M O ) =3>@? O Y O Y 2 ! O A ! O, .5 ; ! ! O 6 342 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 9.3 Derivada [1] Considere a função A$ ! = , N = ; , onde . Sabendo que ! , E[ ! E[ ! E[ ! V W E[ ! [ e que pode ser escrita na forma A ! =3>@? T A , ? ,determine 0 e ? . Solução : Primeiramente note que E[ ! , E[ ! ; e ! ; logo, obtemos o sistema: ! [ ! ; ! [ cuja solução é ! , ! 8 e ! 8 ; então: A ! < = , $, = ; $< 6 Por outro lado, = ; ! , = , & e = , $ ! X, =P>H? A , logo: A ! < = , , = ; < ! ; = , , = , ; ! =3>@? A 6 Então ! , ! 8 , ! 8 e ? ! ; . [2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva ! ' =P>H? 8 no ponto onde a curva intersecta o eixo dos . Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos . Se ! [ , temos: ' =P>H? % , ! [ % , ! [ ! 6 Logo, o único ponto de interseção é [ . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta tangente e da reta normal à curva são, respectivamente: 8 ! ! C, 8 ! , ! ! / XC, ! , 6 Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente: ! , A %-, ! ! ,+AC , ! , 6 [3] Determine a equação da reta normal à curva ! ? A , que é paralela à reta , & , ! [ . 9.3. DERIVADA 343 Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente angular da reta , -, ! [ é 8 ! . O coeficiente angular da reta normal à curva é: ! ! 5 ? A 6 Como as retas são paralelas, temos que 8 ! , isto é: 5 ? A ! ? A ! , ! > logo, temos que ! > ? > ! , > . A equação da reta normal à curva que passa pelo ponto > , > é: C, > ! % > ! > 6 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 Figura 9.8: A reta ! > . [4] Determine os parâmetros , e * tais que a parábola ! tangencie a reta ! no ponto de abscissa e passe pelo ponto : [ . Solução : Como o ponto : [ deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos que: ! [ 6 Como a parábola deve tangenciar a reta ! no ponto de abscissa , temos que se ! , então ! . Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que: , ! 6 O coeficiente angular da reta é 8 ! e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é ! ! , , logo ! , . Como 8 ! : , ! 6 Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema: ! [ ! , ! 344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS cuja solução é: ! ! 8 e ! 8 . 1 1 2 Figura 9.9: Exemplo [4]. [5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação ! + * , sendo O . Um caçador, munido de um rifle está localizado no ponto , [ . A partir de que ponto da colina, a fauna estará @[O[ segura? Solução : Denotemos por % ! A o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo caçador, situado no ponto , [ . A fauna estará a salvo, além do ponto % onde a reta que liga , [ à colina seja tangente à mesma. 2 Figura 9.10: Vista bidimensional do problema. Observe que ! , # é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo, no ponto % , temos ! , # e a equação da reta tangente é: ! , OA 6 Como a reta passa por , [ , temos: ! , #O , 6 O ponto % também pertence à parábola; então: , ! X 6 9.3. DERIVADA 347 1 4 6 2 4 6 Figura 9.13: Exemplo [8]. [9] Esboce o gráfico da curva ! A . Solução : Primeiramente observamos que se mudamos por , a equação da curva não muda; logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos . Por outro lado, ! A$ ! " , logo ! . Se ! , então ! [ e se ! [ , então ! [ ou ! . A curva intersecta os eixos coordenados nos pontos E[ [ e [ . Determinemos os pontos críticos, derivando ! A e igualando a zero: ! +A , , " ! [ ! , 6 Note que não existe e é contínua em ! ; como ! , no ponto ! a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinal de ao redor do ponto ! , : )[ )' , [ ' , logo, ! , é ponto de mínimo local e ! , . Pela simetria em relação ao eixo dos , se consideramos ! + " , o ponto , , é de máximo. A curva não possui pontos de inflexão ou assíntotas. -3 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 Figura 9.14: Exemplo [9]. [10] Dada uma circunferência de raio ' , determine o comprimento de uma corda tal que a soma desse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima? 348 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Solução : yy rx Figura 9.15: Exemplo [9]. Com as notações do desenho, ! ' ; então ! ' . O comprimento da corda é ! , ; logo ! , ' . Logo, a função que devemos maximizar é: A ! , ' . Derivando e igualando a zero: A ! + , ' ! [ , ! / ' ! ' ! ' 6 Derivando novamente: A ! , ' ' ' ! ; ' [ 6 Logo, é ponto de máximo e ! ' . [11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num cone circular reto. Solução : B E C D A x y Figura 9.16: Seção bidimensional do problema. Com as notações do desenho, sejam ' e o raio e a altura do cone, respectivamente; e o raio a altura do cilindro. Por outro lado, o é semelhante ao ; temos: ! ! '' ! ' ' 6 9.3. DERIVADA 349 O volume do cilindro é ! ; logo, de temos que a função a maximizar é: A$ ! ' ' 6 Derivando e igualando a zero: A$ ! ' , ' ! [ ! [ ou ! , ' 6 como ! [ , o único ponto crítico é ! . Estudemos o sinal de , ' : , ' ) [ [ C , ' , ' [ ) , ' 6 Então ! é ponto de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo inscrito num cone tem raio da base igual a , do raio da base do cone e altura igual a da altura do cone. [12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio' . Solução : B CD A n 2r y x h Figura 9.17: O triângulo é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que ! , ' , ? . Sabe- mos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre a hipotenusa; logo: ! , ' ? ? ! , ' e ! , ' -, ? ! , ' ' 6 Então, o perímetro % , é: % A ! , C, ' ' C, ' % A ! ; ' C, ' 6 Derivando e igualando a zero: % A$ ! , ' C, ! [ ! ' 6 352 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Solução : Fazendo ! =3>@? Y , ! = Y Y ; se ! [ , então Y ! [ e se ! , então Y ! . Por outro lado, X T ! X =P>H? Y T = Y Y ! = T 8 Y Y , então: T ! 8 X T ! = T 8 Y Y integrando por partes: T ! = T Y =P>H? Y C, ? = T 8 Y =3>@? Y Y ! , ? = T 8 Y Y -, ? = T Y Y ! , ? = T 8 Y Y -, ? T isto é T ! , ?, ? T 8 , como ! = Y Y ! , logo: 8 ! , ! , ! , ! ; 8 ! , ; ! ! , ; ! < ! , ; < ... T ! *, ; 6@6@6 , ? -, *, ? 6@6@6 - , ? C - , ? 6 Multipliquemos por , ; 6@6@6 - , ? , , ? , ; 6@6@6 - , ? , , ? , então: T ! , , , , , ; 6@6@6 ,+ ? , ? , ; 6@6@6 - , ? -, , ? , ? ! , T , ; 6@6@6 ? ? , ? # ! , T ? , ? 6 [7] Determine a área da região limitada pelas curvas ! , e ! , onde . Solução : Se mudamos por + , as equações não mudam, logo as curvas são simétricas em relação ao eixo dos . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se 9.4. INTEGRAÇÃO 353 ! [ , então ! [ e ! [ ; se ! [ , então ! [ ; logo os pontos E[ [ e E[ são os pontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo ! e ! 2 , determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema: ! ! 2 donde, C, ! [ ; fazendo ( ! temos ( ( C, ! [ e ! . Note que ! [ é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e para a outra curva é um ponto de máximo. Figura 9.18: Região do exemplo [7]. Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por 2: ! , . . , ! ) , 2 ( 6 6 [8] Determine a área da região limitada pela curva ! [ e pelos eixos coordenados. Solução : Se mudamos por X e por , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos e dos . Determinemos os pontos de interseção da curva com os eixos coordenados. Se ! [ , então ! [ e se ! [ , então A ! [ ; logo os pontos E[ [ , : [ e [ são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos ! X ; logo : . Não é difícil ver que em ! [ a curva possui um ponto de mínimo local e que ! são pontos de máximo local. -1 1 0.4 Figura 9.19: Região do exemplo [8]. 354 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por , . ! , 8 / X 6 Fazendo ! =3>@? Y , então ! = Y Y e X ! =3>@? Y = Y Y ; então: ! , =3>@? Y = Y Y ! , , =P>H? Y = Y Y ! , =3>@? , Y Y ! ; (X = ; Y Y ! < ( 6 6 [9] Determine a área da região limitada pelas curvas < ! [ , ; ! [ , C ! [ e o eixo dos . Solução : Determinemos as interseções das curvas: ! < ; ! , ! < ! ; ! ! De obtemos ! , logo ! ; de , obtemos ! @[ , logo ! e de obtemos ! , logo ! , . 1 2 3 4 5 6 4 5 9 10 Figura 9.20: Região do exemplo [9]. Logo: ! , / ; 8 / 8 # / ! , [ ( 6 6 [10] Determine o volume da calota esférica de altura se a esfera tem raio . 9.4. INTEGRAÇÃO 357 [13] Calcule a área da região determinada por ! 2 e sua assíntota, ! [ . Solução : Se mudamos por , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos . Note que a curva intersecta os eixos na origem. Figura 9.25: Região do exemplo [13]. A equação da assíntota é ! , ; então consideramos ! - 2 e: ! , , , ! , ( M , , 6 Fazendo ! , =P>H? Y , temos que ! ; =3>@? Y = Y Y . Por outro lado: , , ! , ! < =3>@? Y Y 6 Temos, ! [ Y ! [ e ! =3>@? Y ! ; se Z\, Y ! . Então: , , , ! , ) =P>H? ; Y & < =P>H? , Y H, Y 2 ! , ) =P>H? ; / < =P>H? , #H, 2 6 Logo: ! ( , ) =P>H? ; / < =P>H? , #H, 2 ! ( 6 . [14] Calcule a área da região limitada pela curva ! &A , ' e o eixo dos . Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada: 358 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Figura 9.26: Região do exemplo [14]. Logo: ! "! 8 ./A # ! "! 8 /A ! "! 8 ! "! )7 ? 5 ? / ? , 2 ! "! ) ? X ? , 2 ! "! ) ? ( ? , 2! X ? , ( 6 6