Aula22-Construções Geométricas, Notas de aula de Matemática

Baixe Aula22-Construções Geométricas e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! Aula 22 – Traçados da Hipérbole e da Parábola MÓDULO 2 - AULA 22 Aula 22 – Traçados da Hipérbole e da Parábola Objetivos • Construir a Hipérbole de forma aproximada. • Construir a Parábola de forma aproximada. • Discutir problemas de tangência a uma Hipérbole e a uma Parábola. Hipérbole Definição: Hipérbole é uma curva plana aberta de ramos infinitos, na qual é igual a uma constante 2a o valor absoluto da diferença entre as distâncias de cada um de seus pontos a dois pontos fixos F e F ′, denominados focos, situados em seu plano. Assim, como os pontos F e F ′ são os focos da hipérbole, a distância entre eles é a distância focal e que mede 2c. A hipérbole possui dois eixos. Um transverso ou real que é o segmento AB e outro não transverso ou imaginário e que é o trecho CD. Estes dois eixos se cortam no centro O da curva perpendicularmente. Os pontos A e B são chamados de vértices da hipérbole. O eixo real tem comprimento igual a 2a, o eixo imaginário tem comprimento 2b tal que c2 = a2 + b2. C D x x x x x x x x 2a x F F´A BO Figura 210 125 CEDERJ Aula 22 – Traçados da Hipérbole e da Parábola Para toda hipérbole existem duas retas concorrentes no centro da curva que tendem a tangencias os ramos da hipérbole quando estas seguem para o infinito. Tais retas são chamadas de retas asśıntotas. A reta perpendicular ao eixo real no vértice intercepta as asśıntotas em pontos que distam entre si um comprimento igual ao do eixo imaginário. Figura 211 Quando a = b os quatro pontos determinados pelas asśıntotas e as per- pendiculares pelos vértices formam um quadrado. Neste caso, as asśıntotas por serem suportes das diagonais serão perpendiculares. A hipérbole para esta situação é chamada de Hipérbole Eqüilátera. Assim como acontece na elipse, a construção exata da hipérbole não é posśıvel utilizando régua e compasso. Por isso, as construções são feitas por aproximação utilizando concordância entre arcos ou a mão livre quando obtidos muitos pontos isolados da curva. Problema 1: Construir uma hipérbole dadas a medida do eixo real e a distância focal. Sejam AB = 2a, que é a medida do eixo real, e 2c a distância focal. Resolução: 1.1 Trace o ponto médio O segmento AB e marque sobre tal segmento os pontos F e F ′ tais que OF = OF ′ = c. 1.2 Para se determinar um ponto M qualquer da curva, toma-se um ponto qualquer E da reta determinada pelos pontos F e F ′ exterior ao seg- mento FF ′. CEDERJ 126 Aula 22 – Traçados da Hipérbole e da Parábola MÓDULO 2 - AULA 22 3. Sendo dados um foco F , um vértice B correspondente ao segundo foco, o comprimento do eixo imaginário , encontre o centro, o vértice e o foco que faltam a hipérbole. Figura 216 Parábola Definição: A parábola é uma curva plana aberta infinita e de um só ramo, da qual cada um de seus pontos eqüidista de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa denominada diretriz, situados em seu plano. A reta fixa que define a parábola é chamada de Diretriz. O eixo focal é a reta que é perpendicular à diretriz, o ponto médio entre o foco e a interseção da diretriz e o eixo focal é chamado de vértice da parábola. Qualquer semi-reta de origem no foco e que passa por um ponto da curva se chama raio vetor. Qualquer segmento retiĺıneo cujos extremos se acham em dois pontos da curva, se chama corda. Qualquer semi-reta de origem em um ponto da parábola e paralela ao eixo da curva, é um diâmetro parabólico, ou um diâmetro de parábola. Figura 217 129 CEDERJ Aula 22 – Traçados da Hipérbole e da Parábola Problema 1: Traçar a parábola dada a diretriz e o foco. Resolução: Sejam r a reta diretriz e F o foco. 1.1 Por F , trace a perpendicular a r. Esta perpendicular é o eixo focal. 1.2 Indique por P o ponto de interseção entre a eixo focal e a diretriz. Encontre o ponto médio V entre P e F . O ponto V é o vértice da parábola. 1.3 Para se encontrar diversos pontos da parábola trace uma reta paralela ao eixo focal a qualquer distância. 1.4 Nesta paralela marque um ponto P1 no mesmo semi-plano do foco que esteja a uma distância da diretriz maior que a distância do vértice a diretriz. 1.5 Sobre o eixo focal marque um ponto Q1 a distância da diretriz igual a distância de P1 da mesma. 1.6 Fixe uma medida no compasso e marque sobre a reta que passa por P1 os pontos P2, P3, P4, P5... . 1.7 Com a mesma abertura no compasso marque sobre a reta que passa por Q1 os pontos Q2, Q3, Q4, Q5... . 1.8 Ligue os pontos P1 e Q1, P2 e Q2, P3 e Q3, P4 e Q4, P5 e Q5... . Formando diversas retas paralelas à diretriz. 1.9 Com raio PQ1 e centro em F construa um arco interceptando a reta determinada pelos pontos P1 e Q1, nos pontos A1 e B1 que pertencem à parábola. 1.10 Com raio PQ2 e centro em F construa um arco interceptando a reta determinada pelos pontos P2 e Q2, nos pontos A2 e B2 que pertencem à parábola. 1.11 Seguindo o mesmo processo podemos obter diversos pontos da parábola. 1.12 Basta então ligá-los. CEDERJ 130 Aula 22 – Traçados da Hipérbole e da Parábola MÓDULO 2 - AULA 22 Figura 218 Exerćıcios 4. Construa a parábola conhecendo-se um ponto da curva, o eixo focal e a reta diretriz. Figura 219 5. Encontre o foco e o vértice da parábola sabendo que o pontoM pertence a curva, a reta r é suporte do raio vetor do ponto M e s é a reta diretriz da parábola. s r Figura 220 131 CEDERJ Aula 22 – Traçados da Hipérbole e da Parábola 8. Traçar a tangente à parábola paralela a uma reta r dada. Figura 226 9. Encontre a reta diretriz e o eixo focal da parábola da qual se conhecem um ponto, a reta normal no ponto e o foco. Figura 227 10. Encontre a reta diretriz da parábola conhecendo o foco e dois de seus pontos. Sugestão: Lembre que pela definição da parábola a diretriz deve estar a uma distância de cada ponto igual a distância dos mesmos ao foco. Por isso, a diretriz será tangente comum as circunferências de centros nos pontos da curva e que passam pelo foco. Figura 228 CEDERJ 134 Aula 22 – Traçados da Hipérbole e da Parábola MÓDULO 2 - AULA 22 Resumo Nesta aula, você aprendeu... • a construir a hipérbole. • a solucionar problemas de tangência à hipérbole. • a construir a parábola. • a solucionar problemas de tangência à parábola. 135 CEDERJ