Baixe Aula11- Construções Geométricas e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! Construções de Triângulos III MÓDULO 1 - AULA 11 Aula 11 – Construções de Triângulos III Objetivos Aplicar conceitos de Geometria Básica para construções de triângulos; Construir triângulos isósceles sob diversas condições; Construir triângulos retângulos sob diversas condições. Problema 1: Construir um triângulo equilátero , conhecendo-se a sua altura. Seja h a altura dada. Resolução: 1.1 Trace um segmento MB perpendicular à uma reta r, qualquer, de medida igual à altura h, sendo M ∈ r; 1.2 Em um ponto D ∈ r construa um ângulo de 60o; 1.3 Pelo ponto B trace uma reta paralela ao lado deste ângulo, intercep- tando r em um ponto A; 1.4 Com centro em B e raio BA descreva um arco interceptando r em outro ponto C; 1.5 O triângulo ABC é a solução do problema. altura r A C M B Figura 190 Justificativa: Observe que, por paralelismo, BÂM = 60o, e conseqüente- mente AB̂M = 30o. Assim AM é a metade de AB, pois sen30o = 1 2 . Por 145 CEDERJ Construções de Triângulos III construção, BC = BA. Como ABM e CBM são triângulos retângulos de ca- teto comum e hipotenusas iguais temos que tais triângulos devem ser iguais. Logo, MC = MA, e assim, CA = AB = BC. Problema 2: Construir um triângulo isósceles conhecendo-se a base e a altura relativa a essa base. Sejam b a base e h a altura. Resolução: 2.1 Trace sobre uma reta r um segmento AB igual à base; 2.2 Trace a mediatriz do segmento AB, interceptando AB no ponto médio; 2.3 Sobre a mediatriz construa um segmento MC igual a altura dada. O triângulo ABC é a solução para o problema. C A M B h b Figura 191 Justificativa: Lembre que a altura, relativa à base de um triângulo isósceles, coincide com a mediana e a bissetriz. Exerćıcios: 1. Construir um triângulo isósceles conhecendo-se a base e um ângulo a ela adjacente. Base Figura 192 CEDERJ 146 Construções de Triângulos III MÓDULO 1 - AULA 11 Problema 4: Construir um triângulo retângulo sendo dados a hipotenusa e a soma dos catetos. Supondo o problema resolvido, seja ABC o triângulo retângulo obtido com ângulo reto em A. Efetuemos a seguintes construções. • Rebatendo o cateto AB sobre a reta suporte do cateto AC, para o lado externo do triângulo, obtemos um ponto D, de tal forma que DAB é um triângulo retângulo isósceles, e DC é a soma dos catetos; • Observe que o ângulo da base do triângulo isósceles DAB mede 45o, e que o vértice A é eqüidistante dos pontos B e D. 45 o A C B D Figura 198 Isso justifica a seguinte resolução deste problema. 4.1 Sobre uma reta r constrói-se um segmento DC igual a soma dos catetos e na extremidade D constrói-se um ângulo de 45o; 4.2 Constrói-se um arco de circunferência com centro em C e utilizando a hipotenusa como raio, interceptando o lado do ângulo de 45o nos pontos B1 e B2. Façamos somente a construção utilizando o ponto B1; 4.3 Traça-se a mediatriz do segmento DB1, obtendo o ponto A sobre r. O triângulo AB1C é a solução do problema. Hipotenusa Soma dos catetos AD C B1 B2 r Figura 199 149 CEDERJ Construções de Triângulos III Exerćıcios: 6. Construir um triângulo retângulo sendo dados a hipotenusa e a dife- rença entre os catetos. Diferença Hipotenusa Figura 200 Sugestão: Siga a idéia do problema 4 rebatendo o cateto no sentido contrário. 7. Construir um triângulo retângulo, conhecendo um cateto e a soma da hipotenusa e outro cateto. Soma do cateto 1 com a hipotenusa Cateto 2 Figura 201 Sugestão: Supor o problema resolvido e rebater a hipotenusa sobre o cateto desconhecido, obtendo assim um triângulo retângulo cujos catetos são o cateto dado e a soma dada. Em seguida traçar a mediatriz da hipotenusa desse triângulo auxiliar. 8. Construir um triângulo retângulo conhecendo a mediana relativa à hi- potenusa e um cateto. Cateto Mediana Figura 202 Sugestão: A mediana relativa à hipotenusa é igual a metade dela. CEDERJ 150 Construções de Triângulos III MÓDULO 1 - AULA 11 9. Construir um triângulo retângulo conhecendo a mediana relativa à hi- potenusa e um ângulo agudo (ver Figura 203). Mediana Figura 203 Problema 5: Construir um triângulo retângulo conhecendo os raios das cir- cunferências inscrita e circunscrita a este triângulo. Suponhamos o problema resolvido e seja ABC o triângulo retângulo, com ângulo reto em A, solução do problema. Construindo a circunferência circunscrita notamos que a hipotenusa do triângulo é um diâmetro, logo a medida da hipotenusa é o dobro do raio da circunferência circunscrita. r R Figura 204 Construindo a circunferência inscrita temos: • Indiquemos por E, F e G os pontos de tangência dos catetos, AB e AC, e da hipotenusa, BC, respectivamente, C o centro da circunferência inscrita, r o raio da circunferência inscrita e R o raio da circunferência circunscrita; • Observe que o quadrilátero AFCE é um quadrado, pois EC = CF , AE = AF e os quatro ângulos internos são retos. Assim, AE = AF = r; • Como BE e BG são tangentes a mesma circunferência nos pontos E e G, então BE = BG. Da mesma forma CG = CF . Por outro lado 151 CEDERJ