Aula06-Construções Geométricas, Notas de aula de Matemática

Baixe Aula06-Construções Geométricas e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! Arco capaz e construções básicas de circunferência. MÓDULO 1 - AULA 6 Aula 6 – Arco capaz e construções básicas de circunferência. Objetivos Efetuar as construções básicas de circunferências; Construir o arco capaz de um ângulo dado sobre um segmento dado. Circunferências e Ćırculos Definição 1: Denominamos circunferência o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância r, chamada raio, de um ponto fixo C, chamado centro. Chama-se ćırculo a porção de plano limitada por uma circunferência. Você vê ćırculos mais comumente, talvez, do que outras figuras geométricas. Não acredita?... Repare nos ćırculos nas faces das moedas, no prato onde come e no copo em que bebe. Até no céu você vê ćırculos no sol e na lua cheia. Em relação à circunferência existem alguns elementos e propriedades que no decorrer das aulas estaremos sempre recordando. • corda de ćırculo é o segmento que une dois pontos da circunferência desse ćırculo. • diâmetro de um ćırculo é qualquer corda que passe pelo centro. • a distância do centro a qualquer ponto da circunferência chama-se raio. • o diâmetro é o dobro do raio. Figura 90 75 CEDERJ Arco capaz e construções básicas de circunferência. • o comprimento de uma circunferência é calculado, multiplicando-se seu diâmetro pelo valor de π (Veja Geometria Básica). • a área de um ćırculo é calculada multiplicando-se o quadrado de seu raio pelo valor de π (Veja Geometria Básica). Ângulo Inscrito e Ângulo Central Definição 2: Seja um arco ÂB de uma circunferência de centro O. Um ângulo • cujo vértice seja um ponto C da circunferência; • que não pertence a ÂB; • cujos lados passem pelos extremos de ÂB, é denominado ângulo inscrito que compreende o arco ÂB. As semi-retas de origem O que passam respectivamente pelos pontos A e B formam um ângulo chamado ângulo central que compreende ÂB. Figura 91 Já foi visto em Geometria Básica que todo ângulo central tem a mesma medida do arco por ele compreendido, e que todo ângulo inscrito tem por medida a metade do arco por ele compreendido, e conseqüentemente, todos os ângulos inscritos em um mesmo arco são iguais à metade do ângulo central. Além disso, ângulos inscritos em cada um dos arcos determinados por uma corda são suplementares. CEDERJ 76 Arco capaz e construções básicas de circunferência. MÓDULO 1 - AULA 6 Figura 95 Exerćıcio: 1. Construa um triângulo isósceles que tenha a base igual a ` e que tenha o ângulo oposto à base igual AB̂C. Figura 96 Construções Básicas em Circunferências. Problema 1: Determinar o centro de uma circunferência. Resolução: 1.1 Traça-se uma corda AC, qualquer, na circunferência; 1.2 Traça-se a mediatriz do segmento AC. A mediatriz deve interceptar a circunferência nos pontos E e F ; 1.3 Encontramos o ponto médio O de EF utilizando a mediatriz. O ponto O é o centro da circunferência (Figura 97). Justificativa: Como EF é perpendicular à corda AC e passa pelo seu ponto médio, então EF é um diâmetro da circunferência. Portanto, o ponto médio de EF é o centro da circunferência. Para maiores detalhes veja aula sobre circunferências, da disciplina Geometria Básica. 79 CEDERJ Arco capaz e construções básicas de circunferência. Figura 97 Problema 2: Construir uma circunferência de raio r que passa por dois pontos A e B. 2.1 Traça-se a mediatriz do segmento AB; 2.2 Com raio r descreve-se uma circunferência de centro em A; 2.3 Tal circunferência interceptará a mediatriz nos pontos C e D. Observe que este problema possui duas soluções (Figura 98). Figura 98 Justificativa: Sabemos que os pontos da mediatriz são eqüidistantes das extremidades A e B. Logo C e D são eqüidistantes dos pontos A e B, e como estão a uma distância r do ponto A, então são centros de circunferências de raio r que contêm os pontos A e B. CEDERJ 80 Arco capaz e construções básicas de circunferência. MÓDULO 1 - AULA 6 Problema 3: Construir uma circunferência que passe por três pontos A, B e C não-alinhados. 3.1 Traça-se as mediatrizes dos segmentos AB e BC; 3.2 As mediatrizes se encontrarão em um ponto D, que é o centro da cir- cunferência procurada. Figura 99 Justificativa: Como o ponto D é a interseção das mediatrizes dos seg- mentos AB e BC, então ele é eqüidistante dos pontos A, B e C. Logo é o centro da circunferência que passa por esses pontos. Exerćıcios: 2. Construa o lugar geométrico dos pontos do plano que são centros das circunferências de raioR e que determinam com a reta r cordas iguais a c. Figura 100 81 CEDERJ Arco capaz e construções básicas de circunferência. l C O M D A Figura 104 Problema 6: Dadas duas circunferências de raios R e R′ e centros O e O′, respectivamente, traçar suas tangentes comuns. Primeiro caso: Tangentes exteriores Se R = R′, então basta traçar as perpendiculares em relação ao seg- mento OO′ em suas extremidades e unir os pontos de interseção com as cir- cunferências. As retas obtidas devem ser paralelas a OO′ e perpendiculares aos raios OA e O′B. Portanto, são tangentes às circunferências. A B O O´R R´ Figura 105 Se R < R′, constrúımos as tangentes comuns exteriores através dos seguintes passos: (i) Constrúımos os raios OA e O′B, respectivamente, sobre as circun- ferências de centro O e O′; (ii) Transportamos o raio OA e o colocamos sobre o raio O′B, a seguir, tomando como origem o ponto B, e rebatendo para o interior da cir- cunferência de centro O′ e obtemos um ponto C; (iii) De centro em O′ e raio O′C, constrúımos uma outra circunferência; (iv) Traçamos as tangentes a essa nova circunferência que passam pelo ponto O, obtendo os pontos de tangências E e F ; CEDERJ 84 Arco capaz e construções básicas de circunferência. MÓDULO 1 - AULA 6 (v) Unimos o ponto O′ aos pontos E e F , interceptando a circunferência maior nos pontos G e H; (vi) Com centros em G e H, constrúımos dois arcos de circunferências de raio iguais a OE, interceptando a circunferência de centro O nos pontos I e J . Os pontos G e I formam uma tangente comum e os pontos H e J formam outra tangente comum. Figura 106 Justificativa: Observe que o quadrilátero OEGI é um retângulo, pois OE e GI são iguais e perpendiculares às retas suportes dos raios O ′E e O′G. Dessa forma OI = EG e assim O′E = R′ −R. Segundo caso: Tangentes interiores Se R < R′, constrúımos as tangentes comuns interiores através dos seguintes passos: (i) Constrúımos os raios OA e O′B, respectivamente, nas circunferências de centro O e O′; (ii) Transportamos o raio OA e o colocamos sobre o prolongamento do raio O′B, em seguida, tomando como origem o ponto B, rebatendo para o exterior da circunferência de centro O′ e obtemos um ponto C; (iii) De centro em O′ e raio O′C, constrúımos uma circunferência; 85 CEDERJ Arco capaz e construções básicas de circunferência. (iv) Traçamos as tangentes a essa nova circunferência que passam pelo ponto O, obtendo os pontos de tangências E e F ; (v) Unimos o ponto O′ aos pontos E e F , interceptando a circunferência interna nos pontos G e H; (vi) Com centros em G e H, constrúımos dois arcos de circunferências de raio iguais a OE, interceptando a circunferência de centro O nos pontos I e J , de maneira que GI e HJ estejam entre as circunferências de centros O e O′. Figura 107 Justificativa: A justificativa é análoga à do problema anterior. Exerćıcios: 5. Construa duas circunferências de raios iguais a R que não se intercep- tem e, em seguida, construa as retas tangentes comuns interiores. Figura 108 Tangência de retas podem ser aplicadas em situações diversas. Vejamos um exemplo. Exemplo 9 Dados dois pontos A e B não pertencentes a uma reta r, obtenha o ponto C sobre r de tal forma que o segmento AC forme com r o dobro do ângulo formado por CB e r. CEDERJ 86