Teorema do valor médio, Notas de estudo de Química Industrial

Baixe Teorema do valor médio e outras Notas de estudo em PDF para Química Industrial, somente na Docsity! O Teorema do Valor Médio Prof. Ms. Damião Junio G. Araújo 18 de abril de 2008 Resumo Estas notas de aula versam sobre o Teorema do Valor Médio de Lagrange e suas aplicações, as quais serão apresentadas, por minha pessoa, perante banca exami- nadora, na avaliação didática do processo seletivo simplificado para a contratação de professor substituto 2008 do Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará na Unidade Descentralizada de Ensino de Juazeiro do Norte. Sumário 1 Introdução 1 1.1 O Problema dos Corredores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 A Demonstração do Teorema do Valor Médio 3 2.1 O Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 O Teorema da Média para Integrais 5 3.1 A Média para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Problemas Propostos 6 Referências Bibliográficas 6 1 Introdução O grande Matemático Ítalo-Francês Joseph-Louis Lagrange1 provou no século 18 um conhecido teorema Matemático, conhecido hoje como O Teorema do Valor Médio de Lagrange. 1Joseph-Louis Lagrange ∗1736 - †1813 1 No intuito de motivarmos a importância e a aplicabilidade do Teorema do Valor Médio apresentemos inicialmente um problema bastante interessante: Problema 1. Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. Prove que em algum instante durante a corrida eles têm a mesma velocidade. 1.1 O Problema dos Corredores Veremos a seguir que o problema acima pode ser completamente elucidado como aplicação do Teorema do Valor Médio, o qual possui como enunciado preciso o seguinte: Teorema 1 (Teorema do Valor Médio). Seja f : [a, b] → R uma função satisfazendo as seguintes condições: i). f é continua no intervalo fechado [a, b]; ii). f é derivável no intervalo aberto (a, b). Então existe um número c em (a, b) tal que f ′(c) = f(b) − f(a) b − a . Vejamos então como usar o Teorema do Valor Médio para elucidar o Problema 1. Solução do Problema 1. Consideremos inicialmente que tais corredores gastaram um tem- po T para terminar a corrida, dáı sejam S1 e S2, definidas no interavalo [0, T ] (Veja na Figura 1), as respectivas funções deslocamento os atletas 1 e 2. S 1 S2 0 T t s(t) s(T) Figura 1: Gráfico das funções deslocamento dos corredores. É bastante razoável, do ponto de vista f́ısico, que tais funções serão deriváveis sa- tisfazendo S1(0) = S2(0) (pois os corredores partem da mesma posição inicial) e S1(T) = 2 segue que, f ′(c) = f(b) − f(a) b − a . O que prova o Teorema do Valor Médio. 3 O Teorema da Média para Integrais 3.1 A Média para Integrais Uma aplicação bem interessante do Teorema do Valor Médio é o Teorema da Média para integrais, enunciado da seguinte forma: Teorema 3 (Média para Integrais). Seja f : [a, b] → R uma função cont́ınua. Então existe c ∈ (a, b) tal que ∫b a f(x)dx = f(c) · (b − a). A interpretação geométrica para tal fato é que, supondo que a função f é positiva, existe um retângulo de altura f(c) que possui a mesma área compreendida entre o gráfico de f e o eixo OX, com x variando de a até b. Veja Figura 4. f(c) a b f(a) f(b) c x y Figura 4: Interpretação da Média para integrais. Teorema da Média para Integrais. Seja φ : [a, b] → R uma primitiva para f, pelo Teo- rema Fundamental do Cálculo, temos que φ(b) − φ(a) = ∫b a f(x)dx. (1) Pelo Teorema do Valor Médio, existe c ∈ (a, b) tal que φ(b) − φ(a) = φ ′(c) · (b − a). (2) 5 Como φ é uma primitiva para f, isto é, φ ′(x) = f(x), segue de 1 e 2 que vale a igualdade ∫b a f(x)dx = f(c) · (b − a). Como queŕıamos demonstrar. 4 Problemas Propostos 1. Verifique em cada ı́tem que a função satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teo- rema do Valor Médio. (a) f(x) = 3x2 + 2x + 5, [−1, 1] (b) f(x) = x3 + x − 1, [0, 2] (c) f(x) = e−2x, [0, 3] (d) f(x) = x x + 2 , [1, 4] 2. Seja f(x) = |x − 1|. Mostre que não existe valor c tal que f(3) − f(0) = f ′(c) · (3 − 0). 3. Mostre que a equação x3 −15x+c = 0 tem no máximo duas ráızes reais. 4. (a) Mostre que um polinômio de grau 3 tem no máximo três ráızes reais. (b) Mostre que um polinômio de grau n tem no máximo n ráızes reais. 5. Suponha que f seja uma função ı́mpar e diferenciável em toda a parte. Prove que para todo número positivo b ex- iste um número c ∈ (−b, b) tal que f ′(c) = f(b)/b. 6. Use o Teorema do Valor Médio para provar a desigualdade |sen a − sen b| 6 |a − b| para todo a e b. 7. Se f ′(x) = c(c uma constante) para todo x, então mostre que f(x) = cx+d para alguma constante d. 8. Às 2 horas da tarde o veloćımetro de um carro mostrava 30 mi/h, e às 2h 10 mostrava 50 mi/h. Mostre que em algum instante entre 2h e 2h10 a acel- eração é exatamente 120 mi/h2. 9. Um número a é chamado número fixo de uma função f se f(a) = a. Prove que se f ′(x) 6= 1 para todo número real x, então f tem no máximo um ponto fixo. Referências [1] GUIDORIZZI, H. Um Curso de Cálculo, Volume 1. 5a Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2002. [2] LANG, S. A First Course in Calculus. 5a Edição. New York: Springer Verlag, 1993. [3] STEWART, J. Cálculo, Volume 1. 5a Edição. São Paulo: Thomson Learning, 2006. 6