Baixe Matematica financeira regular 5 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! AULA 05 —- JUROS COMPOSTOS Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Sem mais demora, iniciemos a resolução das questões pendentes do nosso último... «Dever de Casa 30. (TIN-92) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de $3.000,00 com 45 dias de prazo, e outra de $8.400,00 , pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a. e usando a data zero, o valor nominal dessa dívida será: a) $ 11.287,00 a) $ 11.300,00 b) $ 8.232,00 e) $ 8.445,00 c) $ 9.332,00 Sol.: Este enunciado apresenta um verbo muito frequente em questões de Equivalência de Capitais: substituir! Também poderia ser: modificar, alterar, renegociar, refinanciar! São verbos que denotam uma mesma situação: a troca de uma forma de pagamento previamente estabelecida por outra forma alternativa de pagamento! Assim, não resta dúvida: estamos diante da Equivalência de Capitais! Sabendo disso, percorreremos os passos de uma receita que aprendemos na aula passada, e que serve para resolver todas as questões de Equivalência. Os seguintes: > Começaremos desenhando a questão; > Definiremos quais são as parcelas da primeira e da segunda obrigação; > Colocaremos taxa e tempos na mesma unidade; > Reconheceremos qual o regime e qual a modalidade das operações de desconto que será adotado; e > Localizaremos a data focal. O resultado desses passos iniciais é o seguinte: 8400 3000 0 tm 1,5m 2m DF Vejam que passamos a adotar os tempos em meses. Assim, obviamente, adotaremos uma taxa mensal. Aplicando o conceito de taxas proporcionais, teremos que 12% ao ano é o mesmo que 1% ao mês. (12%a.a. - 12 = 1%a.m.). As parcelas da primeira forma de pagamente (primeira obrigação) estão no desenho em cor vermelha; a segunda obrigação, formada por uma única parcela, está em azul. Percebam ainda que a Data Focal que adotamos foi exatamente aquela indicada pelo enunciado! A questão disse apenas: ... e usando a data zero...! Ora, que data é essa? A data focal. Está implícito! Ok? De resto, é perceber que adotaremos o Desconto Simples Comercial (por Fora) nesta resolução! Alguém me diz por que trabalharemos com o regime simples? Isso mesmo: porque o enunciado não especificou nada sobre o regime, se simples ou se composto! Já a modalidade de desconto comercial foi anunciada expressamente! Ok! Já estamos prontos para prosseguir na resolução, e projetar para a data focal todas as parcelas do desenho! Teremos: 3000 E 100-i.n 100 0 1,5m DF E 3 Daí: > E 30 5 E=2.955, 100-1x1,5 Lag Passemos agora a trabalhar com a parcela de R$8.400,00, projetando-a para a data focal. E de que jeito faremos isso? Por meio de uma operação de desconto simples por fora, pois assim ficou definido pelo enunciado. Teremos: 8400 100-i.n 100 2m So—>m E — 8400 > F=8.232, 100-1x2 19% Finalmente, projetando a parcela X para a data focal, novamente por meio de uma operação de desconto simples por fora, teremos: Agora, trabalhando com a parcela X, teremos: x F 100 100-i.n 0 4m DF pars E Xs F=0,76.X 100-6x4 100 Agora, por não mais haver nenhuma parcela a ser projetada para a data focal, aplicaremos a equação de equivalência de capitais. Teremos: E(lor= E (1)or > 0,76X = 178.600, 2 X= 178.600/0,76 3 X= 235.000,00 5 Resposta! 32. (AFTN-96) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações. Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condições desejadas: pagamento em 3 prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; a segunda ao final do 30º mês; a terceira ao final do 70º mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é: a) $ 8.200,00 a) $ 11.200,00 Db) $ 9.333,33 e) $ 12.933,60 c) $ 10.752,31 Sol.: Estamos diante talvez da maior questão já elaborada para uma prova de matemática financeira de concurso! No entanto, veremos que ela só tem tamanho, mas ao final se mostrará tão fácil quanto as outras. O verbo chave aparece logo na primeira frase do enunciado: “uma firma deseja alterar...”! Olha aí! Alterar o quê? As datas e valores de um financiamento contratado. Ora, vemos que essa frase já é suficiente para denunciar o assunto da questão. Se há um financiamento já contratado, e deseja-se alterar o seu formato original, então estamos diante de uma questão de equivalência de capitais! Foi dito no enunciado que o contrato foi feito a uma taxa de juros simples! Essa informação nos serve? E muito! Com ela, sabemos que estamos trabalhando no regime simples, e também que as operações de desconto que iremos utilizar nesta resolução serão operações de desconto por dentro (desconto racional)! Agora resta desenhar a questão, e definir quem serão (e onde vão estar) os valores da primeira e da segunda obrigação. E este enunciado foi bastante claro neste aspecto, por que abriu um parágrafo somente para dizer: “Condições pactuadas inicialmente...”, e outro só para dizer: “Condições desejadas...”. Ora, não resta dúvida que o que se segue ao “condições desejadas inicialmente” será justamente a forma original de pagamento, ou seja, os valores da primeira obrigação. Já o que vem depois de “condições desejadas” não poderia ser outra coisa, senão a segunda forma de pagamento, ou seja, os valores da segunda obrigação. Dito isto, já estamos aptos a desenhar nossa questão. Teremos: x x x 11024, 11024, 0 60d 90d 10m 30m 70m (9) (1) (1) (1) (1) Dentro dos passos preliminares, temos ainda que colocar taxa e tempos na mesma unidade. A taxa fornecida é mensal (2% ao mês), logo, chamaremos 60 dias de 2 meses e 90 dias de 3 meses. Por fim, teremos que descobrir onde estará a data focal. Observemos que nada foi dito acerca da data focal. De modo que, conforme já sabemos, estaremos obrigados por convenção, a adotar a data zero como sendo nossa data de referência. O desenho final e completo da nossa questão será o seguinte: x x x 11024, 11024, 0 2m 3m 10m 30m 70m DF (1) (9) (1) (1) (1) Concluídos os passos preliminares, passemos à resolução em si. Comecemos pela primeira parcela de $11.024, que está localizada na data 2 meses. Aplicando o desconto simples por dentro, teremos que: 11024, E 100 | 100+i.n 0 2m (DF) (1) Daí, teremos que: E O, E. 40.600,00 100 104 Trabalhando agora com a segunda parcela de $11.024,00, localizada sobre a data 3 meses, teremos que: 11024, F 100 100+i.n 0 3m (DF) (9) Daí, teremos que: MOS 5 E. 40.400,00 100 106 Trabalharemos agora com o primeiro valor X, que se encontra na data 10 meses. Aplicando o desconto simples por dentro, teremos: x G Por Dentro! 100 100+i.n 0 10m (DF) (1) Assim, teremos que: CL XOs qlOX os q 100 120 120 6 Passemos à segunda parcela X, que se localiza na data 30 meses. Aplicando o desconto simples racional, teremos que: x Por Dentro! H 100 100+i.n 0 30m (DF) (1) da EX os po 100 160 8 100-i.n 0 4m DF Daí: > —S OX > G=0,84.X 100-4x4 100 Agora, por não mais haver nenhuma parcela a ser projetada para a data focal, aplicaremos a equação de equivalência de capitais. Teremos: Z(1Dopr= Z(1)or > 0,84.X = 46.000 + 88.000 3 X= 134.000/0,84 3 X= 159.523, 5 Resposta! Com isso, encerramos as resoluções pendentes e já podemos tratar acerca do próximo assunto, por sinal importantíssimo: os Juros Compostos! Muita gente pensa que o regime composto é algo difícil, complicado etc. Não é verdade! O regime composto, desculpem o trocadilho, é simples! E para torná-lo mais simples ainda, vou precisar escrever o menos possível. Por meio de cinco exemplos, não mais que isso, vocês passarão a conhecer todas as informações que precisamos para trabalhar os Juros Compostos. Ok? Vamos lá! Exemplo 1) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante um período de 3 anos. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação? Sol.: Primeiro passo: vamos identificar o assunto da questão! Ora, foram apresentados elementos próprios de uma operação de Juros. (Capital, taxa, tempo de aplicação). Concordam? Na própria pergunta do enunciado, mais dois elementos: Montante e Juros. Enfim, não resta mais dúvida: estamos diante de uma questão de Juros! Aprendemos na primeira aula deste Curso, que não poderemos começar a resolução de uma questão de matemática financeira sem que tenhamos certeza sobre o regime daquela operação! Lembrados? Pois bem! Este enunciado foi explícito, afirmando que a taxa da operação é de Juros Compostos! Então, não resta mais dúvida alguma: estamos trabalhando no regime composto. Portanto, deparamo-nos com uma questão de Juros Compostos! E se a questão é de Juros Compostos, trabalharemos com a Equação Fundamental dos Juros Compostos, que é a seguinte: 3M=C.(1+i)" Onde: 3 Méo montante: o elemento que encerra a operação de Juros; 10 35 Céo capital: o elemento que inicia a operação de Juros; >ié ataxa de juros compostos; > né o tempo de aplicação do capital, ou seja, é o tempo que vai durar aquela operação de juros. Alguém arriscaria dizer qual é a exigência desta fórmula? Isso mesmo: taxa e tempo devem estar na mesma unidade! Anotando os dados desta questão, teremos: > C=1000, >n=3anos 5i=10% aoano 5 M=? Olhando para os dados da questão, será que já estamos prontos para aplicar a Equação Fundamental dos Juros Compostos? Claro que sim, uma vez que já está cumprida a exigência universal. Teremos: 3M= 1000.(1+0,10)º Obs.: Vocês viram como foi que a taxa foi usada na fórmula acima? Era 10% e foi usada como 0,10. Por que isso? Porque no regime composto, adotaremos sempre taxas na notação unitária! Assim, se a questão que estivermos resolvendo estiver inserida no Regime Composto (questões de Juros Compostos, Desconto Composto, Equivalência Composta, Rendas Certas ou Amortização), teremos que: > Se a taxa é 10%, aparecerá na fórmula como 0,10; > Se a taxa é 15%, aparecerá na fórmula como 0,15; > Se a taxa é 20%, aparecerá na fórmula como 0,20; > Se a taxa é 7%, aparecerá na fórmula como 0,07; > Se a taxa é 2%, aparecerá na fórmula como 0,02; E assim por diante! Voltemos à nossa fórmula. Teremos: 3M= 1000.(1+0,10)º Pergunta: é possível fazer essa conta do parêntese? Sim, é possível. Mesmo sem calculadora, uma vez que o enunciado (3) é baixo. Todavia, considerando que estamos sempre à procura de economizar tempo de resolução, na hora de calcular esse parêntese, usaremos um auxílio que será fornecido pela prova! Estou falando da Tabela Financeira. Há uma imensa chance (quase 100%) de haver em sua prova uma tabela mais ou menos assim: TABELAI FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL a =(1+i)” N| 1% 2% |... 8% 9% 10% 1 /1,010000/1,020000| | |1,080000 1,090000] 1,100000 2 |1,020100/1,040400| | |1,166400 1,188100) 1,210000 3 |1,030301/1,061208] |1,259712/1,295029/1,331000 4 |1,040604/1,082432] |1,360488 1,411581] 1,464100 5 |1,051010/1,104081| | |1,469329 1,538624| 1,610510 AR Percebam que o nome de batismo desse tal parêntese é Fator de Acumulação de Capital. Um nome muito formal. Vamos fazer um trato? Vamos dar um apelido para esse parêntese? Pode ser? Pois bem! Doravante, quando eu falar no Parêntese Famoso, você saberá que estarei me referindo a (1+1)". Vamos chamá-lo de famoso porque ele voltará a aparecer nas fórmulas dos próximos diversos assuntos do regime composto. Esse parêntese, a bem dizer, é quase a alma do regime composto! Vamos ver isso, oportunamente! Por hora, o que precisamos saber é que existe uma forma bastante prática de obtermos o resultado do parêntese famoso, mediante uma rápida consulta à Tabela Financeira. Se nosso interesse é descobrir o valor de (1+0,10)º, sabemos que: 35i=10% 3n=3 Assim, correremos nossa vista na tabela pela linha do n=3, e pela coluna da i= 10% . Onde houver o encontro da linha com a coluna, estaremos diante de um valor (no miolo da tabela), que já será o resultado do parêntese famoso! Fazendo esta consulta na Tabela, teremos: TABELAI FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL a =(1+i)” NO 1% 2% |... 8% 9% 10% 1 /1,010000/1,020000| | |1,080000 1,090000] 1,100000 2 |1,020100/1,040400| | |1,166400 1,188100] 1,210000 3 |1,030301/1,061208] |1,259712/1,295029[1,331000 4 |1,040604/1,082432] |1,360488 1,411581] 1,464100 5 |1,051010/1,104081| | |1,469329 1,538624| 1,610510 Daí, teremos: 3 M=1000.(1+10%)º > M=1000x1,331 > M=1.331,00 > Resposta! Ora, aprendemos no estudo dos Juros Simples que: J= M- C. Essa equação é sempre verdadeira! Assim, já conhecedores do valor do Capital e do Montante, já saberemos imediatamente que: 3 J=1.331 - 1000 5 J=331,00 5 Resposta! Exemplo 2) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao bimestre, durante um período de 8 meses. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação? Sol.: Aqui novamente estamos diante de elementos referentes a operações de Juros. O enunciado usou expressamente a palavra composto, de sorte que o regime da operação foi revelado expressamente! Estamos diante de uma questão de Juros Compostos. E assim sendo, trabalharemos com a equação fundamental dos Juros Compostos. Teremos: 3M=C.(1+i)" A única exigência da fórmula acima é que taxa e tempo estejam na mesma unidade! Já estão? Não! Aqui, temos taxa bimestral (5% ao bimestre) e tempo em meses (8 meses). Assim, lembraremos do seguinte: No Regime Composto, quando taxa e tempo estiverem em unidades diferentes, recorreremos primeiro ao tempo! 12 Como fazer isso? Iremos correr nossa vista pela linha do n=3 e, nela, procuraremos pelo valor igual (ou mais aproximado possível) de 1,092727. Quando encontrarmos, correremos nossa vista subindo pela coluna correspondente. Pronto: a taxa que estiver lá em cima será aquela que estamos procurando! Vejamos: TABELA | FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL a=(1+)" 1% 1,010000 1,020100 Ny 2% 1,02000 1,04040 3% 1,030000 1,060900 4% 1,040000 1,081600 1,030301 1,06120: 1,092727 1,124864 1,040604 1 2 3 4 5 /1,051010 1,082432 1,125508 1,104081 1,169858 1,159274 1,216652 5% 1,050000 1,102500 1,157625 1,215506 1,276281 Todos perceberam que a nossa taxa izinho será igual a 3%? Ótimo! Mas 3% ao quê? Ora, a taxa izinho é uma taxa ao mês! Logo: i=3% ao mês! Feito isso, acabamos de cumprir a exigência universal, e já estamos prontos para aplicar a equação universal. Teremos: 3>M= 1000.(1+0,03)* Fazendo nova consulta à Tabela Financeira do parêntese famoso, teremos: TABELA | FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL a=(1+1)" 1% 1,010000 1,020100 1,030301 N 2% 1,020000 1,040400 1,061208 3% 1,030000 1,060900 1,092727 4% 1,040000 1,081600 1,124864 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1 2 3 4 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 5% 1,050000 1,102500 1,157625 1,215506 1,276281 Assim: 3>M= 1000x1,125508 5 M=1.125,08 5 Resposta! Para fechar esta resolução, faremos: 3 J=M-C 5 J=1.125,08-1000 5 J=125,08 5 Resposta! Próximo exemplo. Exemplo 4) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de 60% ao ano, com capitalização mensal, durante um período de 7 meses. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação? 15 Sol.: Qual foi a novidade deste enunciado? Foi o formato da taxa! Aqui, deparamo-nos com uma taxa em que está presente a palavra capitalização, e em que a unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização. Todos viram? A taxa é anual (60%a.a.) e a capitalização é mensal. Quando isso ocorrer, estaremos diante de uma chamada Taxa Nominal. A Taxa Nominal, portanto, é aquela em que está presente a palavra capitalização, e em que a unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização! Quando surgir uma Taxa Nominal em nosso enunciado, imediatamente saberemos que estamos trabalhando no Regime Com posto! Percebam que esta questão não usou, em nenhum momento, nem a palavra simples e nem a palavra composto. Ou seja, o regime da operação não foi expressamente revelado. Porém, encontrou-se no enunciado uma Taxa Nominal. Assim, matamos a charada: estamos numa questão do Regime Composto! Se for uma questão de Juros, serão Juros Compostos; se for uma questão de Desconto, será Desconto Composto; se for uma questão de Equivalência de Capitais, será Equivalência Composta! Não esqueça: Taxa Nominal indica, imediatamente, o regime composto! Outra informação crucial: a Taxa Nominal não serve para ser aplicada a nenhuma fórmula! Ela precisa, portanto, ser transformada em outro tipo de taxa, chamada, por sua vez, de Taxa Efetiva. A respeito desta transformação, de Taxa Nominal para Taxa Efetiva, vigoram duas regras: 1º) A Taxa Nominal será transformada em Taxa Efetiva por meio do conceito de Taxas Proporcionais! 2º) A unidade da Taxa Efetiva será sempre a mesma unidade da capitalização! Assim, trabalhando com a taxa de 60% ao ano, com capitalização mensal, faremos: > 60% a.a., com capit. mensal = (60/12) = 5% ao mês = Taxa Efetiva! Entendido? Perceberam que a Taxa Efetiva foi uma taxa mensal. E por quê? Porque a capitalização é mensal. (Vide a segunda observação supra)! E para chegarmos a essa taxa efetiva, aplicamos o conceito de Taxas Proporcionais! Faz-se mister frisarmos o seguinte: esta situação — transformar Taxa Nominal em Taxa Efetiva — é a única no Regime Composto em que ainda usaremos o conceito de Taxas Proporcionais. Fora disso, não há! Para tornar mais simples o entendimento, convém lembrarmos que só há dois tipos de taxa no Regime Composto: ou será taxa efetiva ou será taxa nominal. Todos os exemplos anteriores trouxeram taxas efetivas (10% ao ano, 5% ao bimestre, 9,2727% ao trimestre)! E se precisarmos alterar a unidade de uma Taxa Efetiva de Juros Compostos, qual é o conceito que usaremos? O conceito de Taxas Equivalentes! E se a taxa for Taxa Nominal, como alteraremos sua unidade? Por meio do conceito de Taxas Proporcionais. Será sempre assim! Resumo da ópera: Taxa Taxa Taxa Efetiva em Nominal Efetiva outra unidade 16 Feito isso, os dados de nossa questão agora são os seguintes: > €=1000,00 ; i=5% ao mês; n=7 meses ; M=? Aplicando a equação fundamental dos Juros Compostos, teremos: 3>M= 1000.(1+0,05)” Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, teremos: TABELA | - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL a,=(1+i)” 1% 2% 3% 4% 5% 1,010000/1,020000/1,030000 1,040000] 1,050000 1,020100/1,040400/1,060900 1,081600] 1,102500 1,030301/1,061208/1,092727 1,124864] 1,157625 1,040604/1,082432/1,125508 1,169858] 1,215506 1,051010/1,104081/1,159274/1,216652] 1,276281 1,061520/1,126162]1,194052 1,265319] 1,340095 1,072135/1,148685/1,229873 1,315931]1,407100 ato a so nas Assim: 3>M= 1000x1,407100 5 M=1.407,10 5 Resposta! Finalmente, teremos: 3 J=M-C 5 J=1.407,10-1000 5 J=407,10 5 Resposta! Exemplo 5) Um capital de R$1.000,00 será aplicado a uma taxa de juros compostos de 42% ao quadrimestre, com capitalização bimestral, durante um período de 5 meses. Qual o valor do Montante e qual o valor dos Juros produzidos nesta operação? Sol.: O regime da operação foi expresso no enunciado. Estamos diante de uma questão de Juros Compostos! A primeira verificação que fazemos é que a taxa fornecida pelo enunciado é uma Taxa Nominal. (Isso, por si só, já revela que o regime é o composto!). Diante de uma taxa nominal, já sabemos o que fazer: vamos transformá-la numa taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais! Teremos: > 42% a.q. com capit. bimestral = (42/2) = 21% ao bimestre = Taxa Efetiva! Os dados de nossa questão agora são os seguintes: 17 39. (IRB 2004 ESAF) Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. a) 24% d) 24,96% b) 24,24% e) 26,8242% c) 24,48% 40. (IRB 2006 ESAF) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) 60% ao ano d) 10% ao trimestre b) 30% ao semestre e) 6% ao bimestre c) 24% ao semestre 41. (ANEEL 2004 ESAF) A taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal corresponde a uma taxa efetiva anual de a) 26,82%. a) 24,00%. b) 25,51%. e) 22,78%. c) 25,44%. 42. (TCE-Piauí 2002/FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de (A) 12,49% (D) 15,12% (B) 12,55% (E) 16,99% (Cc) 13,00% 43. (TRE 2006 ESAF) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal. a) 2,595% ao mês. d) 9,703% ao trimestre. b) 19,405% ao semestre. e) 5,825% ao bimestre. c) 18% ao semestre. 44. (BC-94) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20% a) 23% b) 21% e) 24% c) 22% 45. (AFC/STN 2005 ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a: a) 69 %e 60% ad) 60 %e 69% b) 60 %e 60% e) 120% e 60 % c) 69%e 79% Um forte abraço a todos! Bons estudos! E fiquem com Deus! 20 CURSOS ON-LINE — MATEMÁTICA FINANCEIRA — CURSO REGULAR PROFESSSOR SERGIO CARVALHO Bons estudos! Forte abraço a todos e fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 21