Baixe aula 13 - probabilidade (parteii) e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 AULA TREZE: Probabilidade (Parte II) Olá, amigos! Continuaremos (e concluiremos) hoje nosso estudo sobre Probabilidade. Estamos ingressando na segunda metade do nosso Curso! Convém tentarmos manter os estudos em dia, resolvendo sempre o dever de casa, anotando as dúvidas, fazendo resumos etc. Passemos agora à resolução do dever de casa passado. DEVER DE CASA 01. (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) 1/7 d) 5/7 b) 1/3 e) 4/7 c) 2/3 Sol.: Conforme procedemos na aula 12, tentaremos estabelecer uma divisão em partes do enunciado dessa questão! Vejamos: “Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a?” A primeira parte (em azul) informa algumas probabilidades, que repetimos abaixo: P (Ana em Paris) = 3/7 P (Beatriz em Paris) = 2/7 P (Ana em Paris e Beatriz em Paris) = 1/7 A segunda parte (em vermelho) é uma informação adicional que nos revela um fato. Algo que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado! A terceira parte (em verde) é a pergunta da questão! Juntando essa pergunta ao fato dado, teremos a seguinte pergunta completa que a questão tem interesse: “Qual a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris, dado que Ana estar hoje em Paris?” Estamos diante de uma probabilidade condicional! Na linguagem da probabilidade, teremos: P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris)=? Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos: P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = P(Beatriz em Paris e Ana em Paris) P(Ana em Paris) Nós já dispomos das probabilidades que aparecem no numerador e no denominador da fórmula acima, daí, é só nós substituirmos os valores e efetuarmos a divisão: P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = 1/7 = 1_ Resposta! 3/7 3 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 02. (MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624 d) 0,568 b) 0,064 e) 0,784 c) 0,216 Sol.: O enunciado fornece os seguintes dados: Probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4, que representaremos por: P(fazer uma venda a um cliente) = 0,4 As decisões de compra dos clientes são eventos independentes. Isso significa que a decisão de compra de um determinado cliente não é influenciada pela decisão de compra de outro cliente. E em termos de probabilidade, a independência significa que: P(vender para A e vender para B) = P(vender para A) x P(vender para B) e também: P(ñ vender para A e ñ vender para B) = P(ñ vender para A) x P(ñ vender para B) A questão solicita a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas. A melhor maneira de obtermos o resultado dessa probabilidade é calculando a probabilidade do evento excludente (é a negação do evento dado). Temos o evento: o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas. O evento excludente é: o vendedor não faça nenhuma venda em três visitas. A soma das probabilidades desses dois eventos é igual a 1, ou seja: P(no mínimo uma venda) + P(nenhuma venda) = 1 Daí, se encontrarmos a probabilidade do evento excludente, basta subtrairmos de 1 para obtermos a resposta da questão. Passemos ao cálculo da probabilidade: P(nenhuma venda) ! Considere que os três clientes sejam: A, B e C. Dessa forma, a probabilidade acima pode ser definida assim: P(não vender para A e não vender para B e não vender para C) Como foi dito na questão que as decisões de compra dos clientes são independentes, então essa probabilidade pode ser transformada no produto de três probabilidades: P(não vender para A) x P(não vender para B) x P(não vender para C) Foi dado no enunciado que: P(fazer uma venda a um cliente) = 0,4. Logo, P(não fazer uma venda a um cliente) = 1 – 0,4 = 0,6 Daí, P(não vender para A) x P(não vender para B) x P(não vender para C) será igual a: 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216 Substituindo este resultado na equação: P(no mínimo uma venda) + P(nenhuma venda) = 1 , teremos: P(no mínimo uma venda) + 0,216 = 1 E, assim: P(no mínimo uma venda) = 0,784 Resposta! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 5 05. (MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo {X ∈ Ν ⏐ 1 ≤ X ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo {Y ∈ Ν ⏐ 1 ≤ Y ≤ 4}, onde Ν representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a: a) 7/18 d) 1/27 b) 1/2 e) 2/9 c) 3/7 Sol.: Primeiramente vamos encontrar os valores que X e Y podem assumir. Como X é um número natural e (1 ≤ X ≤ 3), então os valores que X pode assumir são: 1, 2 e 3. Como Y é um número natural e (1 ≤ Y ≤ 4), então os valores que Y pode assumir são: 1, 2, 3 e 4. O enunciado afirma que no lançamento de uma moeda se o resultado é cara, então se escolhe um valor X (1, 2 ou 3), e se o resultado for ímpar, se escolhe um valor Y (1, 2, 3 ou 4). A probabilidade de se escolher um valor X (1, 2 ou 3) é (1/3), e a probabilidade de se escolher um valor Y (1, 2, 3 ou 4) é (1/4). Mais uma vez, observamos caminhos alternativos que darão um resultado final. Logo, podemos utilizar a árvore de probabilidades para traçar os possíveis caminhos e nos ajudar a obter a alternativa correta. Nossa árvore de probabilidades: cara (2/3) coroa (1/3) Qual é a probabilidade de ocorrer um número par? Há três caminhos que nos conduzem a esse resultado um número par. E são justamente os seguintes: cara (2/3) coroa (1/3) Ora, como são três os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos portanto que somar essas três probabilidades resultantes. Teremos, pois, que: 2/9 + 1/12 + 1/12 = 14/36 = 7/18 Resposta! moeda 1 (1/3) 2 (1/3) 3 (1/3) 1 (1/4) 2 (1/4) 3 (1/4) 4 (1/4) moeda 1 (1/3) 2 (1/3) ⇒ 2/3 x 1/3 = 2/9 3 (1/3) 1 (1/4) 2 (1/4) ⇒ 1/3 x 1/4 = 1/12 3 (1/4) 4 (1/4) ⇒ 1/3 x 1/4 = 1/12 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6 06. (AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota de produção é a) 11,70% b) 27,40% c) 35% d) 83% e) 85% Sol.: Construiremos a árvore de probabilidades com os dados trazidos no enunciado: com curso (80%) sem curso (20%) Qual é a probabilidade de que um funcionário não cumpra sua quota de produção? Há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado não cumpre a quota. E são justamente os seguintes: com curso (80%) sem curso (20%) Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos portanto que somar essas duas probabilidades resultantes. Teremos, pois, que: 0,144 + 0,13 = 0,274 = 27,4% Resposta! funcionário cumpre a quota (82%) não cumpre a quota (18%) cumpre a quota (35%) não cumpre a quota (65%) funcionário cumpre a quota (82%) não cumpre a quota (18%) ⇒ 0,8 x 0,18=0,144 cumpre a quota (35%) não cumpre a quota (65%) ⇒ 0,2 x 0,65=0,13 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 07. (AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: a) 10% d) 70% b) 30% e) 82,5% c) 40% Sol.: Construiremos a árvore de probabilidades com os dados trazidos no enunciado: de carro (60%) de metrô (40%) No cálculo da probabilidade de Ana ter ido de carro, devemos levar em conta que ela chegou atrasada, pois foi um fato que ocorreu segundo o enunciado, e isso vai interferir na resposta da questão. A pergunta completa que a questão quer que nós respondamos é: Qual é a probabilidade de Ana ter ido de carro, dado que ela chegou atrasada? Estamos diante de uma probabilidade condicional! Na linguagem da probabilidade, teremos: P(de carro dado atrasada)=? Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos: P(de carro dado atrasada) = P(de carro e atrasada) / P(atrasada) Passemos ao cálculo das probabilidades que aparecem no numerador e no denominador da fórmula acima. O numerador P(de carro e atrasada) será a probabilidade resultante de um único caminho de probabilidade. O primeiro deles! Vejamos: de carro (60%) de metrô (40%) Ana vai ao trabalho atrasada (5%) não atrasada (95%) atrasada(17,5%) não atrasada (82,5%) Ana vai ao trabalho atrasada (5%) ⇒ 0,6 x 0,05 = 0,03 não atrasada (95%) atrasada(17,5%) não atrasada (82,5%) CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 10 E aí? Conseguiram fazer as questões? Esperamos que sim! O importante, sobretudo, é tentar! Dando continuidade ao estudo da Probabilidade, veremos hoje mais alguns conceitos que não foram comentados na aula passada. Quais sejam: Probabilidade da união de dois eventos; e Probabilidade binomial. Aprenderemos igualmente esses tópicos por meio da resolução de exercícios diversos. # Probabilidade da União de Dois Eventos: Esta situação se verificará sempre que a questão de probabilidade trouxer uma pergunta referente a dois eventos, conectados entre si pela partícula ou. Por exemplo, pode ser que a questão apresente uma série de dados e no final pergunte: Qual a probabilidade de ocorrência do evento A ou do evento B? Saberemos, então, de imediato, que a partícula ou significará união! Trabalharemos, assim, com uma fórmula própria: a da Probabilidade da União de Dois Eventos: P(evento A ou evento B)=P(evento A)+P(evento B) – P(evento A e evento B) Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: P(evento A e evento B). Esta parcela trata acerca da probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B. Aprendemos na aula passada que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto das probabilidades individuais! Lembrados disso? Pois bem! Vejamos alguns exemplos que nos ajudarão a entender melhor essa teoria. Exemplo 1) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de se observar um múltiplo de 2 ou de 4? Sol.: Vemos facilmente que esta questão trata de dois eventos, e não apenas de um! Quais são esses dois eventos? Retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de dois; e retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de quatro. Na pergunta da questão, esses dois eventos estão conectados entre si pela partícula ou, o que nos leva a concluir que estamos trabalhando com a probabilidade da união de dois eventos! Teremos, pois, que: P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=P(múltiplo de 2)+P(múltiplo de 4)-P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4) O que temos a fazer é descobrir o valor de cada uma das parcelas. Vamos lá! P(múltiplo de 2)=? Sabemos que probabilidade é uma fração: Resultados favoráveis / resultados possíveis! Daí, na hora de retirarmos uma bolinha de uma urna que contém dez delas, quantos serão os resultados possíveis? Serão 10, obviamente! É esse nosso denominador. Queremos agora que a bolinha retirada seja múltiplo de 2. Quantos são os resultados que satisfazem essa exigência (resultados favoráveis)? Ora, são 5. Senão, vejamos: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (cinco múltiplos de 2)! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 11 Daí, teremos: P(múltiplo de 2)= (5/10) Passemos a trabalhar a segunda parcela da equação: P(múltiplo de 4)=? Quantos são os resultados possíveis para a retirada de uma bola, se a urna tem dez bolas? Dez. (É o nosso denominador)! E quantos são os resultados que satisfazem a exigência de a bola retirada ser múltiplo de 4? Ou seja, quantos são os resultados favoráveis? São 2. Vejamos: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (dois múltiplos de 4)! Daí, teremos que: P(múltiplo de 4)=(2/10) Pois bem! Só nos falta calcular agora a terceira parcela da equação: P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=? Já sabemos que há dez resultados possíveis para a retirada de uma bola dessa urna! Mas quantos serão os resultados favoráveis? Ou seja, quantos serão os resultados que satisfazem, ao mesmo tempo, a exigência de a bola retirada ser um múltiplo de 2 e um múltiplo de 4? Essa é fácil. Vejamos: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (são também apenas 2 resultados, ao mesmo tempo, múltiplos de 2 e múltiplos de 4)! Daí, teremos que: P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=(2/10) Finalmente, lançando todos esses resultados na equação da união de dois eventos, teremos: P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)+(2/10)–(2/10) E: P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)=0,50= 50% Resposta! Ou seja, não tem segredo! Basta recordar da fórmula e aplicá-la! Mais um exemplo. Exemplo 2) (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: a) 1/5 b) 1/4 c) 2/4 d) 3/5 e) 3/4 Sol.: Percebemos que aqui também haverá dois eventos envolvidos: o lançamento de um dado e o lançamento de uma moeda. Obviamente que lançar um dado e lançar uma moeda são eventos que não dependem um do outro, ou seja, o resultado de um não influencia em nada o resultado do outro. Em outras palavras, são eventos independentes, embora o enunciado não tenha dito isso expressamente! Pois bem! Vamos ao nosso raciocínio. Trabalhando primeiro com o dado. Quantas possibilidades de resultado há no lançamento de um dado? Ora, há seis possibilidades: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12 E quantos modos diferentes há de esse resultado ser um numero ímpar? Vejamos: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ora, haverá três possibilidades. Daí, ao lançarmos um dado, a probabilidade de o resultado ser ímpar será: P(resultado ímpar no dado) 2 1 6 3 == Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma moeda “não viciada”? Dois: {cara, coroa}. Quantos resultados possíveis de “coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao lançarmos uma moeda, dar coroa é de: P(coroa na moeda) 2 1 = Quase lá! Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda, estará falando, obviamente, da união entre esses dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos: P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=P(ímpar dado)+P(coroa moeda)–P(ímpar dado e coroa moeda) Pois bem! As duas primeiras parcelas da equação acima já foram calculadas. Resta-nos a última! Eis o xis da questão: esta última parcela há que ser muito bem pensada por nós. Por quê? Porque se estivermos trabalhando com eventos independentes – e esse é o nosso caso! – então esta parcela será encontrada pelo produto das probabilidades dos dois eventos. Teremos: P(ímpar no dado e coroa na moeda)=P(ímpar no dado) x P(coroa na moeda) Daí, encontraremos que: P(ímpar no dado e coroa na moeda)= (1/2) x (1/2) = (1/4) Finalmente, aplicando os resultados obtidos na nossa equação, encontraremos que: P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=(1/2)+(1/2)–(1/4)=(3/4) Resposta! # Probabilidade Binomial: Este é um tipo de questão de probabilidade que não costuma ser cobrado em prova com muita freqüência, mas que já esteve presente, inclusive em um concurso da Receita Federal. Vamos tentar aprendê-lo da forma mais simples possível. Quando diremos que estamos diante de uma questão de probabilidade binomial? Quando a situação que se nos apresentar for a seguinte: 1º) Haverá um evento que se repetirá um determinado número de vezes; 2º) Para esse evento específico, só há dois resultados possíveis; 3º) Esses dois resultados possíveis do evento são mutuamente excludentes, ou seja, ocorrendo um deles, o outro está descartado! 4º) A questão perguntará pela probabilidade de ocorrer um desses resultados um certo número de vezes. Por meio de alguns exemplos entenderemos mais facilmente. Vejamos: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 15 Exemplo 2) Uma moeda honesta será lançada oito vezes. Qual a probabilidade de se verificar exatamente cinco vezes o resultado cara? O evento é o lançamento de uma moeda. Será repetido por oito vezes! (Já sabemos, então, que N=8). A questão pede exatamente cinco resultados “cara”. Logo, “cara” é o evento sucesso, e S=5. Conseqüentemente, “coroa” é o evento fracasso, e F=3. Certo? Daí, calcularemos a probabilidade de um evento sucesso e a de um evento fracasso. Teremos: P(cara)=(1/2) (São dois resultados possíveis, e somente um satisfaz a exigência que seja “cara”). Segundo o mesmo raciocínio, teremos: P(coroa)=(1/2) Finalmente, aplicando a equação da Probabilidade Binomial, teremos: P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação N, S]x [P(sucesso)S] x [P(fracasso)F] P(de 5 caras)=(C8,5) x [P(cara)5] x [P(coroa)3] Daí: 56 123!.5 !5678 !3!.5 !8 5,8 === xx xxxC E: P(de 5 caras)= 56 x [(1/2)5] x [(1/2)3] = 256 56 8 1 32 156 =xx Chegamos a: P(de 5 caras) = 0,2187 = 21,87% Resposta! É isso, meus amigos! Com toda a teoria explicada na aula anterior, e ora complementada, damos por encerrado o estudo da Probabilidade, tal como sói se apresentar nos concursos públicos! Na seqüência, as questões do nosso dever de casa de hoje! Forte abraço a todos, fiquem com Deus, e até a próxima! Dever de Casa 01. (MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo {X ∈ Ν ⏐ 1 ≤ X ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo {Y ∈ Ν ⏐ 1 ≤ Y ≤ 4}, onde Ν representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a: a) 7/18 b) ½ c) 3/7 d) 1/27 e) 2/9 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 16 02. (AFCE TCU 99 ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: a) 1/5 d) 3/5 b) 3/10 e) 7/10 c) 2/5 03. (Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas? a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 44,5% e) 50% 04. (TFC 1995) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é: a) 3/8 b) 1/2 c) 6/8 d) 8/6 e) 8/3 05. (AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é: a) (0,1)7 (0,9)3 b) (0,1)3 (0,9)7 c) 120 (0,1)7 (0,9)3 d) 120 (0,1) (0,9)7 e) 120 (0,1)7 (0,9) Gabarito: 01. A 02. E 03. B 04. A 05. C