Baixe aula 12 - probabilidade (parte i) e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 AULA DOZE: PROBABILIDADE (Parte I) Olá, amigos! Hoje, daremos início a um novo assunto, o qual, assim como a Análise Combinatória, tem sido também constantemente cobrado em provas de Raciocínio Lógico. Trata-se da Probabilidade. Faremos esse estudo em duas aulas, conforme nossa programação original. E antes que alguém se assuste, achando que se trata de algo muito difícil, convém saber que, em provas de concurso, este tema recebe um enfoque muito peculiar, e que passará a ser inteiramente de nosso conhecimento! Antes de iniciarmos o novo estudo, resolvamos as questões pendentes do dever de casa passado. Dever de Casa 1. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a a) 2 d) 48 b) 4 e) 120 c) 24 Sol.: Já resolvemos uma questão parecida com esta na aula anterior! Então, creio que todos conseguiram chegar à resposta! A questão especifica que duas moças têm que estar sempre juntas! Daí, consideraremos como se fossem uma só moça! Com esta consideração, passamos a ter 4 pessoas na fila! O número de maneiras possíveis que estas 4 pessoas podem distribuir-se nos assentos, pode ser determinado pela fórmula da permutação. P4=4!=24 maneiras possíveis As duas moças podem trocar de posição, mantendo-se ainda juntas, e mais uma vez usaremos a fórmula da permutação! P2=2!=2 maneiras possíveis Daí, multiplicando-se as permutações parciais obtidas acima, teremos: 24 x 2 = 48 maneiras possíveis Resposta: (Letra D)! M M R R R M M CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 2. (MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é igual a: a) 6 d) 36 b) 12 e) 48 c) 24 Sol.: O que se pede nesta questão (por conta da palavra somente) é o número de maneiras diferentes em que as 2 moças fiquem sempre juntas enquanto que os 3 rapazes não fiquem todos juntos. Assim, para que os três homens não fiquem todos juntos é necessário que as moças fiquem juntas no meio da fila. Reparem que as moças não podem estar juntas nas pontas, pois assim os três homens ficariam juntos! Há duas situações possíveis para o posicionamento das moças: 1ª situação: R M M R R 2ª situação: R R M M R Na primeira situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças! Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Permutação das moças: P2 = 2! = 2x1 = 2 Compondo nosso resultado, para esta primeira situação, teremos: 6x2= 12 Da mesma forma, na segunda situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças! Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6 Permutação das moças: P2 = 2! = 2x1 = 2 Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos: 6x2= 12 Finalmente, somando os resultados parciais teremos: 12+12= 24 Resposta: (Letra C)! 2 moças 2 moças CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 5 1ª Solução: Número de comissões contendo 1 diretor: C3,1 x C5,4 = 3 x 5 = 15 Número de comissões contendo 2 diretores: C3,2 x C5,3 = 3 x 10 = 30 Número de comissões contendo 3 diretores: C3,3 x C5,2 = 1 x 10 = 10 Logo, a resposta é: 15 + 30 + 10 = 55 Resposta: (Letra D)! 2ª Solução: O total de comissões de 5 pessoas que podemos formar com estas 8 pessoas (3 diretores e 5 gerentes) é dado por: C8,5 = 56 O total de comissões de 5 pessoas que podemos formar de maneira que não contenham diretores, mas somente os 5 gerentes, é dado por: C5,5 = 1 Logo, o total de comissões de 5 pessoas que podemos formar contendo no mínimo um diretor é dado pela subtração dos dois resultados parciais obtidos acima: 56 – 1 = 55 Resposta: (Letra D)! 7. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que nenhum membro seja matemático? a) C20,10 d) C10,10 b) C15,10 e) C20,20 c) C20,15 Sol.: Novamente, temos uma questão de combinação! A comissão é formada por 10 pessoas! Quem pode participar da composição dessa comissão? Segundo o enunciado, das 20 pessoas que formam o grupo, somente os não matemáticos poderão participar da comissão. Como há cinco matemáticos no grupo dos 20, isto significa que há um total de 15 (=20–5) não matemáticos. O número de comissões diferentes com 10 pessoas que podem ser formadas a partir de 15 não matemáticos é: C15,10 . Resposta: (Letra B)! Combinação de 3 diretores para 1 vaga na comissão. Combinação de 5 gerentes para o restante das vagas (4) na comissão. Combinação de 3 diretores para 2 vagas na comissão. Combinação de 5 gerentes para o restante das vagas (3) na comissão. Combinação de 3 diretores para 3 vagas na comissão. Combinação de 5 gerentes para o restante das vagas (2) na comissão. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6 8. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão? a) C20,10 d) C15,5 b) C15,10 e) C20,20 c) C20,15 Sol.: Na questão anterior os matemáticos não podiam participar da comissão, já nesta questão todos os matemáticos devem fazer parte da comissão! E temos os seguintes dados fornecidos: - Grupo consta de 20 pessoas, dos quais 5 são matemáticos. - A comissão é de 10 pessoas. Ora, se os matemáticos devem fazer parte da comissão, então cinco lugares da comissão vão ficar reservados para os cinco matemáticos, restando cinco vagas ainda a serem preenchidas. Estas vagas serão disputadas pelos não matemáticos, que são um total de 15. Assim, para obtermos o número de comissões diferentes que podem ser formadas, faremos uma combinação de 15 pessoas para 5 lugares, ou seja: C15,5. Resposta: (Letra D)! 9. (AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 d) 240 b) 480 e) 60 c) 360 Sol.: Temos os seguintes dados fornecidos pelo enunciado: 1°) Há sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise. 2°) Serão formadas filas com exatamente quatro modelos. 3°) A última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. 4°) Denise não poderá ser a primeira da fila. Como se trata de formar uma fila de pessoas, onde teremos que ordenar as posições (1ª da fila, 2ª da fila, ...), então a ordem é relevante, e, assim, não resta dúvidas que podemos utilizar o princípio fundamental da contagem. Primeiramente, desenharemos as quatro posições da fila: 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila A última posição da fila só pode ser ocupada por quatro das sete modelos, as quais são: Ana, Beatriz, Carla ou Denise. Agora, calcularemos o número de diferentes filas que podem ser formadas tendo cada uma dessas modelos na última posição da fila. 1. Número de diferentes filas com Ana sendo a última da fila: 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila Vamos calcular o número de possibilidades de ocupação para cada uma das três primeiras posições: Ana CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 a) A 1ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem por Denise (devido a restrição feita no enunciado), assim há cinco modelos que podem ocupar a 1ª posição. b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pela modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há cinco modelos que podem ocupar a 2ª posição. c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pelas modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há quatro modelos que podem ocupar a 3ª posição. O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja: 5 x 5 x 4 = 100 filas diferentes. 2. Número de diferentes filas com Beatriz sendo a última da fila: 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila O procedimento é idêntico ao anterior, só muda o nome de Ana para Beatriz. Por isso, o resultado será o mesmo: 100 filas diferentes. 3. Número de diferentes filas com Carla sendo a última da fila: 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila O procedimento também é idêntico ao primeiro caso, só muda o nome de Ana para Carla. Por isso, o resultado será o mesmo: 100 filas diferentes. 4. Número de diferentes filas com Denise sendo a última da fila: 1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila Esse caso é um pouco diferente dos outros, conforme mostraremos abaixo. Vamos calcular o número de possibilidades de ocupação para cada uma das três primeiras posições: a) A 1ª posição da fila só não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição e também pela restrição feita no enunciado), assim há seis modelos que podem ocupar a 1ª posição. b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição) e nem pela modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há cinco modelos que podem ocupar a 2ª posição. c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e nem pelas modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há quatro modelos que podem ocupar a 3ª posição. O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja: 6 x 5 x 4 = 120 filas diferentes. A resposta da questão é dada pela soma dos resultados obtidos para cada um dos quatro casos acima: 100 + 100 + 100 + 120 = 420 Resposta: (Letra A)! Beatriz Carla Denise CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 A idéia oposta ao do evento certo é a do evento impossível: aquele cuja probabilidade de ocorrência é de 0% (zero por cento)! Exemplo: qual a probabilidade de eu ganhar na loteria sem jogar? Nenhuma! Qualquer criança acerta essa resposta! Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as possibilidades (e as probabilidades!). Este é, pois, o conceito de probabilidade! Façamos outro exemplo: Exemplo 02) Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um número par? Sol.: Retomemos o nosso conceito: Probabilidade = possíveisresultadosden favoráveisresultadosden ° ° O evento agora é retirar uma bola da urna, e queremos que ela seja par! Daí, para retirar uma bola de urna que contém dez bolas, haverá – irrefutavelmente – dez resultados possíveis! Concordam? (Já temos o denominador!) Acerca do numerador, perguntaremos: qual é a exigência do evento? É que a bola retirada tenha um número par. Quantos são os resultados que atendem, que satisfazem, essa exigência? Ora, são cinco (as bolas de números 2, 4, 6, 8 e 10). Pronto! Lançando os valores no conceito, teremos: P=(5/10)=0,50=50% Resposta! # Situações Excludentes, Árvore de Probabilidades e Eventos Independentes: Vejamos esses conceitos, por meio do exemplo seguinte: Exemplo 03) (TCE-RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: Sol.: Vamos analisar a primeira frase do enunciado: “a probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5”. Temos que nos habituar a ler uma frase que fala da probabilidade de ocorrência de um evento, já tentando vislumbrar se existe uma situação excludente para aquele evento. Como é isso? Ora, o evento que estamos tratando é o gato estar vivo daqui a 5 anos. A situação excludente para o gato estar vivo é justamente o gato estar morto! Claro! Por que razão chamamos situações excludentes? Porque uma exclui a outra! Ou seja, se o gato estiver vivo é porque não estará morto; e vice-versa: se estiver morto é porque não estará vivo. E não há uma terceira possibilidade! O que devemos saber sobre as situações excludentes? Devemos saber que a soma das probabilidades de ocorrência de situações excludentes será sempre igual a 100%. Ou seja, se somarmos a probabilidade de o gato estar vivo daqui a cinco anos e a probabilidade de o gato estar morto daqui a cinco anos, teremos que 100% será o resultado desta soma! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 Daí, sabendo que a probabilidade de o gato estar vivo é de (3/5), então a fração que representará o evento de o gato estar morto será exatamente de (2/5). Claro! Pois somando (2/5) a (3/5) dará igual a 1, que é 100%. Ora, apenas analisando essa primeira frase, já podemos começar a compor a nossa árvore de probabilidades! O que é isso? É apenas um desenho, que nos ajudará a enxergar melhor a questão. Daí, até aqui, teremos que: VIVO (3/5) GATO MORTO (2/5) Prosseguindo a leitura do enunciado, é dito que a probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Facilmente conseguimos imaginar a situação excludente para o cão estar vivo. Qual será? O cão estar morto! Claro! E se somarmos essas duas probabilidades (cão vivo e cão morto), o resultado será 100% (ou então 1, se estivermos trabalhando com a notação unitária)! Daí, de quanto será a probabilidade de o cão estar morto daqui a cinco anos? É a fração que falta a 4/5 para chegar a 5/5, ou seja, para chegar a 100%. Será, portanto, de 1/5. Com isso, já dá para completarmos a árvore de probabilidades dessa questão. Teremos: VIVO (3/5) GATO MORTO (2/5) VIVO (4/5) CÃO MORTO (1/5) Pois bem! Até aqui, já aprendemos a desenhar uma árvore de probabilidades, e a saber o que são situações excludentes, e que a soma das probabilidades dessas situações excludentes será sempre 100% (ou sempre 1, que é o mesmo que 100%)! Prosseguindo a leitura do enunciado, veremos o seguinte: “Considerando os eventos independentes...” Então esses quatro eventos que temos acima na árvore de probabilidades (gato vivo, gato morto, cão vivo, cão morto) são eventos independentes! O que temos que saber acerca de eventos independentes? Apenas que se quisermos calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois ou mais desses eventos, teremos que multiplicar as probabilidades de cada um deles. Ou seja, se temos que: P(cão vivo)=4/5 e P(gato vivo)=3/5 E quisermos saber a probabilidade, ao mesmo tempo, de o cão estar vivo e de o gato estar vivo, faremos: P(gato vivo & cão vivo) = P(gato vivo) x P(cão vivo) = (3/5) x (4/5) = 12/25 Então é isso que precisamos saber sobre eventos independentes! Agora retornemos ao enunciado: a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de? CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 A palavra chave dessa pergunta é a palavra somente! Ora, a questão falava de duas figuras: o cão e o gato. Se se deseja saber a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos, podemos traduzir essa pergunta de outra forma: “Qual a probabilidade de o cão estar vivo daqui a 5 anos & o gato estar morto?” Ora, se quero somente o cão vivo, é porque quero também o gato morto! Olhemos de novo para a nossa árvore de probabilidades: VIVO (3/5) GATO MORTO (2/5) VIVO (4/5) CÃO MORTO (1/5) Já vimos que esses eventos (cão vivo & gato morto) são eventos independentes! Daí, se procuramos a probabilidade de ocorrência simultânea desses dois eventos, faremos: P(cão vivo & gato morto)= P(cão vivo)xP(gato morto) = (4/5)x(2/5) =8/25 (Resposta!) Com base nessa resolução, você já temos plenas condições de resolver a questão seguinte, que por sinal também é da Esaf, e foi cobrada na prova do MPOG/2003. Foi a seguinte: EXEMPLO 04) (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a: a) 4/5 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5 Sol.: Procuremos, na primeira leitura, verificar a existência de algum evento que admita uma situação excludente. Tem? Sim: Paulo ser escolhido! Qual seria a situação excludente? Ora, seria Paulo não ser escolhido, obviamente! O mesmo se dá para o evento Roberto ser escolhido, cuja situação excludente seria Roberto não ser escolhido. Aprendemos há pouco que a soma das probabilidades de situações excludentes é sempre igual a 100%. Daí, nossa árvore de probabilidades para esse exemplo será a seguinte: PARTICIPAR (3/5) PAULO NÃO PARTICIPAR (2/5) PARTICIPAR (1/5) ROBERTO NÃO PARTICIPAR (4/5) CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 Aqui, olhando para essa árvore acima, veremos que surge um novo conceito! Estamos falando do caminho de probabilidades! O que é isso? É tão-somente um caminho em que há duas (ou mais) probabilidades que se sucedem! Ou em outras palavras, é um caminho em que há mais de um evento, de modo que um é posterior ao outro. Olhando para o desenho acima, vemos que existem dois caminhos de probabilidade. Vou destacar primeiro um, e depois o outro. Vejamos: Cartão (vermelho-vermelho) (1/3) Cartão (amarelho-amarelo) (1/3) Vermelho p/ o juiz e (1/2) Amarelo p/ o jogador Cartão (amarelo-vermelho) (1/3) Amarelo p/ o juiz e (1/2) Vermelho p/ o jogador Está em azul nosso caminho de probabilidades. Nele, vemos que um evento se sucede ao outro. O primeiro é a escolha do cartão de duas faces; o segundo é o fato de a face vermelha ficar voltada para o juiz, e a amarela para o jogador! O que interessa saber acerca de um caminho de probabilidade é que quando estivermos diante de um, não nos interessará mais a probabilidade individual de um evento ou do outro: interessar-nos-á a probabilidade de todo o caminho! E para descobrirmos a probabilidade que é o resultado de um caminho de probabilidades, teremos sempre que multiplicar as probabilidades individuais de cada evento que compõe aquele caminho. Daí, para chegarmos à probabilidade que resulta deste caminho azul acima, faremos (1/3)x(1/2), e chegaremos ao seguinte: Cartão (vermelho-vermelho) (1/3) Cartão (amarelho-amarelo) (1/3) Vermelho p/ o juiz e (1/2) ⇒ (1/6) Amarelo p/ o jogador Cartão (amar.-verm.) (1/3) Amarelo p/ o juiz e (1/2) Vermelho p/ o jogador CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 Essa probabilidade que encontramos (1/6) é o resultado deste caminho de probabilidade e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho. Ou seja, (1/6) é justamente a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela. É exatamente isso o que a questão está perguntando! Daí, nossa resposta, encontrada apenas pelo resultado de um caminho de probabilidades, é igual a (1/6). Observemos que para acertar essa questão, tivemos que usar os seguintes conhecimentos: 1º) saber o que são situações excludentes; 2º) saber desenhar uma árvore de probabilidades; 3º) saber o que é um caminho de probabilidades, e como se chega a sua probabilidade resultante! Passemos a mais um exemplo! EXEMPLO 06) (SERPRO 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é: Sol.: Numa leitura calma deste enunciado, vemos que ele é todo muito propício para que façamos o desenho da árvore de probabilidades, observando atentamente as situações excludentes que nos são apresentadas! Senão, vejamos: a primeira coisa que nos diz a questão é que o Genésio só pode viajar de dois modos: navio ou avião. E diz também que estes dois modos de ele viajar são mutuamente excludentes! Ora, aqui foi dito de forma expressa: são duas situações excludentes! Foi dito ainda quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião. Daí, já podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades! Teremos: Navio (40%) Avião (60%) Só uma observação: na hora que o enunciado falou que viajar de navio e viajar de avião são situações excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio é de 40%, então não seria necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião é de 60%. Já seria nossa obrigação saber disso, uma vez que a soma das probabilidades de situações excludentes é sempre 100%. Não é verdade? Pois bem! Só que o enunciado não parou por aí! Surgem, na seqüência da leitura, mais duas outras situações. Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião, ele poderá chegar com atraso ao congresso! Isso é dito pelo enunciado! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele pode também chegar em tempo, ou seja, sem atraso. É evidente que se Genésio chegar em tempo é porque não atrasou; e se atrasar, é porque não conseguiu chegar em tempo. Concordam? Ou seja, essas duas situações – chegar atrasado e chegar em tempo – são situações excludentes! O enunciado traz quais são as probabilidades de Genésio chegar atrasado nos dois casos (tendo ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremos como completar a nossa árvore de probabilidades, da seguinte forma: Atrasado (8,5%) Navio (40%) Em tempo (91,5%) Atrasado (1%) Avião (60%) Em tempo (99%) Boa oportunidade essa para nós explorarmos o desenho acima! Quantos caminhos de probabilidade nós temos nessa árvore de probabilidades? Temos quatro caminhos: 1º) viajar de navio & chegar atrasado; 2º) viajar de navio & chegar em tempo; 3º) viajar de avião & chegar atrasado; 4º) viajar de avião & chegar em tempo. Já sabemos que, diante de um caminho de probabilidades, as probabilidades individuais já deixaram de ser interessantes para nós! Só nos vão interessar as probabilidades resultantes de cada caminho! Sabemos também que, para chegar a essas probabilidades resultantes, teremos que multiplicar as probabilidades individuais de cada caminho! Não é isso mesmo? É isso mesmo! Daí, analisemos esta árvore e esses caminhos, caso a questão fizesse uma dessas seguintes perguntas: a) Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado? O que lhes parece? Será que isso que está sendo pedido acima é o resultado de algum caminho de probabilidade? Claro! É logo do primeiro caminho! Vejamos: Atrasado (8,5%) Navio (40%) Em tempo (91,5%) Atrasado (1%) Avião (60%) Em tempo (99%) Daí, multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos: (0,40)x(0,085)= 0,034 = 3,4% Resposta! Na linguagem da probabilidade, diremos: P(navio & atrasado)=0,034 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 Esse evento “B” é justamente aquele que nos é dado a conhecer pela informação adicional; por aquela frase que vem sozinha, e apenas nos revela um fato dado; algo que passa a ser do nosso conhecimento. Retornemos novamente ao nosso enunciado, para ver se entendemos o que está sendo solicitado por esta questão. Vamos por partes! Podemos dividir esse enunciado em três pedaços, representados abaixo em cores diferentes: “Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:” 1º) O primeiro pedaço que destacamos (em vermelho) servirá apenas para uma coisa: para desenharmos a árvore de probabilidades e os respectivos caminhos de probabilidade. 2º) A segunda parte do enunciado (destacada em azul) se resume a uma única frase: é o fato dado! É aquela informação que passa a ser conhecida por nós todos! Repito: não é uma probabilidade: é um fato! 3º) A terceira e última parte do enunciado (destacada em verde) é a pergunta! Pronto! Estamos quase lá! Agora só nos resta definir exatamente o que a questão quer de nós. Para saber isso, começaremos pela pergunta do enunciado: a terceira parte! Qual a probabilidade de Genésio ter ido de avião? Sabendo que esta é a pergunta da questão, só nos falta averiguar uma coisa: foi fornecido pelo enunciado aquela informação adicional? Aquele fato dado? Foi? Sim! E qual foi mesmo esse fato dado? Foi que Genésio chegou atrasado! Daí, o que a questão está mesmo querendo saber é o seguinte: “Qual a probabilidade de Genésio ter ido de avião, dado que chegou atrasado?” Essa é a pergunta completa! Essa é a pergunta da probabilidade condicional. Por que condicional? Porque está submetida a uma condição! Qual condição? A de que exista um fato que nós estamos certos que ocorreu! Veja como a pergunta acima se enquadra perfeitamente no modelo da probabilidade condicional: “Qual a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos que ocorreu um evento “B”? Observemos que o que virá após o dado que será sempre o fato fornecido pelo enunciado! Utilizando a nomenclatura própria da matemática, reduziremos a pergunta acima ao seguinte: P(A dado B)=? Esta é a pergunta da probabilidade condicional. Para respondê-la, teremos que aplicar a seguinte fórmula: )( )()( BP BeAPBdadoAP = Aplicando a fórmula acima à nossa questão, teremos: P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado) CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 Vejamos que o numerador desta fórmula P(avião & atrasado) é exatamente a resposta da “pergunta b”, que foi analisado há pouco por nós, e em que concluímos que: P(avião & atrasado)=0,006. Vejamos ainda que o denominador da fórmula P(atraso) corresponde, por sua vez, à resposta da “pergunta c” , vista acima, com o que concluímos que: P(atrasado)=0,04. Pronto! Dispondo dos elementos todos da fórmula da probabilidade condicional, chegaremos ao seguinte: P(avião dado atraso) = P(avião & atraso) / P(atraso) P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15% Resposta! Passemos a outro exemplo, cobrado na prova do Analista do MPU, ainda recente! Exemplo 07) (Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a? Sol.: Convém relermos o enunciado, tentado já ver se é possível estabelecermos aquela divisão em partes! Será que é possível. Vejamos: “Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?” A primeira parte é aquela que usaremos para desenhar a árvore de probabilidades, observando as situações excludentes, e construindo, se for o caso, os caminhos de probabilidade. A segunda parte (em vermelho) é um informação adicional que nos revela um fato. Algo que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado! A terceira parte é a pergunta da questão! Trabalhando a primeira parte do enunciado, chegaremos à seguinte árvore de probabilidades: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 sopa salgada (10%) JOÃO (40%) sopa normal (90%) sopa salgada (5%) JOSÉ (40%) sopa normal (95%) sopa salgada (20%) MARIA (20%) sopa normal (80%) Agora temos que formular a pergunta completa da questão! O que está sendo questionado na última parte do enunciado? A pergunta é qual a probabilidade de João ter feito a sopa? Existe dentro do enunciado uma informação adicional, que nos dá a conhecer um fato? Sim! Qual é esse fato? É que a sopa ficou salgada! Ora, que a sopa ficou salgada é um fato dado pela questão. É algo do qual agora temos conhecimento. Daí, a pergunta completa desta questão é a seguinte: “Qual a probabilidade de João ter feito a sopa, dado que a sopa ficou salgada?” Estamos diante de uma probabilidade condicional. Na linguagem da probabilidade, teremos: P(João dado salgada)=? Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos: P(João dado salgada)= P(João & salgada) / P(salgada) O numerador P(João & salgada) será a probabilidade resultante de um único caminho de probabilidade. O primeiro deles! Vejamos: sopa salgada (10%) ⇒ 0,04 JOÃO (40%) sopa normal (90%) sopa salgada (5%) JOSÉ (40%) sopa normal (95%) sopa salgada (20%) MARIA (20%) sopa normal (80%) Já no tocante ao denominador P(salgada), teremos que somar as probabilidades resultantes de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos: