Apostila 1

Apostila 1

GEOMETRIA DESCRITIVA

A geometria descritiva (também chamada de geometria mongeana ou método mongeano) é um ramo da geometria que tem como objetivo representar objetos de três dimensões em um plano bidimensional. Esse método foi desenvolvido por Gaspard Monge e teve grande impacto no desenvolvimento tecnológico desde sua sistematização. Percebida sua importância, a geometria descritiva foi tratada com atenção e considerada, no início, uma espécie de segredo de estado.

Gaspard Monge (Beaune, 10 de maio de 1746Paris, 28 de julho de 1818) foi um matemático francês, criador da geometria descritiva.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_descritiva

Gaspard Monge (1746 a 1818)

Foi um sábio desenhista francês, figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço. Monge foi professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris.

Gaspard Monge aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que representavam apenas: a planta, a elevação e o perfil. Esse interesse em estudar essa técnica resultou de impulsos patrióticos que visavam tirar a França da dependência da indústria estrangeira.

Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões.

A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado.

http://www.profcardy.com/geodina/descritiva.php

Ponto

Pontos

O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, nem comprimento e nem largura, ou seja, não tem dimensões, por isso, é chamado de adimensional.

Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, etc.

Representação do ponto

É representado por Letras Maiúsculas do nosso alfabeto.

Posições de dois ou mais pontos

Dois ou mais pontos podem ser considerados Coplanares, que estão em um mesmo plano ou Colineares, que estão em uma mesma reta.

Reta

Retas

Uma reta é composta por um conjunto infinito de pontos. É uma entidade que tem apenas comprimento, ou apenas altura ou apenas largura, ou seja, tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional. Para traçar uma reta, dois pontos apenas são necessários. Por um ponto, passam infinitas retas.

A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um ponto no espaço. A reta também pode ser descrita como um arco de circunferência cujo raio é infinito. Sempre se escreve o nome da reta com letras minúsculas.

Reta: fio esticado, lados de um quadro, etc.

Equação

A equação geral da reta num espaço euclidiano de 3 dimensões é a seguinte:

r: (x,y,z) = (o,p,q)+ t(a,b,c)

Onde v=(a,b,c) é um vetor diretor de r. Onde P=(o,p,q) é um ponto de r. Onde Q=(x,y,z) é um ponto qualquer de r. Onde t é o parâmetro que pode tomar como valor qualquer número real.

Reta existe somente na ausência de forças eletromagneticas de acordo com a Relatividade.

Representação da reta

A reta é representada por letras minúsculas do nosso alfabeto ou por dois pontos com uma seta apontando para os dois lados em cima.

Posição de uma Reta

r=vertical / s=horizontal / t=inclinada

Uma reta pode estar na posição Vertical, Horizontal ou Inclinada(Diagonal).

Posição de 2 retas

Posição de 2 retas: retas paralelas, concorrentes e coincidentes

Duas retas podem ser:

  • Paralelas: quando não tem nenhum ponto em comum.

  • Concorrentes: Quando tem apenas um ponto em comum.

  • Coincidentes: Quando tem todos os pontos em comum.

Semi-reta

Semi reta é uma parte da reta que tem começo, mas não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é chamado Ponto de origem.

Semi Reta

Segmento de reta

Segmento de Reta é uma parte da reta que tem começo e fim, é determinado por dois pontos colineares. É representado por dois pontos e por 1 traço reto em cima dele. Dois ou mais segmentos de reta podem ser:

  • Consecutivos: Tem apenas um ponto em comum

  • Colineares: Estão na mesma reta

  • Adjacentes: Tem apenas um ponto em comum e estão na mesma reta, ou seja, são Consecutivos e Colineares ao mesmo tempo.

  • Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas.

Segmentos Consecutivos, adjacentes e colineares

Plano

plano alfa

Um plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não-alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou altura e comprimento ou largura e comprimento, por isso, é chamado de bidimensional.

Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, etc.

Representação de um plano

Um plano é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, geralmente α ou β ou por três pontos distintos do plano.

Equação do plano

Onde n=(a,b,c) é um vetor normal (perpendicular) ao plano. Onde P=(x,y,z) é um ponto desse plano. E d é um número real que satisfaça a equação.

Retirado de "http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto%2C_Reta_e_Plano"

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto,_Reta_e_Plano

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm

A projeção ortogonal de um objeto em um único plano não é suficiente para a determinação da forma e da posição deste objeto no espaço. VEJA PORQUE

Gaspard Monge solucionou este problema com a criação de um sistema duplo de projeção que leva seu nome: Projeções Mongeanas ou Sistema Mongeano de Projeção. Através da aplicação dos conceitos básicos de Projeções Mongeanas, qualquer objeto, seja qual for sua forma, posição ou dimensão, pode ser representado no plano bidimensional, por suas projeções cilíndricas ortogonais. O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-ortogonal, onde 2 planos , um horizontal e um vertical, se interceptam no espaço, sendo portanto, em função de suas posições, perpendiculares entre si. A interseção desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra (LT). Esses planos determinam no espaço 4 diedros numerados no sentido anti-horário.

VEJA AGORA como é possível determinar a forma e a posição dos objetos no espaço.

Após Monge ter sistematizado a Geometria Descritiva, foi acrescentado por Gino Loria um terceiro plano de projeção para melhor localização de objetos no espaço. Este terceiro plano de projeção, denominado plano Lateral, forma com o diedro conhecido um triedro tri retângulo, sendo, portanto, perpendicular aos planos Horizontal e Vertical de projeção. O plano lateral fornecerá uma terceira projeção do objeto.

Até agora representamos os objetos no espaço. Para representarmos esses objetos no plano bidimensional do papel ou da tela, é necessário que os planos horizontal e vertical coincidam em uma única superfície plana. Monge utiliza um artifício, rotaciona o plano horizontal em 90°, fazendo com que o plano horizontal coincida com o vertical. Esse procedimento chama-se rebatimento. Após o rebatimento obtemos a representação da figura no plano por suas projeções. Esta representação é denominada épura.

Podemos notar que na épura, as duas projeções de um ponto pertencem à uma mesma reta perpendicular à L.T. esta reta é denominada linha de chamada. A distância de um ponto ao Plano Horizontal (PH), é denominada COTA do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância de sua projeção vertical até a linha de terra.

A distância de um ponto ao Plano Vertical (PV), é denominada AFASTAMENTO do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância de sua projeção horizontal até a linha de terra.

Para obtermos a terceira projeção em Épura, o plano lateral pode ser rebatido tanto sobre o plano Horizontal quanto sobre o plano vertical. Neste estudo adotaremos o rebatimento sobre o plano Vertical e a representação ficará assim:

Um objeto pode estar localizado em qualquer dos quatro diedros que terá suas projeções horizontal e vertical.

A Geometria Descritiva estuda essas projeções nos quatro diedros. Os elementos de projeção - plano, objeto, observador - têm uma ordem diferente em cada diedro e em relação a cada plano de projeção.

Embora o observador esteja no infinito na projeção cilíndrica ortogonal, o mesmo foi colocado na ilustração para que se possa perceber melhor a ordem em que cada elemento está.

A ordem dos elementos de projeção é a seguinte em cada um dos diedros:

1° DIEDRO - PH - observador, objeto, plano de projeção. PV - observador, objeto, plano de projeção.

2° DIEDRO -PH - observador, objeto, plano de projeção. PV - observador, plano de projeção, objeto.

3° DIEDRO - PH - observador, plano de projeção, objeto. PV - observador, plano de projeção, objeto.

4° DIEDRO - PH - observador, plano de projeção, objeto. PV - observador, objeto, plano de projeção.

Em Desenho Técnico, os dois diedros pares (2° e 4°) não são utilizados, uma vez que, em épura, há a sobreposição das projeções após o rebatimento dos planos, dificultando a interpretação.

No Brasil, a ABNT - Associação Brasileira de Normas técnicas admite a representação tanto no 1° diedro, como no 3° diedro, sendo a mais utilizada a do 1°diedro. A representação no 3° diedro é comum em indústrias estrangeiras, principalmente americanas e nos vários softwares de desenho disponíveis no mercado. A Geometria Descritiva, por meio do Método Mongeano, representa objetos do espaço por suas Épuras. Veja os exemplos dessa representação no 1° e no 3° diedro e compare as diferenças da projeção em suas respectivas épuras.

http://www.fc.unesp.br/nucleos/multimeios/cursos/hypergeo/monge.htm

DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais - um horizontal, um vertical. LINHA DE TERRA - reta determinada pela interseção dos planos Horizontal e Vertical de projeção. REBATIMENTO – rotação do PH em 900 para obtenção da épura.ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, por suas projeções.LINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha de terra, que liga as projeções horizontais e verticais de pontos. COTA – distância de um ponto ao PH.AFASTAMENTO – distância de um ponto ao PV.VERDADEIRA GRANDEZA - V.G. - diz-se que uma projeção está em V.G. quando o objeto está paralelo ao plano de projeção, projetando o mesmo com sua real superfície.

http://www.fc.unesp.br/nucleos/multimeios/cursos/hypergeo/resumo.htm

Representação no espaço e em épura de um prisma retangular reto, no 1° diedro, para mostrar as posições de retas e planos em relação aos planos de projeção. As retas serão representadas por um de seus segmentos, que podem ser arestas das faces do sólido ou ligação de dois vértices não consecutivos do mesmo; e os planos, por faces do sólido.

Para que a representação fique mais clara, é necessário que se dê nomes aos elementos da projeção e do objeto a ser projetado, para isso adotaremos as seguintes CONVENÇÕES PARA NOTAÇÃO:

Para a simplificação da representação, os semi-planos serão considerados planos.

AGORA, VAMOS ESTUDAR CADA CASO SEPARADAMENTE.

Então, mãos à obra, iniciando pelas ARESTAS.

Começando pela aresta AB.

Observe a representação NO ESPAÇO:

EM ÉPURA:

A reta representada pelo segmento AB é chamada reta FRONTO-HORIZONTAL.

Características da reta Fronto-horizontal:

  • O segmento AB tem mesma cota – distância do ponto ao PH - em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH.

  • Tem também, mesmo afastamento – distância do ponto ao PV - em todos os seus pontos e, portanto é paralela ao PV.

  • Sendo paralela ao PV e PH também o será à LT.

  • Por ser paralela ao PH, sua projeção horizontal está em V.G. – Verdadeira Grandeza

  • Por ser paralela ao PV, sua projeção vertical também estará em V.G.

EXERCÍCIO 1 (reta fronto-horizontal)

Pegue uma folha de papel e identifique quais os outros segmentos que também são Fronto-horizontais. Represente em épura cada um deles.

Exercício 1 - Confira as respostas (reta fronto-horizontal):

Segmento EF

Segmento CD

Segmento GH

Agora, vamos manter o mesmo ponto A e tomar o segmento AC.

Observe a representação NO ESPAÇO:

EM ÉPURA:

A reta representada pelo segmento AC é denominada reta HORIZONTAL ou reta de NÍVEL.

Características da reta Horizontal:

  • O segmento AC tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH.

  • Porém tem afastamentos diferentes em seus pontos, é oblíquo ao PV.

  • Por ser paralela ao PH porém oblíquo ao PV, sua projeção horizontal está em V.G. e é oblíqua à LT.

  • Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH, sua projeção vertical é paralela à LT.

EXERCÍCIO 2 (reta horizontal ou reta de nível)

Em uma folha de papel identifique quais os outros segmentos que também são horizontais. Represente em épura cada um deles.

Exercício 2 - Confira as respostas (reta horizontal ou reta de nível):

Segmento EG

Segmento DB

Segmento FH

Ainda mantendo o mesmo ponto A, mas tomando o segmento AD. Observe a representação no espaço:

Observe a representação NO ESPAÇO:

EM ÉPURA:

A reta representada pelo segmento AD é denominada reta de TOPO.

Características da reta de Topo:

  • O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH.

  • Porém tem afastamentos diferentes em seus pontos e, é perpendicular ao PV.

  • Por ser paralela ao PH, sua projeção horizontal está em V.G. e é perpendicular à LT.

  • Sendo perpendicular ao PV, sua projeção vertical se transformará em um ponto.

EXERCÍCIO 3 (reta de topo)

Em uma folha de papel identifique quais os outros segmentos que também são de Topo. Represente em épura cada um deles.

Exercício 3 - Confira as respostas (reta de topo):

Segmento BC

Segmento FG

Segmento EH

Continuando a manter o mesmo ponto A e tomando o segmento AE.

Observe a representação NO ESPAÇO:

EM ÉPURA:

A reta representada pelo segmento AE é denominada reta VERTICAL.

Características da reta Vertical:

  • O segmento AE tem mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV.

  • Porém tem cotas diferentes em seus pontos e, é perpendicular ao PH.

  • Sendo paralelo ao PV, sua projeção vertical estará em V.G. e é perpendicular à LT.

  • Por ser perpendicular ao PH, sua projeção horizontal estará reduzida a um ponto.

EXERCÍCIO 4 (reta vertical)

Em uma folha de papel identifique quais os outros segmentos que também são Verticais. Represente em épura cada um deles.

Exercício 4 - Confira as respostas (reta vertical):

Segmento BF

Segmento CG

Segmento DH

Continuando a manter o mesmo ponto A e tomando o segmento AF.

Observe a representação NO ESPAÇO:

EM ÉPURA:

A reta representada pelo segmento AF é denominada reta FRONTAL.

Características da reta Frontal:

  • O segmento AF tem mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV.

  • Porém tem cotas diferentes em seus pontos e, é oblíquo ao PH.

  • Sendo paralelo ao PV, sua projeção vertical estará em V.G. e é oblíqua à LT.

  • Por ser oblíqua ao PH mas paralela ao PV, sua projeção horizontal será paralela à LT.

EXERCÍCIO 5 (reta frontal):

Em uma folha de papel identifique quais os outros segmentos que também são Frontais. Represente em épura cada um deles.

Exercício 5 - Confira as respostas (reta frontal):

Segmento DG

Segmento EB

Segmento HC

Agora, vamos tomar o segmento AG.

Observe a representação NO ESPAÇO:

EM ÉPURA:

A reta representada por este segmento é uma reta GENÉRICA ou QUALQUER.

Características da reta Qualquer:

  • O segmento AG é oblíquo em relação ao PV e ao PH.

  • Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento.

  • Nenhuma de suas projeções está em V.G.

  • As projeções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT.

EXERCÍCIO 6 (reta qualquer)

Em uma folha de papel identifique quais os outros segmentos que também representam uma reta Genérica ou Qualquer. Represente em épura cada um deles.

Exercício 6 - Confira as respostas (reta qualquer):

Segmento EC

Segmento HB

Segmento DF

Finalmente, o segmento AH

Observe a representação NO ESPAÇO:

EM ÉPURA:

A reta representada por este segmento é uma reta de PERFIL.

Características da reta de Perfil:

  • O segmento AH é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH, porém é paralelo ao Plano Auxiliar de Projeção ( 3º Plano).

  • As cota e os afastamentos são diferentes ao longo do segmento

  • Suas projeções horizontal e vertical não estão em V.G., porém sua projeção no 3º Plano sim.

  • As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT.

  • No espaço, ela pode ser concorrente à LT.

EXERCÍCIO 7 (reta de perfil)

Em uma folha de papel, identifique os outros segmentos pertencentes ao prisma que também são de Perfil. Represente em épura cada um deles.

Exercício 7 - Confira as respostas (reta de perfil):

Segmento BG

Segmento CF

Segmento DE

Com esses exemplos, foram representadas no espaço e em épura, uma reta de cada tipo possível, contidas no sólido, de acordo com suas posições em relação ao PH e ao PV.

Agora vamos ver as faces do sólido:

Cada face determina um plano, ao qual ela pertence. Os planos determinados pelas faces do sólido do nosso exemplo são chamados PLANOS PROJETANTES.

Planos Projetantes são planos perpendiculares a pelo menos um dos Planos de Projeção. A projeção de faces contidas em Planos Projetantes é reduzida a um segmento de reta no Plano de Projeção ao qual é perpendicular. E, se for paralela ao outro Plano de Projeção, será projetada em V.G. no plano ao qual é paralela.

PLANOS CONSIDERADOS NO SÓLIDO.

Plano determinado pela face ABCD:

No espaço e em Épura

Este plano é denominado PLANO FRONTAL

O plano Frontal é Perpendicular em relação ao PH (portanto, é Projetante em relação ao PH) e paralelo ao PV.

Sua projeção (plano frontal):

  • Será , uma reta no PH e,

  • Estará em V.G. no PV.

  • Como o plano alfa é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PH coincidente com alfa1, que é uma reta.

RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABCD.

Retas AB e CD - FRONTO-HORIZONTALRetas AD e BC - VERTICALRetas AC e BD - FRONTAL

PLANO HORIZONTAL

No espaço e em Épura

Este plano é denominado PLANO HORIZONTAL

O plano HORIZONTAL é Perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e paralelo ao PH.

Sua projeção (plano horizontal):

  • Será uma reta no PV.

  • Estará em V.G. no PH.

  • Como o plano alfa é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PV coincidente com (alfa1), que é uma reta.

RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABCD.

Retas AB e CD - FRONTO-HORIZONTALRetas AD e BC - TOPORetas AC e BD - HORIZONTAL

PLANO DE PERFIL

No espaço e em Épura

Este plano é denominado PLANO de PERFIL

O plano de PERFIL é Perpendicular em relação ao PV e ao PH portanto, é Projetante em relação tanto ao PV quanto ao PH e dizemos que ele é DUPLAMENTE PROJETANTE.

Sua projeção (plano de perfil):

  • Será uma reta no PV.

  • Será uma reta no PH.

  • Como o plano alfa é duplamente PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PV e no PH coincidente com (alfa), que é uma reta.

RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABCD.

Retas AB e CD - TOPORetas AD e BC - VERTICALRetas AC e BD - PERFIL

PLANOS OBTIDOS ATRAVÉS DO SECCIONAMENTO DO SÓLIDO.

PLANO VERTICAL

No espaço e em Épura

Este plano é denominado PLANO VERTICAL

O plano VERTICAL é Perpendicular em relação ao PH (portanto, é Projetante em relação ao PH) e oblíquo ao PV.

Sua projeção (plano vertical):

Será, uma reta no PH e,

  • Como o plano alfa é PROJETANTE em relação ao PH, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PH coincidente com (alfa1), que é uma reta.

RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABCD.

Retas AB e CD - HORIZONTALRetas AD e BC - VERTICALRetas AC e BD - QUALQUER ou GENÉRICA

PLANO de TOPO

No espaço e em Épura

Este plano é denominado PLANO de TOPO

O plano de TOPO é Perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e oblíquo ao PH.

Sua projeção (plano de topo):

  • Será, uma reta no PV e,

  • Como o plano alfa é PROJETANTE em relação ao PV, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PV coincidente com (alfa2), que é uma reta.

RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABCD.

Retas AB e CD - FRONTALRetas AD e BC - TOPORetas AC e BD - QUALQUER ou GENÉRICA

PLANO de RAMPA

No espaço e em Épura

Este plano é denominado PLANO de RAMPA

O plano de RAMPA é Perpendicular em relação ao Plano Auxiliar (3º plano) portanto, é Projetante em relação ao Plano auxiliar e oblíquo emrelação ao PV e ao PH.

Sua projeção (plano de rampa):

  • Será uma reta no PV,

  • Será uma reta no PH.

  • Como o plano alfa é PROJETANTE em relação ao Plano Auxiliar, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no Plano Auxiliar coincidente com a 3º projeção, que é uma reta.

RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABCD.

Retas AB e CD - FRONTO-HORIZONTALRetas AD e BC - PERFILRetas AC e BD - QUALQUER ou GENÉRICA.

PLANO QUALQUER ou GENÉRICO

No espaço e em Épura

Este plano é denominado PLANO QUALQUER ou GENÉRICO

O plano QUALQUER não é Projetante em relação a nenhum dos planos de projeção, portanto será necessário a utilização de métodos descritivos para a determinação da V.G. de qualquer figura pertencente a ele.É o único plano que possui quatro retas pertencentes a ele.

RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABC.

Reta AB - HORIZONTAL Reta BC - FRONTAL Reta AC - PERFILReta AM - QUALQUER ou GENÉRICA

http://www.fc.unesp.br/nucleos/multimeios/cursos/hypergeo/convmon.htm

            

 

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Geometria Descritiva Apostila 1

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