Baixe Parábola e catenária e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Universidade de São Paulo – Faculdade de Educação Dissertação de Mestrado: Área de Concentração: Ensino de Ciências e Matemática “Parábola e catenária: história e aplicações” Leda Maria Bastoni Talavera Orientador: Prof. Dr. Antônio Carlos Brolezzi 19 de março de 2008 Surgiu a partir do livro didático de Olavo Freire, Noções de geometria prática, em sua 15ª edição do ano de 1894. Problema de pesquisa
OSVALDO SANGIORGI Funç rinômio do segundo grau 9
MATEMÁTICA: 8 o
Diá-se quit E & uma função trinômio da 20 grau (ou função trinômio)
PARA CURSOS DE PRIMEIRO GRAU casario 6 Meta pola aguinta dentre abárta dr 29 gras en us
varia:
pomitbute vabecReso
O domínio da função trinômio é o conjunto R. A imagem é um
subconjunto de A.
fia ts ant + ba + a CÊ lume x erre ml Be +!)
Exemolo: 1 definida por y = 34º + 6x * 7 é uma função trinômio.
onde:
fd pes quf e Bu e 1
5.2. Gráfica; raízes ou zeros; outros pontos principais
Você aprendeu a corstruir, por pontos, o gráfico de uma função
trinômio: y = n*- x = 8 ipág. 52,
Agora estudarenos com mais detalhes a curva obtida (parábola), Td
destacando asus partos principais, EPs
Coma nas funções do 1 grau, voçê vai verificar a equivalância axis E
sente nos irajamentos algébrico e geométrico da um mesmo problema,
Raiz ou zero do trinômio y = axi+ ba + las O) 60 valor de x
cue tem O gor imagem. Um trinômia pode ter duas raias, tama ou
nenhuma.
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Afinal parábola ou catenária ? Como a catenária é a curva que representa o formato de um cabo suspenso pelas extremidades sob a ação do seu próprio peso, surgiu o interesse em estudar por que a parábola, e não a catenária, é usada pelos autores. Objetos de pesquisa Este trabalho tem como objetos de pesquisa a curva catenária e a parábola no âmbito da educação e da história da matemática. Geometria Prática No início da educação escolar brasileira: Organização de textos didáticos baseados em livros de autores franceses como os de Bélidor (1697-1761). Com Clairaut (1713-1765) : Primeira reação contrária à abordagem euclideana no ensino da geometria, através da obra Éléments de géométrie. O estudo da geometria visava resolver problemas de artilharia e fortificações: Saber Prático / Geometria Prática. Matemática Militar: Instrumentos geométricos no século XVII Sobre o autor Olavo Freire “Uma alteração significativa na abordagem da Geometria apareceu no final do século XIX com o livro intitulado Geometria prática de Olavo Freire” (Silva 2000: 148) Objetivos em comum : Freire(1894) e Sangiorgi(1974) Em termos de exemplos e ilustrações para o estudo da parábola, os dois livros publicados em contexto histórico-político brasileiro diferente, usaram a idéia da corda suspensa por dois pontos. Capítulo 2: Cabos, cordas e curvas na Matemática Grega. Modelo geométrico Grego mais estático do que dinâmico. Encontramos com Pitágoras a primeira consideração teórica do comportamento estático e dinâmico de cordas : Relação entre comprimento de uma corda estendida e a altura musical do som emitido. Arquimedes: Antecipação do Cálculo Diferencial Integral/área sob curvas. Motivadores: Problemas Práticos Menaecmus: Estudo das Cônicas para resolver os três problemas clássicos da geometria grega. Ptolomeu :Aperfeiçoou modelos geométricos de Apolônio para o estudo dos movimentos dos planetas. Corrente Suspensa Johann Bernoulli e Leibniz resolveram o problema através de métodos analíticos. O estudo das curvas começou com as investigações de Huygens, por volta do ano de 1600. O problema da Corrente Suspensa foi resolvida por ele através de métodos geométricos. A curva da corrente suspensa foi batizada de catenária por Leibniz /originada da palavra latina catena que significa cadeia. Capítulo 4: AS CURVAS CATENÁRIA E PARÁBOLA NA ENGENHARIA E ARQUITETURA A primeira pênsil registrada é chinesa, a Ponte Quan-Xian, construída em 285 a.C., com cabos principais feitos de fibras de bambu trançadas. Ponte suspensa chinesa sob o rio Mekong construída por volta de 1470. Ponte suspensa desenhada por Faustus Verantius Escritos de Faustus Verantius de 1617, encontram-se sugestões de prováveis aperfeiçoamentos das pontes de corda usadas pelos militares franceses Os cabos são usados em ponte pênsil Cargas concentradas no cabo, pontos M e N, (figura A). Suspensão em parábola, (figura B). Suspensão em catenária, (figura C). “[...] Com carga uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento, o formato do cabo que é gerado recebe o nome de catenária”. (Botelho 1998, p. 212). “[...] a carga que ocorre é uniformemente distribuída ao longo da distância entre os dois apoios sucessivos. É o caso de cabos que sustentam pontes pênseis”. (Botelho, 1998: 212) Teoria do Deslocamentos por Melan (1888) “Com a carga acidental, os cabos se deslocam no espaço até a nova posição de equilíbrio, não mais permanecendo na forma de uma parábola única” (LAGINHA, 1997:39) Famílias de parábolas e a curva catenária
v= ez y
y = cosh(x)
v= etixtaj+
= -3 -2 - 1 2 3
Comprovação algébrica • Usando o polinômio de Taylor na função ...... !3!2 1 ..... !3!2 1 32 32 xx xe xx xe x x •Somando-se as funções acima obteremos: K xe x 2 1 2 e x cosh 2x Experimento em sala de aula : Propriedade da catenária Resistência à ação dos ventos : barraca de camping Conclusão Surpreendentemente, na prática da engenharia, as pontes pênseis de fato usam aproximações por parábolas. Mesmo assim, não parece que o exemplo do livro de Olavo Freire tenha levado em consideração essas questões. O reaparecimento do exemplo do balanço no livro de Sangiorgi parece reforçar a tese de que havia, sim, uma certa confusão entre catenária e parábola para alguns autores de livros didáticos. “Sem a curiosidade que me move, que me inquieta,que me insere na busca, não aprendo nem ensino.” Paulo Freire