Integral Indefinida - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática

Baixe Integral Indefinida - Apostilas - Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! 110 12 Integral Indefinida Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento qualquer; conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços, e assim por diante. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida. Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f. Exemplos: 1) 25 3 )( 3 ++= x x xF é uma primitiva de 5)( 2 += xxf , pois F ’(x) = x2 + 5. 2) 7)cos()ln()( −+= xxxF , x > 0, é uma primitiva de )( 1 )( xsen x xf −= , pois )( 1 )´( xsen x xF −= . Observação: A primitiva não é única. De fato, a função 5)( 2 += xxf , por exemplo, poderia ter 55 3 )( 3 ++= x x xF , 15 3 )( 3 −+= x x xF ou Cx x xF ++= 5 3 )( 3 , onde C é uma constante qualquer, como primitiva. O mesmo se aplica para a função do exemplo 2). Portanto, temos a seguinte propriedade para primitivas: Propriedade: Se F é uma primitiva de uma função contínua f, então qualquer outra primitiva de f tem a forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante. Integral Indefinida: Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por CxFdxxf +=∫ )()( , docsity.com 111 onde F é uma primitiva de f, C é uma constante, chamada constante de integração, o símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é a diferencial de x, neste contexto, um símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x. Dica: Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução F(x) + C. Se essa derivada for igual a f(x), então a primitiva está correta; se for diferente, existe algum erro nos cálculos. A ligação que existe entre derivadas e primitivas permite usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim temos o que chamamos de integrais imediatas, as quais são apresentadas na tabela abaixo: ∫ += teconskCkxdxk tan, ∫ +−= Cxdxxsen )cos()( ∫ −≠∀++ = + 1, 1 1 nC n x dxx n n ∫ += Cxtgdxx )()(sec 2 ∫ ≠∀+= 0,ln 1 xCxdx x ∫ +−= Cxgdxx )(cot)(seccos 2 ∫ += Cedxe xx Cxdxxtgx +=∫ )sec()()sec( Cxsendxx +=∫ )()cos( ∫ +−= Cxdxxgx )sec(cos)(cot)sec(cos Regras algébricas para Integração Indefinida: 1) ∫∫ = dxxfkdxxfk )()( , k uma constante qualquer. 2) [ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( Observação: Não existe regra para a integral do produto e do quociente de duas funções. docsity.com 114 Exemplos: 1) Calcule as integrais abaixo: a) ∫ + dx x x 1 2 2 Seja dxxduxxu 21)( 2 =⇒+= . Substituindo no integrando, temos: ∫∫ ++=+== + CxCu u du dx x x )1ln(ln 1 2 2 2 , já que x2 +1 > 0 para todo x. b) ( ) dx x x ∫ 2 ln Seja dx x duxxu 1 ln)( =⇒= . Substituindo no integrando, temos: ( ) ∫∫ +=+== C x C u duudx x x 3 ln 3 ln 332 2 . c) ∫ − )2(cos2 t t e dte Seja dteduetu tt =⇒−= 2)( . Substituindo no integrando, temos: CetgCutgduu u du e dte t t t +=+=== − ∫ ∫∫ )()(seccos)2(cos 2 22 . d) ∫ dxxx )cos( 54 Seja 5 5)( 445 du dxxdxxduxxu =⇒=⇒= . Substituindo no integrando, temos: CxsenCusenduu duu dxxx +=+=== ∫∫∫ )(5 1 5 1 cos 5 1 5 cos )cos( 554 docsity.com 115 EXERCÍCIOS 1) Encontre a integral das funções abaixo e verifique se os cálculos estão corretos, derivando o resultado: a) 3)( xxxf += b) 4/34/1 75)( tttf −= c) u uu uf 23 2 )( + = d) x xx xg 1 )( 2 ++ = e) yy yyf 12 3)( 3 +−= f) 2ln 6 2)( ++= u euh u g) )(sec3)( 2 xxf = h) )( )cos( )( tsen t tv = i) )()( xtgxf = j) 1 2 2)( −= xxexf k) ( )52 1)( += tttf l) ( )23 2 5 )( + = y y yf m) x x xf )exp( )( = n) x x xf )5ln( )( = o) )3()( 32 xsenxxf = p) 83)( 2 += tttf 2) Seja f(x) o número total de itens que uma pessoa consegue memorizar, x minutos após ser apresentado a uma longa lista de itens. Os psicólogos chamam a função y = f(x) de curva de aprendizado e a função y´(x) = f ´(x) de taxa de aprendizado. O instante de máxima eficiência é aquele para o qual a taxa de aprendizado é máxima. Suponha que a taxa de aprendizado seja dada pela expressão 250),6,01210(1,0)´( 2 ≤≤−+= xxxxf . a) Qual é a taxa de aprendizado no instante de máxima eficiência? b) Qual é a função f(x) ? c) Qual é o maior número de itens que uma pessoa consegue memorizar? 3) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t) = 3 + 2t + 6t2 m/min. Que distância o corpo percorre no segundo minuto? docsity.com 116 4) Depois que os freios são aplicados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por segundo por segundo. Se o carro está a 65 km/h (18 m/s) quando o motorista pisa no freio, que distância o carro percorre até parar? 5) De acordo com uma das leis de Poiseuille para o fluxo de sangue em uma artéria, se v(r) é a velocidade do sangue a r cm do eixo central da artéria, a taxa de variação da velocidade com r é dada por v´(r) = - ar, onde a é uma constante positiva. Escreva uma expressão para v(r) supondo que v(R) = 0, onde R é o raio da artéria. 6) O valor de revenda de uma certa máquina diminui a uma taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tem t anos de idade, a taxa com que o valor está mudando é -960 e -t/5 reais por dia. Se a máquina foi comprada nova por R$ 5.000,00, quanto valerá 10 anos depois? 7) Em um certo subúrbio de Los Angeles, a concentração de ozônio no ar, L(t), é de 0,25 partes por milhão (ppm) às 7h. De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de ozônio t horas mais tarde estará variando à razão de 21636 03,024,0 )(' tt t tL −+ − = ppm/h. a) Expresse a concentração de ozônio em função de t. Em que instante a concentração de ozônio é máxima? Qual é a máxima concentração? b) Faça o gráfico de L(t) e, baseado nele, responda as perguntas do item a). Determine em que instante a concentração de ozônio é a mesma que às 11h. 8) Uma empresa montou uma linha de produção para fabricar um novo modelo de telefone celular. Os aparelhos são produzidos à razão de       + −= 52 2500.1 t t dt dP unidades/mês. Determine quantos telefones são produzidos durante o terceiro mês. docsity.com