7.1 - Primitivação

7.1 - Primitivação

(Parte 1 de 3)

Análise Matemática I Primitiv aç ão de funç ões

Joana Peres MIEQ –2009/2010

FEUP / MIEQ1Joana Peres / Análise Matemática I

Primitiva de uma função elementar

De finição Uma função F(x)diz-se uma primitiva (ou antiderivada) da função f (x) num dado intervalo aberto Ise for verdade que:

Te ore ma Se em todos os pontos de um intervalo abertoI, então todas as primitivas de f (x)em Isão da forma G(x)= F(x)+ C, em que C representa uma constante arbitrária.

FEUP / MIEQ2Joana Peres / Análise Matemática I

Primitiva de uma função elementar Seja F(x)uma primitiva qualquer da função f (x)num intervalo aberto I

A primitiva mais geral possível de f (x)em Irepresenta-se simbolicamente por meio da notação:

em que:

Lê-se:A primitiva de f (x)em ordem a x é igual a F(x)mais uma constante

∫é o símbolo de primitivaçãoou antiderivação

f (x)é a função integranda

dxé um símbolo únicoque indica apenas qual é a variável independente com respeito à qual a primitivaçãoé efectuada

Cé uma constante arbitrária denominada constante de integração.

FEUP / MIEQ3Joana Peres / Análise Matemática I

Primitiv as imedia tas

Primitivas imediatas são as primitivas que decorrem (quase) imediatamente das derivadas conhecidas das funções elementares mais importantes.

Função constante:

Se a = –1, a primitiva é completamente diferente:

− xCx dx dx x dxx que em x dxx

FEUP / MIEQ4Joana Peres / Análise Matemática I

Funções e xponenciais:

Funções tr ig onométr icas:

a dxa x x

Primitiv as imedia tas

∫ +=Cxdxxsen cos

∫ +=Cxdxx tg sec

∫ +=Cxdxxxsec tgsec

Obser vaç ão

As primitivas das funções tgx, cotgx, secxe cosecxnão são primitiv as imed iat as.

FEUP / MIEQ5Joana Peres / Análise Matemática I

Funções hiperbólic as:

Primitivas relacionadas com funções trigonométricas inversas:

∫ +=Cxdxx cosh senh

+=Cxdxxsenhcosh

∫ Primitiv as imedia tas

∫ xCxdx

Obser vaç ão

As primitivas das funções trigonométricas inversas arcsenx, arctgx, etc., não são primitivas imediatas.

Cxdxx arctg

FEUP / MIEQ6Joana Peres / Análise Matemática I

Primitiv as imedia tas dx-x e

Muitas funções elementares não têm qualquer primitiva elementar:

isto é, não é possível exprimir a primitiva como uma combinação algébrica finita de funções elementares.

∫ dx x sen

Obser vaç ão É esta incerteza que torna a primitivaçãode funções muito mais complicada que a derivação de funções pois, qualquer função elementar pode sempre ser derivada (excepto possivelmente nalguns pontos isolados) desde que saibamos aplicar correctamente as cinco regras básicas de derivação.

FEUP / MIEQ7Joana Peres / Análise Matemática I

∫ dxx sen

∫ dxx )(ln ln

Linearidade da operação de primitivação

(Parte 1 de 3)

Comentários