10 - Funções de várias Variáveis- Derivadas Parciais

10 - Funções de várias Variáveis- Derivadas Parciais

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Capítulo # 10 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS 10.1 Derivadas parciais 10.2 Diferencial de funções de duas ou mais variáveis 10.3 Derivação de funções compostas de duas ou mais variáveis 10.4 Derivação de integrais em ordem a um parâmetro 10.5 Funções implícitas e a sua derivação 10.6 Máximos e mínimos de funções de duas ou mais variáveis 10.7 Derivada direccional e gradiente 10.8 Máximos e/ou mínimos com restrições: método dos multiplicadores de Lagrange Capítulo # 10 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS 10.1 Derivadas parciais 10.2 Diferencial de funções de duas ou mais variáveis 10.3 Derivação de funções compostas de duas ou mais variáveis 10.4 Derivação de integrais em ordem a um parâmetro 10.5 Funções implícitas e a sua derivação 10.6 Máximos e mínimos de funções de duas ou mais variáveis 10.7 Derivada direccional e gradiente 10.8 Máximos e/ou mínimos com restrições: método dos multiplicadores de Lagrange

10.1 DERIVADAS PARCIAIS _

10.1 Derivadas parciais 10.1.1 Derivadas parciais de uma função de duas variáveis Seja f(x,y) uma função de duas variáveis definida no ponto (a,b). Se f(x,y) estiver definida numa vizinhança do ponto (a,b) na direcção do eixo Ox, a derivada parcial de f(x,y) em ordem a x no ponto (a,b) é dada por: fx(a,b) ≡

f(a + h,b) − f(a,b)

⎠ (reparar que a variável y é mantida constante (y = b) no cálculo desta derivada) O significado geométrico desta definição é o seguinte: no ponto P(a,b,f(a,b)), a tangente à superfície de equação z = f(x,y) que é paralela ao plano Oxz faz um ângulo α com a direcção definida pela parte positiva do eixo Ox:

(a,b) = tg α

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS _

Se f(x,y) estiver definida numa vizinhança do ponto (a,b) na direcção do eixo Oy, a derivada parcial de f(x,y) em ordem a y no ponto (a,b) é dada por: fy(a,b) ≡

f(a,b + k) − f(a,b)

⎠ (reparar que a variável x é mantida constante (x = a) no cálculo desta derivada) O significado geométrico desta definição é o seguinte: no ponto P(a,b,f(a,b)), a tangente à superfície de equação z = f(x,y) que é paralela ao plano Oyz faz um ângulo β com a direcção definida pela parte positiva do eixo Oy:

(a,b) = tg β As derivadas parciais de f(x,y) podem pois ser interpretadas como derivadas de uma função de uma variável, já que se mantém constante uma das duas variáveis enquanto se está a derivar a função f(x,y) em ordem à outra variável. Isto significa pois que as regras de derivação já conhecidas continuam a ser válidas quando estamos a calcular as duas derivadas parciais de f(x,y).

10.1 DERIVADAS PARCIAIS _

Notar que podem ser utilizadas duas notações diferentes para representar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis: a notação fx(a,b) e fy(a,b), que é o equivalente da notação f(a) para funções de uma variável, e a notação “diferencial”

(a,b), que é o equivalente da notação dfdx

(a) para funções de uma variável. A razão pela qual se utiliza a letra “∂” do alfabeto cirílico na notação “diferencial” das derivadas parciais, em vez da letra romana “d”, só poderá ser devidamente explicada mais adiante quando falarmos de funções compostas de duas ou mais variáveis. Seja como for, sempre que uma derivada qualquer for representada na notação “diferencial” utilizando a letra “∂”, isso permite-nos concluir desde logo que se trata de uma derivada parcial, isto é, de uma derivada de uma função de duas (ou mais) variáveis. Daqui em diante, utilizaremos preferencialmente a notação “diferencial” para representar as derivadas parciais de uma função de duas (ou mais) variáveis, já que é esta a notação que se vê mais frequentemente nos textos de Engenharia. Exemplo 10.1 Se f(x,y) = sen xy, as derivadas parciais são: ∂f

= y (cos xy); ∂f

= x (cos xy) Exemplo 10.2 Se f(x,y) = x (ln xy), as derivadas parciais são: ∂f y x y

= ln xy + 1; ∂f x x y

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS _

10.1.2 Derivadas parciais de uma função de três variáveis Se f(x,y,z) for uma função de três variáveis definida no ponto (a,b,c), assim como numa vizinhança desse ponto na direcção de cada um dos três eixos coordenados, as derivadas parciais de f(x,y,z) em ordem a x, a y e a z no ponto (a,b,c) são definidas da seguinte forma, respectivamente: fx(a,b,c) ≡

f(a + h,b,c) − f(a,b,c)

⎠ (notar que as variáveis y e z são mantidas constantes no cálculo desta derivada) fy(a,b,c) ≡ f(a,b + k,c) − f(a,b,c)

⎠ (notar que as variáveis x e z são mantidas constantes no cálculo desta derivada) fz(a,b,c) ≡ f(a,b,c +l) − f(a,b,c)

⎠ (notar que as variáveis x e y são mantidas constantes no cálculo desta derivada) Como no caso de uma função de duas variáveis, as três derivadas parciais da função f(x,y,z) podem ser interpretadas como sendo derivadas de funções de uma variável, já que se mantêm constantes duas das três variáveis enquanto se está a derivar a função f(x,y,z) em ordem à outra variável. Segue-se pois que as regras de derivação já conhecidas continuam a ser válidas quando estamos a calcular as três derivadas parciais de f(x,y,z). Exemplo 10.3 Calcular as três derivadas parciais da função de três variáveis f(x,y,z) = exyz sen (x2 + y2 + z2)

∂x = yz exyz sen (x2 + y2 + z2) + exyz (2x) cos (x2 + y2 + z2) =

10.1 DERIVADAS PARCIAIS _

; ∂f

= xz exyz sen (x2 + y2 + z2) + exyz (2y) cos (x2 + y2 + z2) = = exyz [ xz sen (x2 + y2 + z2) + 2y cos (x2 + y2 + z2) ]

; ∂f

= xy exyz sen (x2 + y2 + z2) + exyz (2z) cos (x2 + y2 + z2) = = exyz [ xy sen (x2 + y2 + z2) + 2z cos (x2 + y2 + z2) ]

10.1.3 Derivadas parciais de ordem superior As derivadas parciais da função de duas variáveis f(x,y) são elas próprias funções das mesmas duas variáveis: fx ≡

= g2(x,y) Notar que Dg1 ⊆ Df e Dg2 ⊆ Df , pois poderão existir pontos do domínio de f(x,y) onde não seja possível calcular

As quatro derivadas parciais de 2ª ordem da função f(x,y) são, por definição, as derivadas em ordem a x e em ordem a y das funções g1(x,y) e g2(x,y): fxx ≡ (fx)x ≡

(x, y)

(x, y)

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(x, y)

(x, y)

⎟ Cada uma das quatro derivadas parciais de 2ª ordem de f(x,y) é, por sua vez, uma nova função de x e de y, pelo que pode também, em geral, ser derivada em ordem a x e a y, originando assim oito derivadas parciais de 3ª ordem da função f(x,y), as quais são representadas por: fxxx ≡

3 Note-se que a ordem pela qual a derivação é feita é indicada de maneira diferente nas duas notações: na 1ª notação, a ordem de derivação é indicada pela ordem por que estão escritos os índices, lidos da esquerda para a direita, enquanto que na notação “diferencial” a ordem de derivação é indicada pela ordem dos “∂∂” que aparecem no “denominador”, mas lidos da direita para a esquerda. Assim, por exemplo, fxyy ≡ corresponde a derivar a função f(x,y) primeiro em ordem a x, depois em ordem a y, e novamente em ordem a y. Prosseguindo desta forma, podemos concluir por indução que uma função de duas variáveis terá, no máximo, 2k derivadas parciais de ordem k. Um raciocínio análogo permitir-nos-ia dizer que uma função de três variáveis, f(x,y,z), poderá ter, no máximo, nove derivadas parciais de 2ª ordem, a saber:

10.1 DERIVADAS PARCIAIS _

2 Se cada uma destas funções puder ser novamente derivada em ordem a x, a y e a z, vamos obter, no máximo, vinte e sete derivadas parciais de 3ª ordem e, de uma maneira geral, 3k derivadas parciais de ordem k da função f(x,y,z)10.1.4 Condições de igualdade para derivadas parciais mistas É usual chamar derivada parcial mista de uma função de duas ou mais variáveis a qualquer derivada parcial dessa função em ordem a duas, ou mais, variáveis diferentes, como por exemplo

, etc. Em muitos casos, é irrelevante a ordem pela qual se fazem as derivações ao calcular uma derivada parcial mista. Para uma função de duas variáveis, demonstra-se que: Teorema: Se forem contínuas no ponto (a,b), assim como numa vizinhança de raio δ centrada nesse ponto, então:

(a,b) Existem resultados análogos a este para as derivadas parciais mistas de ordem superior da função f(x,y), e também para as derivadas parciais mistas de funções de três (ou mais) variáveis. Este conjunto de resultados costuma designar-se por propriedade comutativa das derivadas parciais mistas.

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Exemplo 10.4 Verificar a validade da propriedade comutativa das derivadas parciais mistas de 2ª ordem para a função f(x,y) = sen xyAs derivadas de 1ª ordem de f(x,y) já foram calculadas num exemplo anterior.

(x (cos xy)) = cos xy – yx (sen xy). Portanto, confirmámos que

Se a propriedade comutativa das derivadas parciais mistas for válida para uma função de duas ou mais variáveis, o número de derivadas parciais independentes dessa função fica substancialmente reduzido. Assim, para uma função de duas variáveis, f(x,y), teremos apenas três derivadas parciais de 2ª ordem independentes, em vez de quatro:
;
;
Para a mesma função, teremos apenas quatro derivadas parciais de 3ª ordem independentes, em vez de oito:
;
;
;

. Por indução, concluiríamos que f(x,y) terá apenas (k+1) derivadas parciais de ordem k independentes, em vez das 2k derivadas anteriormente obtidas.

10.1 DERIVADAS PARCIAIS _

Para uma função de três variáveis, f(x,y,z), supondo sempre que a propriedade comutativa das derivadas parciais mistas era válida, obteríamos apenas seis derivadas parciais de 2ª ordem independentes, em vez de nove:

;
;
;
;
;
Para a mesma função de três variáveis, supondo que a propriedade comutativa das derivadas parciais mistas continuava a ser válida, iríamos obter dez derivadas parciais de 3ª ordem independentes, em vez de vinte e sete. Continuando este processo, poderíamos concluir por indução que a função de três variáveis teria apenas (k+1)(k+2)/2 derivadas parciais de ordem k independentes, em vez das 3k derivadas que tínhamos obtido anteriormente. Problemas propostos / Secção 10.1 1. Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem de cada uma das funções seguintes: (a) f(x,y) = ex (cos y – sen y); (b) f(x,y) =

; (c) f(x,y) = xy; (d) f(x,y,z) = x2 ey ln z; (e) f(r,s,t) = (1 – r2 – s2 – t2) e– rst. 2. Se f(x,y) = xm yn, em que m e n são inteiros positivos, verifique que

. 3. Se f(x,y) = sen xy, verifique que

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4. Verifique que a função θ(x,t) = e– n2kt sen nx satisfaz a chamada “equação de transferência de calor” unidimensional:

2 em que k e n são constantes, e em que θ representa a temperatura no instante t e no ponto de coordenada x de uma vara isolada situada ao longo do eixo Ox. 5. Se f(x,y) = (x3 + y3)1/3, calcule as derivadas parciais

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