Baixe 4 - Funções inversas e suas derivadas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity! Análise Matemática I Funções inversas e suas derivadas Joana Peres MIEQ – 2009/2010 FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I Definição de função inversa Definição de função injectiva A função f diz-se injectiva ou um-para-um se cada número y=f(x) ∈ Cf for imagem de um único número x ∈ Df, isto é, )()( ,, 212121 xfxfxxDxx f ≠⇒≠∈∀ 212121 )()( ,, xxxfxfDxx f =⇒=∈∀ ou seja Definição de função inversa Se uma função f for injectiva então diz-se que a função f é invertível, ou seja, existe a função inversa (lê-se “f menos um” ou “inversa de f”), que é definida por: 1−f ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈∀= ∈∀= − − − 1,))(( ,))(( 1 1 f f Dxxxff Dxxxff FEUP / MIEQ 2Joana Peres / Análise Matemática I Definição alternativa de função inversa Se a função f puder ser invertida, a função f -1 também pode ser definida alternativamente como um conjunto de pares ordenados de números reais: ( ){ }11)(:),( 1 −− ∈∧∈=− ff CxDxfxxff Observação Como os pontos (a b) e (b a) são , , simétricos com respeito à bissectriz dos quadrantes ímpares (y = x), conclui-se que o gráfico de f -1 pode sempre ser obtido por reflexão do gráfico de f relativamente a esta bissectriz. FEUP / MIEQ 5Joana Peres / Análise Matemática I Nota: Função auto-inversa é uma função que é igual à sua inversa. Obtenção da função inversa nos casos mais simples 1ª estratégia: Resolver a equação y=f(x) em ordem a x e em seguida “trocar” as letras x e y. 2ª estratégia: Começar por “trocar” as letras x e y e depois resolver a equação x=f(y) em ordem a y. Exemplo 1 Determinar a função inversa da função linear f(x)=ax+b, se a ≠ 0 Exemplo 2 Determinar a função inversa da função bilinear (funções racionais cujo numerador e denominador são funções lineares): 0 , ,)( ≠−≠ + + = c c dx dcx baxxf Observação Ambas as estratégias só podem ser aplicadas quando a equação y=f(x) (x=f(y)) puder ser resolvida em ordem a x (a y), o que é muito raro acontecer. FEUP / MIEQ 6Joana Peres / Análise Matemática I Limite e continuidade da função inversa Teorema 1 Se f(x) for injectiva, e portanto invertível, numa visinhança do ponto x = a: axflxf =⇒= − )(lim)(lim 1 Será que podemos calcular o limite da função inversa f-1(x) se conhecermos o limite da função original no ponto correspondente (que em geral não será o mesmo ponto)? lxax →→ O teorema 1 continua a ser válido se substituirmos pelos limites laterais, ou pelo limite quando x tende para ∞, ou pelo limite quando x tende para - ∞, e/ou se substituirmos l por ∞, ou por - ∞. ax → lim FEUP / MIEQ 7Joana Peres / Análise Matemática I Teorema 2 Se f(x) for invertível e contínua no ponto x=a, a função inversa f-1(x) é contínua no ponto x=f(a). Funções trigonométricas inversas Restrição: – π/2 ≤ x ≤ π/2 Restrição: 0 ≤ x ≤ π Função arco-seno (arcsen x ou sen-1x): Função arco cosseno (arccos x ou cos-1x): Função seno Função cosseno FEUP / MIEQ 10Joana Peres / Análise Matemática I [ ]22 ,,)sen (arcsen ππ−∈∀= xxx [ ]1,1,)arcsen (sen −∈∀= xxx [ ]π,0,) cos(arccos ∈∀= xxx [ ]1,1,) arccos(cos −∈∀= xxx [ ]1,1, arccosarcsen 2 −∈∀≡+ xxx π Funções trigonométricas inversas Restrição: 0 ≤ x < π/2 ∪ π/2 < x ≤ π Função arco secante (arcsec x ou sec-1x): Função secante [ [ ] ]πππ ,,0,)sec(arcsec 22 ∪∈∀= xxx FEUP / MIEQ 11 Joana Peres / Análise Matemática I Função arco cossecante (arccosec x ou cosec-1x): 1:,) arcsec(sec ≥∀= xxxx [ [ ] ]22 ,00,,) cosec(arccosec ππ ∪−∈∀= xxx 1:,) arccosec(cosec ≥∀= xxxx 1:, arccosec arcsec 2 ≥∀≡+ xxxx π Funções trigonométricas inversas Restrição: -π/2 < x < π/2 Função arco tangente (arctg x ou tg-1x): Função tangente ] [)t(t ππ∀ FEUP / MIEQ 12Joana Peres / Análise Matemática I Função arco cotangente (arccotg x ou cotg-1x): 22 ,,garc g −∈= xxx ℜ∈∀= xxx ,) arctg(tg ] [π,0,) cotg(arccotg ∈∀= xxx ℜ∈∀= xxx ,) arccotg(cotg ℜ∈∀≡+ xxx , arccotg arctg 2 π Funções hiperbólicas inversas xy cotgh = xy sech = xy cosech = xy -1cotgh= xy -1sech= xy -1cosech= FEUP / MIEQ 15Joana Peres / Análise Matemática I 0,)sech (argsech ≥∀= xxx ] ]1,0,)argsech (sech ∈∀= xxx 0,)cosech (argcosech ≠∀= xxx 0,)argcosech (cosech ≠∀= xxx 0,)cotgh (argcotgh ≠∀= xxx 1:,)argcotgh (cotgh >∀= xxxx Funções hiperbólicas inversas ( ) ℜ∈∀++≡ xxxx , 1lnargsenh 2 ( ) 1, 1lnargcosh 2 ≥∀−+≡ xxxx Cada uma das funções hiperbólicas inversas é idêntica a uma função logarítmica composta pois as funções hiperbólicas são funções exponenciais compostas, definidas em termos de ex e de e– x: Função argumento seno hiperbólico: Função argumento cosseno hiperbólico: 1: , 1 1ln 2 1argtgh <∀⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ≡ xx x xx ] ]1,0, 11lnargsech 2 ∈∀ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ≡ x x xx 0, 11lnargcosech 2 ≠∀ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +≡ x x x x x 1:, 1 1ln 2 1argcotgh >∀⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ≡ xx x xx FEUP / MIEQ 16Joana Peres / Análise Matemática I Função argumento tangente hiperbólica: Função argumento cotangente hiperbólica: Função argumento secante hiperbólica: Função argumento cosecante hiperbólica: