Nildsen

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(Parte 1 de 6)

Gravitacao Quantica em Branas-Mundo por Nildsen Fernando L. Silva

Tese de Doutorado

Brasilia, Novembro de 2007

Agradecimentos

Sou grato ao Prof. Dr. Marcos Duarte Maia, pela sua orientacao, dedicacao e paciencia durante o desenvolvimento deste trabalho.

Agradeco tambem ao meu pai Nildsen Rodrigues da Silva e minha mae Maria Stela

Lisboa da Silva pelo incentivo e apoio nos meus estudos e na vida.

E, finalmente, sou grato a minha esposa Luana, minha filha Luısa, minha sogra Maria, pela compreensao e apoio nos momentos difıceis.

Resumo

A formulacao canonica de Arnowitt-Deser-Misner para a relatividade geral e estendida para a teoria de brana-mundo covariante em um numero arbitrario de dimensoes. O acesso exclusivo das dimensoes extras pela gravitacao faz uma diferenca significativa, implicando na construcao de uma teoria canonica sem vınculo Hamiltoniano. Os estados quanticos da geometria da brana-mundo sao definidos pela equacao de Tomonaga- Schwinger, cujas as condicoes de integrabilidade sao determinadas por perturbacoes classicas de subvariedades contidas no teorema de imersoes diferenciaveis de Nash. Em princıpio, a teoria quantica de brana-mundo pode ser testada por experimentos em astrofısica e num futuro proximo em experimentos de laboratorios na escala Tev de energia. Aplicacoes a perda de informacao nos buracos-negros, a cosmologia acelerada, e a teoria matematica quantica de subvariedades quadridimensionais sao brevemente comentadas.

Abstract

The Arnowitt-Deser-Misner canonical formulation of general relativity is extended to the covariant brane-world theory in arbitrary dimensions. The exclusive probing of the extra dimensions makes a substantial difference, allowing for the construction of a non-constrained canonical theory. The quantum states of the brane-world geometry are defined by the Tomonaga-Schwinger equation, whose integrability conditions are determined by the classical perturbations of submanifolds contained in the Nash’s differentiable embedding theorem. In principle, quantum brane-world theory can be tested by current experiments in astrophysics and by near future laboratory experiments at Tev energy. The implications to the black-hole information loss problem, to the accelerating cosmology, and to a quantum mathematical theory of four-sub manifolds are briefly commented.

Sumario

1.1 Razoes para uma Teoria Quantica da Gravitacao2
1.1.1 Unificacao2
1.1.2 Fısica na Escala de Planck2
1.2 Tentativas de Quantizacao da gravitacao3
1.3 Teoria das Branas-Mundo9

1 Introducao 1

2.1 Formalismo ADM1

2 Quantizacao ADM 1

3.1 As Equacoes de movimento da Brana-mundo18
3.2 As Equacoes Canonicas do Movimento26
4.1 Formulacao de Dirac29
4.2 Formulacao de Tomonaga31
4.3 Integrabilidade da equacao Tomonaga-Schwinger34

4 Teoria de Muitos Tempos de Dirac-Tomonaga-Schwinger 29

5.1 Introducao36
5.2 Estados quanticos de Tomonaga-Schwinger37

5 Quantizacao da Brana-mundo 36 v

A.1 Imersoes Isometricas42
A.2 Equacoes de Gauss-Codazzi-Ricci4

A Imersao de Variedades 41 Bibliografia 48

Capıtulo 1

Introducao

A Mecanica Quantica e a Relatividade Geral sao duas teorias de sucesso na confrontacao com resultados experimentais. Ambas as teorias apresentaram a importancia do papel do observador e do processo de medida em uma teoria fısica. A Mecanica Quantica revolucionou a fısica com a afirmacao de que uma partıcula em regime quantico nao tem uma trajetoria definida, experimentalmente comprovado, mas tem limite classico compatıvel com a fısica Newtoniana. Por outro lado, e sabido que a trajetoria de um corpo submetido a um campo gravitacional e determinada univocamente pelas equacoes de Einstein atraves da geometria do espaco-tempo. Portanto a Relatividade Geral e uma teoria eminentemente classica nos seus metodos de observacao. Mas, em princıpio nao ha impedimento formal ao desenvolvimento de uma teoria quantica da gravitacao. De fato, existem diversas motivacoes para uma teoria quantica da gravitacao, como veremos a seguir.

Capıtulo 1. Introducao 2 1.1 Razoes para uma Teoria Quantica da Gravitacao

Nao parece natural, na comparacao com as demais interacoes fundamentais, somente a gravitacao nao ter um comportamento quantico. Assim como a natureza deve apresentar uma unidade, as leis da fısica que a representam devem ser unificadas.

A historia da fısica e caracterizada por uma progressiva unificacao de varias teorias diferentes, descrevendo fenomenos aparentemente diferentes, em uma nova teoria unificadora. Por exemplo, o movimento de queda livre baseado na lei de inercia de Galileo e a mecanica celestial dos movimentos dos planetas de Kepler foram unificadas na teoria da gravitacao universal de Newton; fenomenos como a eletricidade, magnetismo e optica foram sintetizados na teoria eletromagnetica de Maxwell; a teoria quantica de campos e uma uniao da teoria classica de campos, relatividade especial e mecanica quantica, sendo que a teoria quantica de campos fornece o suporte matematico com o qual a eletrodinamica quantica e formulada, apresentando uma descricao unificada da teoria de Maxwell e a mecanica quantica; A teoria eletrofraca de Glashow, Weinberg e Salam incorpora a forca nuclear fraca e a eletrodinamica quantica. As forcas eletromagnetica, fraca e forte, exceto a gravidade, sao formuladas como uma teoria quantica de campos renormalizavel e sao todas governadas pela existencia de uma simetria de calibre. Todos estes processos de unificacao tem tido sucesso do ponto de vista experimental.

1.1.2 Fısica na Escala de Planck

E geralmente admitido que a gravitacao quantica se manifesta apenas na escala de energia de Planck, a qual e inacessıvel por experiencias diretas. Varias questoes surgem neste contexto: O que acontece na escala de Planck? Quais tipos de fenomenos fısicos sao esperados? Ou ainda, como pode ser descrita a fısica em um regime de energia onde nem os efeitos gravitacionais e nem quanticos podem ser negligenciados?

Na escala de Planck a representacao classica do espaco-tempo como uma variedade diferenciavel de quatro dimensoes talvez nao se aplique, pois a geometria do espacotempo apresentaria flutuacoes quanticas sujeitas ao princıpio de incerteza de Heisenberg, implicando na quebra da estrutura causal do espaco-tempo, comprometendo a estrutura de cone de luz e a distincao de regioes do tipo espacial e do tipo temporal. Entretanto nao se sabe exatamente o que significa flutuacoes quanticas da geometria, pois a nocao de geometria quantica advem da gravitacao, pelo menos no contexto da Relatividade Geral.

A existencia de singularidades gravitacionais pode ser uma indicacao que a teoria da relatividade geral esta sendo aplicada alem do seu domınio. Portanto, a consideracao que a curvatura do espaco-tempo pode crescer ilimitadamente, nao pode ser usada para resolver singularidades como o big bang, o big crunch, ou um buraco negro. Alem disso, a relatividade geral tem sido testada com sucesso somente na escala do sistema solar, que apresenta um cenario muito simples comparado com as atuais observacoes em astrofısica e cosmologia.

Portanto, efeitos quanticos gravitacionais devem ter sido importantes nos primeiros momentos do big bang, quando as dimensoes do universo tinham a mesma ordem de grandeza do comprimento de Planck (10−33cm), que corresponde a energia de Planck.

1.2 Tentativas de Quantizacao da gravitacao

Na teoria quantica de campos, o procedimento para a quantizacao de um campo e tradicionalmente perturbativo, em contraposicao ao processo canonico. Durante muitos anos suspeitava-se que o metodo perturbativo nao se aplicaria a gravitacao devido a dimensionalidade da constante gravitacional de Newton G, que e a constante de acoplamento com a materia. Entretanto a divergencia do metodo perturbativo para a gravitacao foi confirmada definitivamente pelo tabalho de Goroff e Sagnotti [45]. Por outro lado, G. ’t Hooft mostrou que todas as demais interacoes fundamentais sao perturbativamente quantizaveis (isto e, Yang-Mills e uma teoria renormalizavel). Entretanto, A. Asthekar argumentou, com base em exemplos que apesar da gravitacao nao ser perturbativamente quantizavel, ela poderia ser canonicamente quantizavel [14].

A seguir faremos um breve relato das principais tentativas de quantizacao canonica da gravitacao.

a) Quantizacao de Dirac

Uma formulacao canonica ou Hamiltoniana para gravitacao e um passo importante para o sucesso de qualquer teoria fısica de campo, ja que ela permite, em princıpio, caracterizar a energia do campo. Para isso, torna-se necessario definir um parametro de evolucao que tradicionalmente e tomado como sendo o tempo. Como a gravitacao deforma o espaco-tempo, a separacao do espaco-tempo em espaco (hipersuperfıcie tridimensional) e tempo, onde o a hipersuperfıcie seria o elemento a evoluir e o tempo o parametro de evolucao, parecia ser a solucao mais natural.

No final dos anos 50, Dirac [1] propos um esquema de quantizacao do campo gravitacional atraves da deformacao de uma hipersuperfıcie do tipo espacial tridimensional na direcao temporal, ou seja, usando um sistema de coordenadas preferencial. Dirac precisou restringir a perturbacao da hipersuperfıcie tridimensional na direcao temporal e fixar o sistema de coordenadas da hipersuperfıcie para que o processo de quantizacao pudesse ser resolvido, no entanto, esta restricao tira o carater difeomorfico do processo de quantizacao, o que contraria um dos princıpios da teoria da relatividade geral.

Apesar de Dirac ter obtido corretamente a Hamiltoniana nao nula, a quebra da covariancia generalizada foi suficiente para que o processo fosse rejeitado.

b) Quantizacao ADM

Em 1961, Arnowitt, Deser e Misner (ADM) [4] seguindo essencialmente a mesma ideia de Dirac da separacao do espaco-tempo em hipersuperfıcies tridimensionais evoluindo no espaco-tempo, procurando restaurar o difeomorfismo formularam a versao Hamiltoniana da Relatividade Geral, postulando que a evolucao da hipersuperfıcie se processa ao longo de uma direcao arbitraria, mantendo a covariancia da teoria. Um primeiro problema que surgiu foi o anulamento da Hamiltoniana classica. E importante notar que Misner, no trabalho extraido de sua tese, entitulado Feynman Quantization of General Relativity [5] (onde o propagador de Feynman para uma hipersuperfıcie tridimensional foi estudado) de 1957, ja havia chegado a conclusao que o operador hamiltoniano associado a uma equacao do tipo Schrodinger para a gravitacao deveria ser nulo para que o difeomorfismo entre as hipersuperfıcies tridimensionais fosse mantido. A Hamiltoniana nula nao e realmente um impedimento, pois o propio Dirac ja havia desenvolvido um procedimento alternativo, conhecido como quantizacao de sistemas vinculados, no qual seria suficiente o calculo dos parenteses de Poisson e sua propagacao. Posteriormente constatou-se que os parenteses de Poisson nao sao covariantes no caso da gravitacao (este problema ficou conhecido como o problema do tempo). Portanto, o procedimento ADM nao produzia os resultados desejados.

Convem salientar que tanto no caso de Dirac quanto no ADM, a visao quantica da gravitacao era a de uma variedade diferenciavel 3-dimensional que apresentava modos quanticos de oscilacao dentro do espaco-tempo.

c) Cosmologia Quantica

A cosmologia quantica desenvolveu-se principalmente, devido aos trabalhos de Hartle

- Hawking(1983) [46] e Vilenkin (1988) [47], que tratavam da possibilidade de construir uma teoria quantica nos moldes da teoria de Hamilton-Jacobi, aplicada a gravitacao Euclidiana, onde se estuda a propagacao de uma hipersuperfıcie. A equacao correspondente foi desenvolvida por J. Wheeler e B. S. de Witt.

A caracterıstica principal da cosmologia quantica e a sua independencia do tempo.

Assim ela nao teria inıcio nem fim. A recuperacao do tempo classico se tornaria o maior problema desta teoria.

d) Gravitacao Semi-Classica

Foi uma teoria desenvolvida durante a decada de 70, principalmente, por L. Parker [48], S. A. Fulling, P. C. W. Daves e W. G. Unruh [43]. Com base na equacao de Einstein cuja fonte e o valor esperado de um campo quantico

Uma aplicacao importante dessa equacao foi a descoberta de Hawking da radiacao quantica de um buraco negro [35], bem como o teorema de perda de informacao quantica em buracos negros.

e) Supercordas

Apesar de nao ser uma teoria consolidada, a teoria de cordas e frequentemente citada como a unica teoria viavel da gravitacao quantica.

A teoria de cordas surgiu a partir do trabalho de Veneziano, apresentado para resolver a questao do confinamento de quarks (ressonancia dual) [21]. Segundo Veneziano o confinamento se devia de uma forca forte entre dois quarks, unidos pela linha de forca, que poderia ser vista como uma corda.

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