conveccao

conveccao

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Instituto Astronômico e Geofísico Universidade de São Paulo

Monografia de Exame de Qualificação de Mestrado

Tema: Convecção em Estrelas Data: 23/03/98

Aluno: Alex Ignácio da Silva Orientadora: Sueli M. Viegas Agência Financiadora: FAPESP

1. Introdução3
2. Condições para a Ocorrência de Convecção4
2.1. O Critério de Schwarzschild4
2.2. O Gradiente Adiabático7
2.3. O Gradiente Radiativo9
2.4. Regiões da Estrela Onde Ocorre Convecção10
3. A Teoria do Comprimento de Mistura13
3.1. O Fluxo Convectivo13
3.2. A Escala de Pressão15
3.3. Alguns Valores Típicos15
4. Overshooting convectivo19
5. Turbulência21
6. Conclusão2

1. Introdução

As estrelas estão continuamente emitindo energia para o espaço a partir de suas superfícies. Entretanto, para que as camadas da superfície estelar possam continuar a emitir por muito tempo é necessário que haja uma reposição dessa energia a partir das camadas mais interiores da estrela.

Isso nos leva a investigar quais são os mecanismos responsáveis pelo transporte da energia produzida pela estrela desde o seu interior, onde se produzem as reações de fusão nuclear, até as suas camadas mais exteriores.

Existem basicamente três mecanismos distintos através dos quais este transporte de energia pode se realizar: radiação, condução e convecção. Em todos os três é necessário a existência prévia de um gradiente de temperatura a fim de que o fluxo de energia num sentido supere o fluxo de energia na direção contrária, assim gerando um fluxo resultante não nulo orientado das regiões mais quentes para as mais frias.

Um quarto mecanismo de transporte de energia seria a emissão de neutrinos, que transporta a energia diretamente para fora da estrela devido à baixa seção de choque de interação com a matéria dessas partículas.

Aqui trataremos exclusivamente o mecanismo de convecção, com o qual todos nós estamos familiarizados no nosso dia-a-dia, posto que as mudanças do clima freqüentemente são causadas por convecção na atmosfera do nosso planeta.

O transporte de energia na convecção se dá através do deslocamento de elementos macroscópicos de matéria, como podemos notar num dia de verão quando a camada de ar quente junto ao solo se desloca para cima fazendo com que os raios de luz que a atravessam sejam ligeiramente desviados devido à mudança do índice de refração com a temperatura. Isso faz com que a imagem que chega até nos mostre a aparência oscilante que estamos acostumados a ver.

Também no nosso Sol ocorrem esses movimentos de matéria em larga escala. Se observarmos detalhadamente a superfície solar notaremos uma estrutura granular de regiões claras e escuras (figura (1-1)).

figura 1-1: Estrutura granular do nosso sol.

Cada um dos pequeninos grãos na verdade mede cerca de 500 km , e quando um deles atinge a superfície, permanece ali um certo tempo até desaparecer completamente e ceder lugar a outros grãos. As regiões claras são elementos convectivos quentes que aquecem a superfície solar liberando o excesso de temperatura e logo se convertem numa região escura à medida que os grão retorna para esfriar a região mais interior. O mecanismo convectivo opera então no sentido de diminuir o gradiente de temperatura.

Nesta monografia nos ocuparemos em investigar apenas os aspectos mais gerais do mecanismo da convecção.

2. Condições para a Ocorrência de Convecção

2.1. O Critério de Schwarzschild

Os mecanismos de radiação e condução estão sempre em operação no interior da estrela, ainda que em maior ou menor intensidade, pois para que eles entrem em operação basta a existência de um gradiente de temperatura. O cálculo detalhado do transporte radiativo mostra que:

dr dTTacFrad 334 κρ

−= [2-1] onde o fluxo condutivo pode já estar incorporado através do valor da opacidade através da definição de uma opacidade condutiva apropriada κcond, de tal forma que a opacidade total será dada por:

condrad κκκ

+=[2-2]

Suponhamos então que um grande fluxo precise ser tranportado através de uma região de alta opacidade, seria então possível que o gradiente de temperatura na estrela pudesse aumentar para valores indefinidamente altos?

Em 1906 Karl Schwarzschild demonstrou que ocorre uma instabilidade para movimentos de convecção do gás se o gradiente de temperatura for alto demais.

Podemos entender o motivo dessa instabilidade através do seguinte argumento: Consideremos um elemento de matéria em equilíbrio numa região de pressão P e densidade ρ. Se ele sofrer uma leve pertubação aleatória e for deslocado para baixo numa região onde a pressão agora é P + dP e a densidade é ρ + dρ ele não mais se encontrará em equilíbrio com as suas vizinhanças, mas estará sujeito a forças de empuxo* . Se essas forças atuarem no sentido de empurrarem o elemento para cima ele então retornará à sua posição de equilíbrio e o movimento será amortecido. Entretanto se as forças tenderem a empurrar o elemento para baixo o movimento será amplificado e terá sido estabelecida uma instabilidade para movimentos convectivos.

Uma vez que o elemento chega à região de pressão P + dP, esse excesso de pressão nas vizinhanças rapidamente o contrairá até que a pressão se iguale ao meio exterior. Se esse processo for rápido o suficiente tal que o elemento não tenha tempo de trocar calor com o meio a contração será adiabática e a nova densidade do elemento será dP

+ρρ. Se essa densidade for maior que a densidade do meio o elemento continuará a afundar pelo princípio de Arquimedes, de modo que a condição para haver instabilidade convectiva pode ser expressada da seguinte forma:

ρρρρ ddP dPd ad

+[2-3]

* “buoyant forces”, em inglês.

Se o elemento tivesse sido originalmente perturbado para cima, de tal forma que dP e dρ fossem negativos, a condição para instabilidade convectiva seria que a nova densidade fosse menor que a densidade do meio, de tal forma que a desigualdade acima também seria verificada. Vamos agora expressar essa condição numa forma mais prática:

dPd dPd

Usando a equação de estado de gases perfeitos não degenerados P ∝ ρT (supondo o peso molecular médio µ constante),

T dTdP dP dT

TPdP

−=[2-6]

d ρρρ De modo que a condição [2-4] pode ser expressada, addP dT dP

>[2-7]

dT Multiplicando ambos os lados pela quantidade positiva P/T,

adPd ln ln

Para fins notacionais é comum abreviar o gradiente logarítmico,

Pd Td ln ln≡∇ [2-9]

Assim, considerando a condição de instabilidade convectiva em uma camada inicialmente em equilíbrio radiativo teremos,

adrad∇>∇[2-10]

Esse é o chamado critério de Schwarzschild para instabilidade convectiva. Dele podemos concluir que a convecção será favorecida para valores de ∇ad muito baixos ou ainda valores de ∇rad muito altos. A seguir consideramos separadamente as duas possibilidades.

2.2. O Gradiente Adiabático

Vamos a seguir calcular o valor de ∇ad para determinar em que situações ele pode tornar-se pequeno.

Para uma transformação adiabática pode-se demonstrar a partir das relações termodinâmicas básicas:

Onde o expoente adiabático γ é definido como a razão entre os calores específicos,

=≡1γ[2-12]

+=+ (R é a constante dos gases ideais)

Usando a equação dos gases perfeitos V ∝ T/P , diferenciando,

T dTP dPγγ [2.14] de onde tiramos diretamente que,

−=−=∇ad[2-15]

Para um gás monoatômico perfeito γ = 5/3, e portanto ∇ad = 2/5 = 0.4 .

Se considerarmos ainda o efeito da ionização do gás teremos que os calores específicos serão aumentados, posto que parte da energia que seria utilizada para aumentar a temperatura do gás (relacionada com a energia cinética) é empregada para ionizar o material. De acordo com a equação [2-12] teremos uma diminuição do expoente adiabático com o aumento do calor específico CV, o que de acordo com a equação [2-15] implicará numa diminuição do gradiente adiabático.

Concluímos então que se os efeitos de ionização do gás forem significativos teremos uma redução do gradiente adiabático.

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